Система чистой интонации предела 5

[vcirkov]

Мне угодно считать полноценной тональностью такое ощущение, в котором различимо наклонение, т. е. множество оттенков между мажором и минором. Октава такого ощущения не создаёт и не дотягивает до угодной мне тональности.

Этот вопрос в контексте этой темы не принципиален. Я всего лишь хотел напомнить о модальной гармонии.

[commator]

Этот вопрос в контексте этой темы не принципиален. Я всего лишь хотел напомнить о модальной гармонии.

В контексте этой темы я напомню, что нижайшим пределом чистого интонирования полноценной тональной музыки оказывается предел 5, порождающий так называемый чистый строй.

Системы ЧИП1, ЧИП2 и ЧИП3 такую музыку поддержать не могут, но не стоит забывать, что любая система ЧИ некоторого предела содержит в себе все системы более низких пределов и каждая из них в полном объёме там присутствует в бесконечном множестве экземпляров.

Говоря о системе ЧИП5 мы должны помнить, что она составлена из бесконечного множества систем ЧИП3, а каждая ЧИП3 есть бесконечное множество систем ЧИП2. Разумеется и каждая система ЧИП2 есть бесконечное множество систем ЧИП1.

Повышая предел чистого интонирования мы размножаем до бесконечности тонально родственные системы всех более низких пределов.

[vcirkov]

Говоря о системе ЧИП5 мы должны помнить, что она составлена из бесконечного множества систем ЧИП3, а каждая ЧИП3 есть бесконечное множество систем ЧИП2. Разумеется и каждая система ЧИП2 есть бесконечное множество систем ЧИП1.

Повторение - мать учения. Вы, кажется, занимаетесь 3D. Давайте посмотрим ромбики 5 предела в трех гарм. функциях подробно, то есть в составных частях трезвучий с удвоением звуков.

[commator]

Повторение - мать учения. Вы, кажется, занимаетесь 3D. Давайте посмотрим ромбики 5 предела в трех гарм. функциях подробно, то есть в составных частях трезвучий с удвоением звуков.

Тональностный ромб:

<<... [Парч 1974 года, Происхождение музыки, 2 изд., Da Capo Press, Нью-Йорк, с. 74-75]

Необязательное расположение монофонических соотношений [музыкальных частот], придуманное чтобы установить первичное доказательство по меньшей мере двойного своеобразия каждого соотношения и, следовательно, объём монофонической системы чистой интонации для предоставления тонов, которые могут быть восприняты более чем в одном смысле каждый.

Начальный тональностный ромб Парча (предел 5):

(для иного вида на этот ромб, см. предела 5 схему Монзо) ...>>

Повторим про схемы Монзо:

<<... © 1998 Джозеф Л. Монзо ... Интересно, что даже несмотря на 2-мерное пространство бывшее средой, в которой эти измерения были сделаны, они кажутся глазам образующими 3- или даже более -мерные построения, несколько напоминающие кристаллы ...>>

Схемы Монзо на самом деле 2-мерные (2D), хотя могут казаться и 3-мерными (3D). Однако схема предела 5 не только не 3D, но таковой даже не кажется. Как ни верти систему ЧИП5, она выглядит плоской, или 2D, т. е. до 3D представлений никак не дотягивает.

[vcirkov]

Схемы Монзо на самом деле 2-мерные (2D), хотя могут казаться и 3-мерными (3D). Однако схема предела 5 не только не 3D, но таковой даже не кажется. Как ни верти систему ЧИП5, она выглядит плоской, или 2D, т. е. до 3D представлений никак не дотягивает.

Я вижу объем трезвучий с удвоением так:
Само трезвучие в виде треугольника, в котором соединены точки (звуки), которые в свою очередь находятся на осях ЧИПов. Эти оси для 5 предела таковы: вертикальная - ось тоники, на которой в центре точка исходного звука. От нее вверх и вниз могут строится только октавы. От этой точки строим другую ось по углом 120 или 60, на которой располагаем самые близкие звуки квинтовой спирали (до, соль, ре и фа). Прочие же звуки не дерзаем помещать в эту схему, учитывая, что четыре хода квинты уже дают некорректную терцию. На схеме я расположил звуки так, чтобы было понятно как выглядит гамма. Вот проблема с третью осью: она вообще как бы и не ось, хотя имеет подобную структуру (треугольник из кварт - си, ми, ля); не пересекается с другими, как бы висит в воздухе. Этому есть оправдание: тоникальная ось прямая, квинтовая - спиралеобразная, а эта третья, видимо ромбообразная.
Объем возникает за счет удвоения одного из звуков трезвучий. Он воспроизводится путем соединения всех четырех точек (звуков), находящихся на разных осях. Слева на картинке изображены отдельные аккорды: тонический - красным и субдоминанты - голубым. Аккорд доминанты без объема найдете на основном рисунке, - зеленый цвет.

[Математик]

Я уже пытался поднять ранее “точечно – векторную” тему:

Однако, в музыкальной системе нам важно не только множество интервалов, но еще и множество звуков. Поэтому в качестве математической экспликации (уточнения), например, пифагорейской системы (3-limit Just Intonation), более приемлемой представляется не просто абелева группа, а система на основе аффинного пространства:
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1.html

где имеются как точки, так и векторы. Точки моделируют звуки, а векторы – интервалы. Имеется как операция сложения векторов, отвечающая групповой операции в ЧИПах, так еще и дополнительная операция “действия” (вектора на точку), описывающая взаимодействие звуков и музыкальных интервалов.
Получается, что известное и весьма популярное геометрическое пространство может естественным образом интерпретироваться как пространство музыкальное…

Для разминки и с целью подготовки основы для дальнейшего изложения, представим первые семь из 36 пифагоровых величин, рассмотренных Риманом:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/1/4.html

в виде линейных комбинаций базисных векторов e1 и e2 (мы только меняем местами числитель и знаменатель в дробях, приведенных Риманом, чтобы интерпретировать их как отношения частот, а не как отношения длин струн). Итак, имеем:

c (до) = 1 = 0* e1 + 0* e2
his (си-диез) = (3 в степени 12)/(2 в степени 19) = 12* e1 + 19* e2
des (ре-бемоль) = (3 в степени -5)/(2 в степени -8 ) = -5* e1 - 8* e2
cis (до-диез) = (3 в степени 7)/(2 в степени 11) = 7* e1 + 11* e2
hisis (си-дубль-диез) = (3 в степени 19)/(2 в степени 30) = 19* e1 + 30* e2
eses (ми-дубль-бемоль) = (3 в степени -10)/(2 в степени -16) = -10* e1 - 16* e2
d (ре) = (3 в степени 2)/(2 в степени 3) = 2* e1 + 3* e2

(символ * в приведенных формулах обозначает операцию умножения вектора на скаляр)
-------------------------

Напомню, что в соответствии с принятыми ранее соглашениями, базисному вектору e1 отвечает ход на дуодециму вверх (от точки-звука, к которой приложен этот вектор), а вектору e2 отвечает ход на октаву вниз (от точки-звука, к которой приложен этот вектор):

Однако тогда Вы об этом молчали:

Самый лучший способ, который я открыл, чтобы понять так много гармонической информации, сколь возможно в чисто-интонационной системе музыкальной настройки, есть использование решетчатых схем, которые изображают высоты как связанные векторами точки в многомерном пространстве.

Более того, выражали определенный скептицизм по поводу использования векторов:

На этом пути я не увидел ещё хорошего решения, но пока дело не доходит до ковекторов мне всё понятно. Векторы я ещё понимаю, но они всегда были для меня трудны и я не привык ими пользоваться. К тому же традиционная музыкальныя теория к ним не склонилась, тогда как к функциям у неё сформировалась прочная привязанность.

Риман удовлетворился рациональными числами в виде простых дробей, а мне этого оказалось мало и я добрался до канонического вида. Как сообщалось выше, первым поклонником такого подхода к музыкальным числам был скорее всего Эйлер. Он выбрался на просторы ЧИП7. Мне и этого мало, т. к. вижу перспективы выхода в ЧИП17. Это пространство семимерное. Простые дроби недостаточно информативны для такого путешествия. На векторах и геометрических интерпретациях не доберусь (возраст не юношеский), а функции и буквенные формулы доставят с гарантией. Седьмой год на них путешествую по разным пределам ЧИ. Пока не подводят.

[vcirkov]

Я уже пытался поднять ранее “точечно – векторную” тему:

Меня более интересует не готовая система возможных векторов в схеме строя. То есть ЧС (ЧИП) я вижу не как конкретный строй, а как абстрактную акустическую базу, некий фрагмент, в котором заключен алгоритм пространственных ощущений. Мне кажется, что объемное представление звуков имеет аналоговое соответствие в восприятии. Что мы имеем:
1. условные тоники (вертикали), которыми обозначаются базовые переходы, например, при отклонениях.
2. Построенные на них фрагменты квинтовой спирали, которые обеспечивают возможность извлечения пустых аккордов без наполнения терциями.
3. Терции, которые строятся векторами от тоник аккордов и образуют свою собственную систему, подобную спирали.
На М. терцию в квинтовой спирали можно не обращать внимания, рассматривая ее как остаток от сложения или вычитания. Но как относиться к септиме? Привлечь четвертый вектор, чтобы определить центр ее акустической зоны или прибавить м. терцию к квинте? В чем принципиальная разница подходов?

[commator]

Я уже пытался поднять ранее “точечно – векторную” тему:
<...>
Однако тогда Вы об этом молчали
<...>
Более того, выражали определенный скептицизм по поводу использования векторов:

На этот счёт я и сейчас помалкиваю скептически. Говорят про векторы vcirkov, Джо Монзо,

Одна из таких попыток:

<<... Текст и схемы © 1998 Джозеф Л. Монзо

Самый лучший способ, который я открыл, чтобы понять так много гармонической информации, сколь возможно в чисто-интонационной системе музыкальной настройки, есть использование решетчатых схем, которые изображают высоты как связанные векторами точки в многомерном пространстве.
<...>

...>>
<...>

ну и Вы, понятное дело.

[vcirkov]

На этот счёт я и сейчас помалкиваю скептически. Говорят про векторы vcirkov, Джо Монзо, ну и Вы, понятное дело.

Векторы, если найти способ хорошо их иллюстрировать, могут дополнить язык гарм. знаков. Это очень важно для пространственного восприятия музыки. Не строя, а именно гарм. переходов. Мой же интерес еще и в том, что через геометрию можно наглядно рассказать об инт. балансе.

[vcirkov]

Векторы, если найти способ хорошо их иллюстрировать, могут дополнить язык гарм. знаков. Это очень важно для пространственного восприятия музыки.

Система ЧИП5 великолепно иллюстрирует трехмерность, в котором нетрудно уловить еще и богословие. Линия - бесконечность (Бог-Отец); крест - первое пересечение, которое дает пентатонику (Бог-Сын); второе пересечение - реальный объем трехмерности (Бог- Св. Дух). Четвертое измерение - септима, своеобразный вопрос, который ставит все под сомнение - (Дух Зла). Используя терции, полученные от круга квинт, мы как бы и слышим их в двумерном пространстве квинт, где они окрашиваются диезами (при движении вверх) или бемолями (вниз). Терция, которую мы мыслим как самостоятельный вектор - изначально не поддается трансформации в двухмерном пространстве, поскольку представляет трехмерность. На плоскости мы можем соединить две точки. В объеме же кажущееся совмещение только иллюзия, которая разрушается, стоит только изменить угол зрения.
Еще мне кажется важным, что малые терции пентатоники и б. трезвучия, нужно мыслить как остаток от основных интервалов, которыми они были образованы. Не имеет никакого смысла учитывать, замерять и исследовать их.