Теории Гуго Римана

[Dmitrii]

Когда говорят о том, что "унтертонов в природе не существует", то имеется в виду очень простая вещь, для ясного осознания которой тем не менее требуется некоторый объем физических и математических знаний и навыков мышления. Речь идет о следующем. Звуки, воспринимаемые как "музыкальные", имеющие определенную высоту, представляют собой акустические сигналы, близкие к периодическим. Величина обратная периоду, т.е. количество периодов, укладывающихся в одну секунду, есть частота, точнее фундаментальная частота сигнала. Именно она (если отбросить поправки, связанные с интенсивностью, тембром и др. факторами) определяет воспринимаемую слухом высоту звука - чем больше фундаментальная частота, тем выше звук. Поэтому в элементарном рассмотрении высота звука обычно просто отождествляется с его фундаментальной частотой.
Так вот, важно понимать, что если периодический сигнал имеет фундаментальную частоту f, то он может включать компоненты с частотой кратной f, т.е. f, 2f, 3f и т.д. Но он не может включать компоненты с частотой f/2, f/3 и т.д. - их наличие привело бы к тому, что сигнал перестал бы быть периодическим с фундаментальной частотой f, т.е. имеющим период T=1/f, т.к. его период соответственно увеличился бы.
Таким образом, если говорится, что периодический сигнал имеет фундаментальную частоту f, то никаких "унтертонов", имеющих частоты f/2, f/3 и т.д. в нем не может быть просто по определению.
Если говорить о реальном музыкальном звуке, имеющем определенную высоту, то он, конечно, отличается от строго периодического сигнала, так что в нем могут присутствовать и унтертоны, и компоненты с другими частотами - но вклад их обычно очень невелик, иначе звук просто перестает восприниматься как имеющий данную высоту. А вот к гармоническим обертонам это не относится - их вклад не нарушает периодичность на фундаментальной частоте f, так что их вклад может быть весьма большим, что и наблюдается во множестве случаев на практике.
Поэтому уравнивать по значению обертоны и унтертоны никак нельзя. Обертоны - "полноправные" компоненты музыкального звука, которые могут вносить в него весьма значительный вклад. А унтертоны - это, в лучшем случае, очень малая добавка, связанная с отличием звукового сигнала от строго периодического, особенностей слухового восприятия и пр.

[vcirkov]

Поэтому уравнивать по значению обертоны и унтертоны никак нельзя. Обертоны - "полноправные" компоненты музыкального звука, которые могут вносить в него весьма значительный вклад. А унтертоны - это, в лучшем случае, очень малая добавка, связанная с отличием звукового сигнала от строго периодического, особенностей слухового восприятия и пр.

Спасибо за квалифицированное объяснение. Именно так я и представлял природу высоты и физическую природу звука. Но мне все же думается, что тембральный окрас зависит больше от посторонних тел, которые резонируют с конкретным звуком. Иначе, если бы все звуки отличались бы друг от друга только спектром своих собственных обертонов, мы бы не могли услаждать слух таким разнообразием тембров. Думаю, Вы с этим согласитесь.

[Dmitrii]

Соглашусь в том, что тембр - это сложное понятие, которое в случае реального музыкального звука как правило не может быть сведено к небольшому набору каких-либо числовых величин. Но это отдельный разговор.

[Filin]

to Dmitrii
Ну да, я говорю именно то, что и Вы, только не в таких строгих математических терминах.
to commator

Я не усматриваю в данных Вами цитатах из Римана даже намёка на то, что более низкий тон -- более реальная опора по отношению к верхнему.

Дело хозяйское. Я выделил слова, на основе которых я так считаю.

Из примера ясно, что интервал можно отсчитывать как снизу вверх, так и сверху вниз. Это будет один тот же интервал, но исходя из нижнего тона примет значение верхнего интервала, а исходя из верхнего тона -- обозначится как нижний интервал. Нет у Римана мыслей о том, что интервалы одинаковы сверху вниз и снизу вверх. Есть мысль о том, что один и тот же интервал существует двояко: как в значении верхнего, так и в значении нижнего.

Ну это всё же достаточно смелые утверждения, что (например) квинта вверх и квинта вниз от любого звука не равны по величине. Что же такое "верхний" и "нижний" интервал, я как-то не понял.

Если русское созвучание есть неточный перевод с немецкого для имени явления, известного у нас под латинизмом резонанс, то какое русское слово подходит лучше?

Никакое. Если уж термин обозначается заимствованным словом, то так его и нужно переводить - иначе значение в русском языке смазывается. В немецком это два разных корня, в русском тоже должны быть разные; и язык весьма точно это соблюдает, а если другого собственного корня нет, он заимствуется. В данном случае в статье речь идёт просто о том, что если одно тело звучит на той же высоте, на которой может звучать другое, молчащее, то это второе начинает звучать. То же - если молчащее тело находится выше, на высоте обертонов звучащего. Обратного эффекта (когда молчащее тело находится ниже) не наблюдается, в указанной Вами цитате Риман об этом и говорит, т.е.

Звучащий тон производит созвучание в тех звукоспособных телах, собственный тон коих соответствует одному из унтертонов звучащего тона

реально звучит более низкий звук, а более высокий "созвучит"

когда этот звучащий тон является обертоном их собственного тона

тоже реально звучит более низкий звук, а более высокий "созвучит".
Недаром Риман пишет "что то же самое".

О распознавании слухом не тонов а интервалов: от некоторых носителей абсолютного слуха известно, что они распознают как раз тоны, а интервалы вычисляют по тонам умозрительно.

У меня самого абсолютный слух. Уверяю Вас, никто из обладателей абсолютного слуха ничего не "вычисляет". Они слышат интервалы, аккорды, мелодии и пр. так же, как и все остальные люди (т.е. как целое), но вдобавок к этому могут слышать и звуки, из которых всё это состоит.

[vcirkov]

Когда говорят о том, что "унтертонов в природе не существует",...

значит именно это и утверждается. Теперь выясняется, что они все же существуют. Только, вероятно, не в природе. Осталось выяснить: а где же?

[commator]

... если периодический сигнал имеет фундаментальную частоту f, то он может включать компоненты с частотой кратной f, т.е. f, 2f, 3f и т.д. Но он не может включать компоненты с частотой f/2, f/3 и т.д. ...

Такой сигнал включает компоненты:

¹/₁[1f]
¹/₁[2f], ¹/₂[2f]
¹/₁[3f], _______ ¹/₃[3f]
¹/₁[4f], ¹/₂[4f], _______ ¹/₄[4f]
¹/₁[5f], _______ _______ _______ ¹/₅[5f]
¹/₁[6f], ¹/₂[6f], ¹/₃[6f], _______ _______ ¹/₆[6f]
¹/₁[7f], _______ _______ _______ _______ _______ ¹/₇[7f]
¹/₁[8f], ¹/₂[8f], _______ ¹/₄[8f], _______ _______ ______ ¹/₈[8f]
. . . и т. д.
.
.
и т. д.

От каждого обертона ¹/₁[nf] выстраивается фрагмент ряда унтертонов. где не все подряд унтертоны есть, но всегда есть унтертон ¹/_n[nf]. Он совпадает с основной частотой ¹/₁[1f].

Можно сказать, что это умозрительные построения, но давно известно: если в периодическом сигнале достаточно богатого спектра уничтожить гармоническое колебание основной частоты, для слуха этот резидуальный звук будет звучать так, как будто основная частота присутствует. Не потому ли, что спектр и без основного тона создаёт для каждого без исключения обертона 1/1[nf] звучащий унтертон ¹/_n[nf], совпадающий с ¹/₁[1f]?

Я уверен, что именно потому. И уверен, как и Риман, что унтертоны в природе встречаются. Не реже обертонов, если не чаще. Только они не так заметны, как обертоны, которые все замечать стали совсем недавно, в сравнении с вечностью их прошлого существования, когда их не замечал никто.

[Dmitrii]

давно известно: если в периодическом сигнале достаточно богатого спектра уничтожить гармоническое колебание основной частоты, для слуха этот резидуальный звук будет звучать так, как будто основная частота присутствует. Не потому ли, что спектр и без основного тона создаёт для каждого без исключения обертона 1/1[nf] звучащий унтертон ¹/_n[nf], совпадающий с ¹/₁[1f]?

Нет, не потому. Данный феномен не требует для своего объяснения никаких унтертонов. Это Вы можете и сами понять, если разберетесь в том, что написано по указанной Вами же ссылке.

[commator]

Нет, не потому. Данный феномен не требует для своего объяснения никаких унтертонов. Это Вы можете и сами понять, если разберетесь в том, что написано по указанной Вами же ссылке.

То, что мной указано я периодически перечитываю более 30-ти лет. Это из малотиражного сборника Элементы терии биологических анализаторов под редакцией Н. Позина. Я его себе приобрёл в 1978, когда он был издан.

С тех пор я разобрался, что биологический слуховой анализатор действительно распознаёт якобы не существующие, а умозрительными расчётами прогнозируемые унтертоны. И заинтересованные этим явлением исследователи предлагают свои версии объяснения фактов слышания тех или иных унтертонов. Другими словами, стремление объяснить слышание вместо удалённого первого обертона совпадающих с ним унтертонов всех остальных обертонов, появилось у людей после того, как они убедились, что эти унтертоны всегда слышны.

Так что требуются унтертоны; без них нет нужды в объяснении. И не беда, если Вы это заметить не пожелали, другие замечают; они и слышат унтертоны и объяснение им находят и применяют свои знания на практике.

[Dmitrii]

Феномен резидуального звука состоит в том, что человеческий слух в состоянии распознать фундаментальную частоту звукового сигнала даже в том случае, если в спектре этого сигнала отсутствует компонента, имеющая данную частоту. Для объяснения этого явления никакие унтертоны не нужны. Нужны, как я говорил выше, некоторые базовые знания и навыки оперирования ими, без которых нет и смысла вести какие-либо дискуссии по подобным вопросам.

Возможность выявления фундаментальной частоты в данном случае объясняется двумя причинами:
1) Спектр периодического сигнала с фундаментальной частотой f может содержать компоненты с частотами f, 2f, 3f и т.д. Они не обязательно должны присутствовать все, какие-то из них могут и отсутствовать, включая и компоненту с частотой f. Если в спектре имеется ряд последовательных обертонов, то фундаментальная частота легко устанавливается по расстоянию между соседними обертонами. Например, если в спектре удалить компоненту с частотой f, но сохранить компоненты с частотами 2f, 3f и 4f, то фундаментальная частота легко может быть распознана по величине разности 3f-2f=4f-3f=f;
2) Фундаментальная частота периодического сигнала - это величина обратная его периоду (а точнее - обратная его минимальному периоду). Так вот, если вы удаляете из спектра сигнала компоненту с частотой f, то это вовсе не обязательно означает, что его период (а соответственно и фунд. частота) изменяется. Если в спектре сохраняется достаточное количество обертонов, то период и фундаментальная частота не изменяются.

Пример:

Возьмем сигнал
f(t)=Sin(2Pi*t)+Sin(4Pi*t)+Sin(6Pi*t).
Он содержит три спектральные компоненты с частотами 1, 2 и 3, соответственно.
Вот его график:

Можно видеть, что его период равен T=1, и соответственно его фундаментальная частота
f=1/T=1.

Теперь удалим из него компоненту, соответствующую фундаментальной частоте, т. е. рассмотрим сигнал
g(t)=Sin(4Pi*t)+Sin(6Pi*t).
Получаем следующий график:

Как можно видеть, период остался прежним, T=1.
Что и требовалось доказать. И никакие унтертоны не нужны.

[commator]

... Ну это всё же достаточно смелые утверждения, что (например) квинта вверх и квинта вниз от любого звука не равны по величине. Что же такое "верхний" и "нижний" интервал, я как-то не понял. ...

Если ход на верхнюю квинту от с, то это ход I - V в тональности C-dur, например. Ход на нижнюю квинту от g есть ход V - I в той же тональности, но может быть и ходом I - IV в тональности G-dur. И все эти ходы имеют разное значение, хотя границами интервалов являются одни и те же тоны. О том что один и тот же интервал вверх и вниз по величине (абсолютной) не меняется я упоминал. Меняется его направление, а вместе с ним и роль интервала в тональности.

... У меня самого абсолютный слух. Уверяю Вас, никто из обладателей абсолютного слуха ничего не "вычисляет". Они слышат интервалы, аккорды, мелодии и пр. так же, как и все остальные люди (т.е. как целое), но вдобавок к этому могут слышать и звуки, из которых всё это состоит.

Вот это действительно смелое утверждение, т. к. я и в самом деле слышал от некоторых носителей абсолютного слуха, что они интервалы и другие созвучия разной сложности вычисляют по нотам, которые распознают как-то естественно, быстро и безошибочно.