Теории Гуго Римана

[commator]

Полностью согласен с этим сообщением, за исключением двух «но».

1. Позволю себе уклониться от «аксиологической» дискуссии, т. е. от худжественной оценки того или иного строя. Для меня это вопрос из серии, какой цвет лучше, красный или зелёный. Если вводный тон в наше время и во время Глинки побуждает исполнителей играть его уже, чем 16:15 с тоном разрешения, то мы просто должны учесть это как факт, хотя когда-то, возможно, было по-другому.

Уклоняйтесь, но я повторю. Не вводный тон побуждает себя завышать, а стремление исполнителей не делать заметных расхождений с чрезмерно завышенными в системе 12РДО большими терциями.

2. Всё-таки, на мой взгляд, «унтертоны» Римана остаются его идеологической конструкцией, в то время, как обертоны существуют реально. Вернее, лучше сказать, что они выялвяются анализом Фурье любого колебания, отличающегося от синусоиды, в то время, как унтертоны — не выявляются.

Риман поддерживает взгляды Эттингена. С такой точки зрения не только спектр зависим от своего тона, но и тон зависим от своего спектра.

В спектре тона, каждая Фурье-синусоида порождает высоту энного обертона.

Тон спектра есть первый общий унтертон всех эн обертонов, т. к. каждая Фурье-синусоида порождает в спектре энную высоту и первый от неё унтертон.

[commator]

Проверил. Сделал простенький аддитивный синтезатор. Оставил только 2-й и 7-й обертоны [отсчитываю номера от основного тона] и пощёлкал по разным нотам. Никакого основного тона не услышал. Услышал звук октавой выше (т. е. тот самый второй обертон).

Попробуйте: Вложение 65573 (чтобы запустить файл надо установить Max Runtime для Win или для Mac).

Хорошо получилось. Испытываю на себе.

Если не слишком для Вас хлопотно, добавьте возможность регулировки фазы у каждой синусоиды. Верхом совершенства могла бы стать осцилограмма пары периодов синтезированного звука.

[lubytel]

Вопрос тогда сводится к тому, что есть реальность. Реальность — штука сложная Вопрос разницы между вещью в себе и вещью для нас не разрешён до сих пор.
Анализ Фурье сложной волны выявляет «реально существующие» обертоны или это лишь способ представления? — для меня как-то этот вопрос лишён противоречия. Что значит тогда «реально существующие»?
Поскольку в наше ухо встроен «анализатор Фурье» — орган Корти, то как «вещь для нас» обертоны «реально существуют». А уж «существуют» ли они «вообще» — по-моему, вопрос, скорее, для софистов.

Спасибо за внимание к этой проблеме и разъяснения в предыдущем посте.Мы на скрипичном форуме обсуждали эту реальность.Слава Богу теперь есть не только математич.расчёты,но и съёмка скоростной камерой.Так что реальность-это волна Гельмгольца.Её можно представить суперпозицией неск.синусоид.Только как это в реальности конкретная точка струны будет совершать все эти движения с разными векторами скорости,которые следуют для каждой гармоники???
Вот пара ссылок
http://tvn-moscow.ru/forum/viewtopic.php?f=39&t=231
http://www.youtube.com/watch?v=_X72on6CSL0

[lubytel]

Это явно не шум. Возможно, колебания корпуса, которые случайно совпадают с унтертонами. Но как быть тогда с горловым пением, где октава извлекается на любой удобной для этого высоте.

Спасибо за уточнение.Я как раз хотел спросить можно ли петь разные ноты.Это правда ничего ещё не доказывает.Ведь при нормальном пении связки дают конкретную ноту благодаря настойке на неё изменением натяжения связок и т.д.А при горловом пении также может происходить изменение параметров живота(или где там будет происходить резонанс).

Кстати,я попробовал повторить Ваш опыт со струной.Получилось,но не очень надёжно,приходится учиться это делать.Лучше всего получалось на 10-11 ладу.Я тоже дёргал струну ля.А можете описать подробнее,где Вы прикасались ручкой,под каким углом,как защипывли струну.

[Filin]

Немного изменю форму моего ответа.

Я, кстати, тупо никак не могу понять, что собственно так красиво изображено на этом графике?
Что означают лучи, расходящиеся от звуков квинты до–соль?

Если кратко сформулировать традиционными словами то, что пытается сказать Кунин, то получится следующее:
— два или более отдельных тонов могут образовывать между собой комбинационные тоны (он их называет «интервальными унтер- и обертонами»),
— обертоны одного единственного тона, а также разных тонов тоже могут образовывать между собой комбинационные тоны.
— обертоны возникают не только в самом звуке, но и в результате нелинейности слуховой системы, которая каждой частоте добавляет «свои» обертоны и комбинационные тоны (что не одно и то же).

Кунин ставит перед собой задачу описать проблемы гармонического слуха. Для этого он описывает соотношения обертонов в созвучиях. Октавные удвоения, как он пишет, он не отображает. За точку отсчёта Кунин берёт звук с¹, и по отношению к нему рассматривает все звуки в пределах квинты* (следующий обертон после октавы). По оси абсцисс откладываются все звуки в пределах квинты (включая уменьшенные и увеличенные секунды встречающиеся в обертоновом ряду), по оси ординат - звуки в пределах 4-х октав (большая октава - расстояние от 1-го до 2-го обертона). Линии соединяют основной тон и обертоны звуков c¹ и g¹, с одной стороны, и от всех звуков в пределах квинты, с другой, что даёт возможность построить любое созвучие, откладывая звуки по оси абсцисс и оси ординат. Некоторые из обертонов совпадают и звучат громче, т.е. напряжённее несовпадающих, причём чем больше таких узлов, тем напряжение больше. Эти узлы (места совпадений обертонов от разных звуков) отмечены точками на линиях.
Таким образом, Кунин, кроме обозначенных Вами вещей, хотел сказать ещё вот что:
- Напряжённость созвучия, выражаемая количеством узлов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между составляющим его звуками (а не степенью совпадения/несовпадения с натуральным звукорядом);
- Три секунды разной величины - и, соответственно, производные от них созвучия - воспринимаются на слух приблизительно одинаково из-за одинакового количества узлов (что и было использовано при создании темперации);
- На слух воспринимаются и звуки ниже основного тона (уж определите сами, в качестве чего).

Здесь (как и в op. 11 Шёнберга, Kinderspiel Лахенмана и много где ещё) используется эффект резонанса на обертоне.

Разумеется, я ведь и сам писал:

Это значит, что все звуки, начиная с малой октавы, непременно будут обертонами одного из беззвучно взятых и создадут эффект типа эха.

Что же касается дальнейшего, то я, очевидно, чего-то не понимаю. Ваши формулы, приведённые в статье, я прочитал, но воспринимаю их совершенно абстрактно-математически и не могу понять, что значит на практике "перемножить два сигнала". Поэтому я воспринимаю их как сумму, т.е. суммарные звучания на графике Кунина для меня выглядят как (f+2f+...+nf)+(1,11f+2,22f+...+1,11nf) (минимальное) и до
(f+2f+...+nf)+(1,5f+3f+...+1,5nf) (максимальное). Возможно, поэтому я и считаю равнозначными сложение и умножение сигналов. Не разъясните ли?

P. S. На валторне, переключённой в строй B, можно сыграть основные тоны B₁, A₁, As_1.

Ну разумеется, я просто взял сведения из учебника, о валторне in F. Мне было важно показать, что звукоряд не обязательно начинается с основного тона.
--
*Ограничиваясь объёмом 16 обертонов и сводя их, подобно Пифагору, в одну октаву.

[DJ Хруст]

Кунин <...> описывает соотношения обертонов в созвучиях. Октавные удвоения, как он пишет, он не отображает. За точку отсчёта Кунин берёт звук с¹, и по отношению к нему рассматривает все звуки в пределах квинты* (следующий обертон после октавы). По оси абсцисс откладываются все звуки в пределах квинты, <...> по оси ординат - звуки в пределах 4-х октав (большая октава - расстояние от 1-го до 2-го обертона). Линии соединяют основной тон и обертоны звуков c¹ и g¹, с одной стороны, и от всех звуков в пределах квинты, с другой, что даёт возможность построить любое созвучие, откладывая звуки по оси абсцисс и оси ординат. Некоторые из обертонов совпадают и звучат громче, т.е. напряжённее несовпадающих, причём чем больше таких узлов, тем напряжение больше. Эти узлы (места совпадений обертонов от разных звуков) отмечены точками на линиях.
<...>
--
*Ограничиваясь объёмом 16 обертонов и сводя их, подобно Пифагору, в одну октаву.

Извините, я всё ещё никак не могу понять. Пока до меня дошло следующее. В графике рассматривается созвучие из двух тонов. По оси ординат откладываются гармоники нижнего тона этого созвучия. По оси абсцисс — отношение частоты верхнего тона к нижнему.
Почему тогда лучи расходятся от звуков дуодецимы? Почему это дуодецима, а не квинта, если Вы говорите, что он сводит всё в одну октаву? Где там всё-таки обозначены обертоны от до? Почему диагонали имеют именно такой наклон, а не какой-то другой? Если провести, по совету автора, от F на оси абсцисс вертикальную линию, то точек получается не меньше, чем если провести её от F#. Что ж, получается, у чистой кварты и тритона схожая степень «напряжения» (по терминологии автора)?

(включая уменьшенные и увеличенные секунды встречающиеся в обертоновом ряду)

Это где это они там встречаются?

[commator]

Хорошо получилось. Испытываю на себе.

Если не слишком для Вас хлопотно, добавьте возможность регулировки фазы у каждой синусоиды. Верхом совершенства могла бы стать осцилограмма пары периодов синтезированного звука.

Нашёл такое в готовом виде. Оно в разделе Самостоятельные синтезаторы и называется Orangator v2.0.

[vcirkov]

Ведь при нормальном пении связки дают конкретную ноту благодаря настойке на неё изменением натяжения связок и т.д.А при горловом пении также может происходить изменение параметров живота(или где там будет происходить резонанс).

Живот абсолютно не при чем. Знаете, меня удивляет то, что ученых интересует только теория. Тогда как, научившись извлекать унтерноты, мы можем увидеть и понять это явление, а потом приложить теорию в правильном русле. Ведь без практики можно столько мусора накопать, что никакой НИИ не разгребет. Для меня определенно ясно, что абстрактное теоретическое обоснование унтертона каким-то образом работает в реальном физическом поле. Иначе, полный звук мы слышим в зеркальном отражении обертонов и унтертонов. Первые порождаются звучащим телом, вторые - искажениями звука этого же тела, которые резонируют на корпусе инструмента. Нужно обратить внимание на то, что источник резонанса - именно звучащее тело. Сам резонатор вряд ли мог бы порождать определенные частоты унтертонов. Теперь понятно откуда хриплость тембра у саксофона. Унтертоновые призвуки - не менее ценны для тембра, чем обертоновые. другое дело, что у гобоя, например, их на порядок меньше.

Кстати,я попробовал повторить Ваш опыт со струной.Получилось,но не очень надёжно,приходится учиться это делать.Лучше всего получалось на 10-11 ладу.Я тоже дёргал струну ля.А можете описать подробнее,где Вы прикасались ручкой,под каким углом,как защипывли струну.

Ручка железная для струны с медной обмоткой. прикасался у самого порога внизу.

[DJ Хруст]

Ваши формулы, приведённые в статье, я прочитал, но воспринимаю их совершенно абстрактно-математически и не могу понять, что значит на практике "перемножить два сигнала". Поэтому я воспринимаю их как сумму, т.е. суммарные звучания на графике Кунина для меня выглядят как (f+2f+...+nf)+(1,11f+2,22f+...+1,11nf) (минимальное) и до
(f+2f+...+nf)+(1,5f+3f+...+1,5nf) (максимальное). Возможно, поэтому я и считаю равнозначными сложение и умножение сигналов. Не разъясните ли?

Честно говоря, я в свою очередь, не понимаю, откуда взялись эти коэффициенты и вообще зачем так складывать частоты.


Попробую объяснить.
Когда мы говорим о сложении или перемножении сигналов, мы имеем в виду форму волны, а не спектр сигнала. С тех пор, как появилось преобразование Фурье, стало уместно говорить о временном представлении и частотном представлении сигнала.

Временное представление сигнала — это и есть форма волны, т. е. функция значения сигнала от времени a(t).
По горизонтали — время (t), по вертикали — значение сигнала (т. е., например, положение мембраны динамика, издающего звук в данный момент времени).

Когда мы подвергаем эту функцию сигнала от времени преобразованию Фурье F[a(t)], получается другая функция — функция амплитуды от частоты A(f): по горизонтали — частоты, по вертикали — их амплитуда (т. е. степень их присутствия в сигнале).

Например, в безобертоновом звуке форма волны (её временное представление) — синусоида, а частотное представление — один пик (в идеале — одна точка), который показывает, что в сигнале присутствует только одна частота. Если сигнал — звук определённой высоты, но не синусоида, а какая-то другая форма волны, то её частотным представлением будет «гребёнка» пиков на частотах обертонов этого сигнала. Звуки не определённые по высоте будут иметь совсем другое временное представление (например, для белого шума это — ровная полоса, означающая, что все частоты присутствуют в этом сигнале в равной степени).

Технически, временное представление — то, что Вы видите на осциллографе, а частотное — на спектрографе:

Для ля¹:



Для ля:



_{[Извините, не знаю, как растянуть, щёлкните пожалуйста]}

Так вот: когда мы говорим о сложении и перемножении сигналов, повторюсь, мы имеем в виду именно временное представление, т. е. формы волны. «Сложение двух функций» означает сложение их точек с одинаковыми абсциссами. Т. е. сложение функций — это просто их суперпозиция. Аналогично, перемножение.

Но со сложением всё просто — если два колебания складываются, то их спектры (т. е. частотные представления) тоже складываются. То есть, если у вас 2 синусоиды с частотами соответственно f' и f" (т. е. график частотного представления каждой из них будет иметь один пик на значениях соответственно f' и f"), то результатом их сложения, по-любому, будет некое более сложное колебание, частотное представления которого будет иметь два пика на частотах f' и f'; никаких иных частот там не будет.

Однако, с умножением всё сложнее: как я уже говорил, если два колебания перемножаются, то их спектры (т. е. их частотные представления) сворачиваются. В результате свёртки спектр получившегося сигнала имеет пики на частотах f'–f", f"–f', f"+f'. Отрицательные значения мы не учитываем (хотя при строгих вычислениях они важны; собственно разности частот — это на самом деле суммы отрицательных и положительных частот, ну да ладно), поэтому получаются два пика — на разностной и суммарной частотах. Это и есть комбинационные тоны.

То есть, если исходные сигналы — синусоиды, отличающиеся на квинту (тогда их частоты можно выразить как 2f и 3f, где f — общая кратная для них частота), то результатом сложения этих двух отдельных сигналов будет квинта, а результатом умножения — большая терция через две октавы так как частоты получившегося сигнала будут [3f–2f=f] и [3f+2f=5f].

Смотрите:

То, что получается в результате умножения (и более сложных форм модуляции) сигналов — и есть комбинационные тоны, но это никак не обертоны и не унтертоны в римановском смысле слова.

Можете, кстати, побаловаться с разными синусоидами и послушать, что будет происходит при их простом сложении и перемножении:
Add&Multiply.maxpat.zip (чтобы запустить файл надо установить Max Runtime для Win или для Mac).

[DJ Хруст]

Тон спектра есть первый общий унтертон всех эн обертонов...

То есть, то, что Вы называете унтертоном, есть просто основной тон, когда речь идёт об обертоне?

... т. к. каждая Фурье-синусоида порождает в спектре энную высоту и первый от неё унтертон.

Не понял. Ваша нумерация предполагаемых Вами унтертонов симметрична Вашей нумерации обертонов?
Тогда, согласно Вашей нумерации, 1-й унтертон и есть этот тон => последние пять слов цитаты не имеют смысла. Уточните.