Алексей Степанович Оголевец

[Математик]

Таки знают и называют его Дерево Штерна — Броко (ДШБ). Оговариваются, что растение сие скорее древнегреческое и было известно Эратосфену в III в до н. э.

”Дерево Штерна — Броко” так “Дерево Штерна — Броко”. Про связь с Эратосфеном я сам “допер”. Честно. Без помощи указанной Вами ссылки. Просто зная, что интервалы, которые делятся (при росте дерева) – эпиморные, а также, что они делятся при помощи операций арифметической и гармонической средних. А потом провел аналогию с исследованиями Эратосфена,описанными в приведенных выше цитатах ван дер Вардена. И тот факт, что эта гипотеза (про связь механизмов роста Дерева с исследованиями Эратосфена) получает независимое подтверждение – это, конечно, здорово.

[commator]

”Дерево Штерна — Броко” так “Дерево Штерна — Броко”...

Такое чувство, что это ДШБ (говоря дэшабэ мы через две буквы "э" упоминаем и Эратосфена) имеет для тональной и модальной музыки чрезвычайную пользу. Я могу ошибаться, но через ДШБ концепция тяготений видится несколько иной, чем в изложении Алексея Степановича. Я приложил ДШБ структуры, по которым пытаюсь выяснить правду о пифагорейской большой терции.

В верхней структуре, охватывающей весь слышимый диапазон я локализовал то место, где должна появиться эта терция в виде соотношения 81/64 (407.8 цента). Это должно быть между 1/1 и 4/3, т.е. ниже 3-го слоя ветвлений.

Средняя структура раскрывает подробности этого места, а из них становится ясно, что искать следует ниже 7-го слоя между 5/4 и 19/15.

Нижняя структура показыает, что 81/64 появляется лишь в 11-м слое ветвлений, как очередной шаг асимтотического приближения к вертикали 19/15, падающей из слоя 7.

Просится предположение, что пифагорейская терция 81/64 (407.8 цента) тяготеет к одной из версий уменьшённой кварты 19/15 (409.2 цента), а не к чистой кварте 4/3 (498.0 цента), как пишет АСО. Взгляд на среднюю структуру наводит на мысли, что тяготеть к чистой кварте может, например, септимальная терция 9/7 (435.1 цента), которая выше пифагорейской на комму Архита 64/63 (27.3 цента). Если ДШБ, среди своих достоинств, ещё и верно отображает систему музыкальных тяготений, то выводом может быть то, что АСО ошибся в оценке свойств пифагорейской терции и подменил её септимальной.

[commator]

...зная, что интервалы, которые делятся (при росте дерева) – эпиморные ...

В Гугле на "эпиморны" выпал единственный ! результат: перевод трактата Никомаха

Поискал "эпиморный". Выпало аж две ссылки на это:

...эпиморные (это греч., рус. сверхчастичные, лат. суперпартикулярные) отношения - когда больший член превосходит меньший на некоторую его часть, то есть, по-современному, разность m-n делит n, что сводится к тому, что m/n = (k+1)/k = 1+1/k, где k>1. Муыкальные интервалы назывались кратными или эпиморными, если им соответствуют кратные или эпиморные отношения соответственно ...

Другого русскоязыяный Гугл не находит.

[Математик]

Такое чувство, что это ДШБ (говоря дэшабэ мы через две буквы "э" упоминаем и Эратосфена) имеет для тональной и модальной музыки чрезвычайную пользу. ..
Просится предположение, что пифагорейская терция 81/64 (407.8 цента) тяготеет к одной из версий уменьшённой кварты 19/15 (409.2 цента), а не к чистой кварте 4/3 (498.0 цента), как пишет АСО. Взгляд на среднюю структуру наводит на мысли, что тяготеть к чистой кварте может, например, септимальная терция 9/7 (435.1 цента), которая выше пифагорейской на комму Архита 64/63 (27.3 цента). Если ДШБ, среди своих достоинств, ещё и верно отображает систему музыкальных тяготений, то выводом может быть то, что АСО ошибся в оценке свойств пифагорейской терции и подменил её септимальной.

Я подумаю о Ваших предположениях.
В общем же плане скажу, что, поскольку Дерево есть вклад в теорию числовых отношений вообще, то оно вполне может быть применено к исследованию тех числовых отношений, которые используются в теории музыки.

Мне особенно импонирует, что Дерево все целиком пронизано “элементарными гармониями” – гармоническими четверками, которые и определяют его структуру. Осталось только выяснить, какие из этих четверок имеют отношение к гармонии в музыке.

P.S. При определении понятия “гармонической четверки” существенно используется конструкция “деления данного отрезка в данном отношении”. Никак не могу отделаться от мысли, что эта конструкция, имеющая такое важное значение при систематическом развитии геометрии (см., например, у Александрова П. С.:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/1/0/6.html

происходит на самом деле от опытов на монохорде. Таких, например, как описанные у Римана:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/1.html

Но ведь геометрия – это наука о пространстве, а не о музыке. Причем здесь монохорд?

[Математик]

В Гугле на "эпиморны" выпал единственный ! результат: перевод трактата Никомаха

Поискал "эпиморный". Выпало аж две ссылки на это:Другого русскоязыяный Гугл не находит.

Zub01 пишет совершенно правильно. Лично я узнал об этом термине из многократно уже цитированной выше статьи:

Б. Л. ван дер Варден.
Пифагорейское учение о гармонии.
В кн.: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.
Гос. издательство физико-математической литературы,
М.:, 1959, сс. 398 — 402.

Соответствующее место из этой статьи (где пишется об эпиморных отношениях) есть у меня на сайте:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/2.html

Однако это место у меня набрано не полностью, кроме того, я ошибочно вместо “эпиморный” набрал “эпиморфный”.

Аутентично это место из ван дер Вардена воспроизведено здесь:
http://naturalhistory.narod.ru/Perso..._img/00199.gif
http://naturalhistory.narod.ru/Perso..._img/00200.gif
http://naturalhistory.narod.ru/Perso..._img/00201.gif

[commator]

... геометрия – это наука о пространстве, а не о музыке. Причем здесь монохорд?

По утверждениям Мазеля (ПРОБЛЕМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ГАРМОНИИ. ИЗДАТЕЛЬСТВО «МУЗЫКА»,МОСКВА 1972, стр. 25...26)

<<...
Слух выступает — в смысле непосредственной ориентировки в мире — лишь как второе по значению из внешних чувств человека, как «младший брат» зрения и его заместитель в условиях, когда световая информация отсутствует или недостаточна
...
наиболее благоприятные условия для выдвижения слуховых впечатлений на первый план создает темнота, ночь
...>>

Разве не числовую ось, как геометрическую абстракцию прямой линии, напичканую арифметическими абстракциями чисел, моделирует монохорд? А сколько непростых математических абстракций можно превратить в увлекательные упражнения для осмысленного развития слуха, преподавая основания музыки в школе на уровне, сравнимом с преподаванием геометрии...

[Математик]

Я подумаю о Ваших предположениях.Мне особенно импонирует, что Дерево все целиком пронизано “элементарными гармониями” – гармоническими четверками, которые и определяют его структуру. Осталось только выяснить, какие из этих четверок имеют отношение к гармонии в музыке.

Изготовил специальный калькулятор, который позволяет легко увидеть гармоническую четверку точек, ассоциированную с данным зеленым узлом левого поддерева Дерева:
http://www.px-pict.com/10/4/4/8.html

Гармоническую четверку точек понимаем в первоначальном смысле Дезарга: четверка точек A, M, B, N – гармоническая, если точка M делит отрезок AB внутренним образом, а точка N делит тот же отрезок AB внешним образом в одном и том же отношении.

То, что такое понимание гармонической сопряженности восходит к Дезаргу, свидетельствует, например, Кокстер:
Кокстер Х.С.М.
Действительная проективная плоскость.
Пер. с англ. Т. В. Солнцевой под ред. проф. А. А. Глаголева.
Гос. издательство физико-математической литературы,
М.:, 1959, сс. 28 — 44.
http://www.px-pict.com/10/3/4/1.html

[commator]

... Дерево все целиком пронизано “элементарными гармониями” – гармоническими четверками, которые и определяют его структуру. Осталось только выяснить, какие из этих четверок имеют отношение к гармонии в музыке.
...

Я думаю в первом приближении следует выяснить, не является ли каждая новая дробь стимулом самой устойчивой ноты, обладающей равновеликими тяготениями к нотам от дробей-стимулов, непосредственно порождающим такую новую дробь?

[Математик]

Разве не числовую ось, как геометрическую абстракцию прямой линии, напичканую арифметическими абстракциями чисел, моделирует монохорд? А сколько непростых математических абстракций можно превратить в увлекательные упражнения для осмысленного развития слуха, преподавая основания музыки в школе на уровне, сравнимом с преподаванием геометрии...

<
Во всяком случае точка, четвертая гармоническая к заданной тройке точек, позволяет ответить на вопрос, поставленный Немировским на путях расширения “простейшего звукоряда”:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/1/7.html

Т. е. знак вопроса замещается (по сути дела) струной, являющейся четвертой гармонической к уже имеющейся тройке струн (что я попытался пояснить здесь:
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/3.html

Можно предположить, что и дальнейшие расширения звукоряда смогут быть представлены каким-то таким подобным образом….

[commator]

<
Во всяком случае точка, четвертая гармоническая к заданной тройке точек, позволяет ответить на вопрос, поставленный Немировским на путях расширения “простейшего звукоряда”:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/1/7.html

Т. е. знак вопроса замещается (по сути дела) струной, являющейся четвертой гармонической к уже имеющейся тройке струн (что я попытался пояснить здесь:
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/3.html

Можно предположить, что и дальнейшие расширения звукоряда смогут быть представлены каким-то таким подобным образом….

И почему бы это основой западной музыкальной гармонии стало четырёхголосие?

Я с энтузиазмом поддерживаю Ваше предположение и рад, что оно соответствует выводам Немировского,



но исходит от несколько иных предпосылок.

Я заканчиваю модель ДШБ, которая располагает отображения дробей по их значениям, пересчитанным в центах.
Похоже получается интересная картина, которую покажу, как только закончу.