Об "Установлениях гармонии" Дж. Царлино (по статье на kholopov.ru)

[Sergeus]

Дык.. ведь "квинта вниз" после перенесения ее в нужную октаву и станет "квартой вверх".
В данном случае перенесение в нужную октаву (т. е. на октаву вверх) будет заключаться в умножении на 2:
(2/3)*2 = 4/3

Да, вы правы. Причем, если расчитывать от октавы: (2/1):(3/2)=4/3-кварта.

[Математик]

Прочитал бегло некоторые посты. Возник такой вопрос.
Кто-то здесь писал, что мажорную и минорную терцию можно рассматривать как среднеарифметическое и среднегеометрическое деление квинты. Поясните, что под этим подразумевается.

Только не среднегеометрическое
Или среднее арифметическое или среднее гармоническое.

Вообще, желательно четко понимать, например, среднее арифметическое ЧЕГО берется?

Берется среднее арифметическое чисел, которые “обозначают” определенные звуки (или струны). Значит, и результатом операции “взятие среднего арифметического двух чисел” тоже будет некоторое вполне определенное число, обозначающее определенный звук (или струну).

Ради определенности проиллюстрируем это на примере мажорной диатонической гаммы чистого строя, построенной выше:

Несколько по другому и чуть более подробно построение мажорной диатоники чистого строя при помощи Царлиновских больших трезвучий можно представить так (см. прилагаемый рис.)

Там, например, звуку “до1” сопоставлено число 2/1. Это означает, что частота колебаний струны звука “до1” в два раза выше частоты колебаний струны звука “до”.

Частота колебаний этой последней струны принята в данном случае за “начало отсчета”.
В принципе, за начало отсчета можно было бы принять любую другую струну, и тогда числа в приведенной выше таблице мажорной диатоники чистого строя стали бы совсем другими, хотя, конечно, интервальные отношения между звуками не изменились бы.

Итак, каждому звуку гаммы сопоставлено число, причем при выбранном подходе более высокому звуку соответствует и большее число.

Легко видеть, что число 3/2, отвечающее в вышеприведенной таблице звуку “соль” является средним арифметическим чисел чисел 1/1 и 2/1, обозначающих, соответственно, звуки “до” и “до1”

Формула для среднего арифметического двух чисел x и y:
Arithm(x, y) = (x + y)/2.
Подставляем в эту формулу: x = 1/1, y = 2/1 и получаем в результате:
Arithm = 3/2.
-----------------------------------
Формула для среднего гармонического двух чисел x и y:
Harm(x, y) = 2xy/(x + y).

Легко видеть, что число 4/3, отвечающее в вышеприведенной таблице звуку “фа” является средним гармоническим чисел чисел 1/1 и 2/1, обозначающих, соответственно, звуки “до” и “до1”
Действительно, подставляя в формулу для среднего гармонического x = 1/1, y = 2/1, получаем в результате:
Harm = 4/3.
------------------------------------------------------------

Чтобы вычислить величину интервала между числами A и B, представляющих определенные звуки, (будем предполагать, что A < B), необходимо число B поделить на число A.
Между числами 1/1 и 3/2, обозначающих, соответственно, звуки “до” и “соль”, интервал (3/2):(1/1) = (3/2) – т. е. интервал квинты;
между числами 3/2 и 2/1, обозначающих, соответственно, звуки “соль” и “до1”, интервал (2/1):(3/2) = (2/1)*(2/3) = (4/3) – т. е. интервал кварты;
это и означает, что операция взятия арифметического среднего делит интервал октавы на квинту внизу и кварту вверху.

Между числами 1/1 и 4/3, обозначающих, соответственно, звуки “до” и “фа”, интервал (4/3):(1/1) = (4/3) – т. е. интервал кварты;
между числами 4/3 и 2/1, обозначающих, соответственно, звуки “фа” и “до1”, интервал (2/1):(4/3) = (2/1)*(3/4) = (6/4) = (3/2) – т. е. интервал квинты;
это и означает, что операция взятия гармонического среднего делит интервал октавы на кварту внизу и квинту вверху.

[Математик]

Совершенно аналогично можно показать, что операция взятия среднего арифметического делит квинты до – соль, фа – до1 и соль – ре1 нашей мажорной диатоники чистого строя на большую терцию 5/4 внизу и малую терцию 6/5 вверху.

Например, для квинты соль - ре1.
Звуку соль отвечает число 3/2, звуку ре1 отвечает число 9/4.
Между звуками соль и ре1 интервал квинты, т. к.
(9/4):(3/2) = (9/4)*(2/3) = (18/12) = 3/2.

Среднее арифметическое чисел 3/2 и 9/4 равно 15/8 (это число обозначает у нас звук “си”).

Интервал между числами 3/2 и 15/8 равен [15/8]:(3/2) = [15/8]*(2/3) = (30/24) = (5/4) – т. е. равен интервалу большой терции;

Интервал между числами 15/8 и 9/4 равен (9/4):[15/8] = (9/4)*(8/15) = (72/60) = (6/5) – т. е. равен интервалу малой терции;
это и означает, что операция взятия арифметического среднего делит интервал квинты на большую терцию внизу и малую терцию вверху.

[Математик]

Некоторая информация о работах Царлино есть также в известной книге:
Люсьен Шевалье.
История учений о гармонии. М., 1931, на сс. 31 – 32.

В этой же книге можно прочитать также о работах непосредственных предшественников и последователей Царлино.
В pdf-файле по адресу:
http://webfile.ru/2028566

находятся страницы 3 -- 43 указанной книги (до главы о Рамо).

[Нигилист]

Что то от темы уже отклонились.

На мой вопрос так никто и не ответил - откуда взялся термин "чистый"?.
Неужели сложно сказать известно ли что-нибудь о происхождении этого слова или нет?

Кто-то здесь писал, что мажорную и минорную терцию можно рассматривать как среднеарифметическое и среднегеометрическое деление квинты.

И зачем??? Это ж бесмысленно... или нет?

[Нигилист]

Кто-то здесь писал, что мажорную и минорную терцию можно рассматривать как среднеарифметическое и среднегеометрическое деление квинты.

Это ж не так. Не арифм. точно.,геом., наверно, тоже.

[Математик]

И зачем??? Это ж бесмысленно... или нет?

Что именно Вас смущает, уважаемый Нигилист?

Г-н Архит Тарентский именно так и делил квинту для получения мажорной и минорной терций.
Г-н Царлино тоже так поступал.
Об этом уже предостаточно написано выше в этом топике (со всеми необходимыми ссылками на источники).

Можете еще раз прочитать фрагменты из ван дер Вардена:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html

http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6.html

Из этих текстов следует, что в античности математические операции взятия арифметической и гармонической средних были основным инструментом при построении различных звукорядов.

[Математик]

...обнаружился, как мне кажется, очень интересный ресурс - сайт одного новосибирского ученого Щетникова, автора довольно дельных статей (одна из них мне так понравилась осмысленностью, что я включил ее в библиографию о Евклиде в одной статье для энциклопедии, которую я, извиняюсь за выражение, написал). ТАк вот, у этого А. Щетникова (http://www.nsu.ru/classics/pythagoras/index.htm ), среди прочего, есть статьи:
- Развитие учения о музыкальной гармонии от Пифагора до Архита (pdf) - я не вникал пока, но, кажется, вполне дельная статья (впрочем, в истинное музыковедение она может быть не принята ввиду того, что он пишет "сверхчастная" вместо "сверхчастичная" или "энгармоническая" и т.п.). По словам автора, обзор примерно тот же, что и у Ван дер Вардена, только местами чуть более развернуто изложенный.

О применении операций арифметического и гармонического средних в античной музыкальной теории очень подробно написано в книге А. Щетникова “Развитие учения о музыкальной гармонии от Пифагора до Архита” , на которую ссылается Zub01.
Особенно см. стр. 6 -- 7, 21 – 22.

[Математик]

Любопытно отметить, что арифметическое, геометрическое и гармоническое средние из теории музыкальной гармонии интенсивно мигрировали в смежные области, например, в теорию гармонии архитектурных форм.
Это проявилось, например, в творчестве выдающегося итальянского архитектора Палладио (который, кстати говоря, был ровесником Царлино и даже родились оба в Венеции):

"When Andrea Palladio, (1508-1580), in The Four Books of Architecture, published in 1570, suggested seven sets of the most beautiful and harmonious proportions to be used in the construction of rooms he chose measurements which reflect musical consonances.

When Palladio goes on to talk about the generation of the height of rooms, he elucidates three types of proportion which are traditionally thought to have been discovered by Pythagoras:
The Arithmetic Mean,
The Geometric Mean,
The Harmonic Mean."
http://www.aboutscotland.co.uk/harmony/prop3.html

http://www.aboutscotland.co.uk/harmony/prop6.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Palladio

http://en.wikipedia.org/wiki/Gioseffo_Zarlino

Так что упомянутые три средние сильно наследили в Истории (особенно в истории Гармонии).

[Нигилист]

Что именно Вас смущает, уважаемый Нигилист?

Отсутствие смысла.