Теория музыкальных темпераций

[Нигилист]

Zub01,
Вопрос не совсем по теме, но всё же к ней отношение имеет.

Почему неравномерные темперации всегда оказываются незамкнутыми, и похоже в принципе замкнутыми быть не могут? В чём причина?
Подозреваю, что это тайна за семью печатями.

[Medina]

Почему неравномерные темперации всегда оказываются незамкнутыми, и похоже в принципе замкнутыми быть не могут?

Да кто Вам сказал, что ВСЕ неравномерные темперации незамкнутые?

В чём причина?
Подозреваю, что это тайна за семью печатями.

Ну какая же это тайна? Все очень просто. Дело в том, что уравнение 2^x=(3/2)^y не имеет целых положительных решений. Таким образом, очевидно, что в целое количество октав не может уложиться никакое целое количество чистых квинт, отсюда и незамкнутость ряда неравномерных темпераций

[Zub01]

Вопрос не совсем по теме, но всё же к ней отношение имеет. Почему неравномерные темперации всегда оказываются незамкнутыми...

Да, вопрос не очень по теме (хотя теоретически, конечно, можно было бы обсудить темперации Царлино, если было бы ясно, что именно обсуждать ). Нет, это не так - среди неравномерных замкнутыми являются, например "хорошие" темперации Веркмейстера, Нейдхардта, Кирнбергера, Валотти и др., которые все неравномерны. М.б., вопрос в терминологии (уточните, что Вы понимаете под "замкнутыми темперациями". По этому поводу см., например, классические статьи Бозанкета (Bosanquet) или старую книгу Барбура (Barbour) ).

[Нигилист]

Medina

Да кто Вам сказал, что ВСЕ неравномерные темперации незамкнутые?

Так показалось при знакомстве с некоторыми из них.

Ну какая же это тайна?

Дело в том, что в литературе, которую я читал, об этом ни слова не написано.
А это нужно для более глубокого понимания. Обычно просто описываются темперации без объяснения причин. Я читал книги муз. акустики, а их авторы, наверное, не были математиками. Видимо, надо было искать подобную литературу, где авторы математики.

Таким образом, очевидно, что в целое количество октав не может уложиться никакое целое количество чистых квинт, отсюда и незамкнутость ряда неравномерных темпераций

Ну да, правда это я уже выяснил самостоятельно, но всё равно спасибо. Я так считал:
(Попробую написать в общем виде, я не математик, могу ошибиться).
Y1=X*1,5^12
Y2=X*2^7
Y1/Y2= Пифагорова комма.

Всё же, до конца не понятно, почему так получается.
Вы случайно не математик?
В каком разделе математики это изучается?
Может, расскажете, от чего эти отклонения возникают, уж больно интересно стало?

[Нигилист]

Zub01

Нет, это не так - среди неравномерных замкнутыми являются, например "хорошие" темперации Веркмейстера, Нейдхардта, Кирнбергера, Валотти и др., которые все неравномерны. М.б., вопрос в терминологии

Может мне и показалось, я этим совсем не давно занялся. Я подумал, что при использовании чистых интервалов всегда получается незамкнутость. Не обязательно?

Такой вопрос. Известно ли что-нибудь об историческом возникновении термина "чистый" и с чем связанно такое название?
Просто в соседнем топике спорили, уже интересно стало.

[Medina]

]Ну да, правда это я уже выяснил самостоятельно, но всё равно спасибо. Я так считал:[/COLOR][/FONT]
(Попробую написать в общем виде, я не математик, могу ошибиться).
Y1=X*1,5^12
Y2=X*2^7
Y1/Y2= Пифагорова комма.

Всё же, до конца не понятно, почему так получается.

"Раздел" математики так и называется "Элементарная математика". Поэтому это очень просто. Вот смотрите. Рассмотрим уравнение:

2^n=(3/2)^m , где n и m - натуральные числа. Имеем:

2^n = (3^m)/(2^m), из чего следует:

(2^n)*(2^m) = 3^m, из свойства произведения чисел в степенях следует:

2^(n+m) = 3^m

Таким образом, мы видим, что первоначальное уравнение равносильно тому, что мы получили в итоге - число 2 в натуральной степени должно быть равно 3 в натуральной степени, а этого не может быть хотя бы даже по вполне очевидной причине, которую видно невооруженным математикой глазом, а именно: 2 в любой натуральной степени - четное число, а 3 в любой натуральной степени - нечетное Таким образом, мы установили, что такое уравнение не имеет решений.

Отсюда очевидно, что какое бы мы количество октав и чистых квинт не брали, n октав никогда не будет равно m квинт. Однако, при n=7 и m=12 разница между правой и левой частями первоначального уравнения минимальна. Это и есть та самая пифагорова комма, которую Вы совершенно верно вычислили То есть такой интервал образуется, если Вы отложите 12 квинт вверх и 7 октав вниз

[Zub01]

Ув. соформники, давайте про эту набившую оскомину теорию темпераций - в отдельный поток. Я сейчас попрошу модераторов выцепить соотв. сообщения из этого потока и перенести их в отдельную тему.

[Roussakoff]

По просьбе Zub01 выделил тему, специально предназначенную для дисскуссий по поводу собственно теории темпераций.

модератор

[Нигилист]

Medina, спасибо.

Просто, да не совсем.

2 в любой натуральной степени - четное число, а 3 в любой натуральной степени - нечетное

Почему так? Этому есть объяснение?

Меня больше интересуют теоретические пололожения. Есть ли они?

Почему в зависимости от способа расчётов несколько меняется конечный результат, как например расчёты через пропорцию и проценты?

Может тут дело, в неведомой мне иррациональности?

Где её изучают? то же в "Элементарной математике"?
Кстати, что такое "теория чисел"?

[Medina]

[

Почему так? Этому есть объяснение?

Есть. Если перемножать четные числа, а 2^n = 2*2*2....*2 (n раз), то результат будет четным, а если перемножать нечетные числа, а 3^n = 3*3*3....*3 (n раз), то результат будет нечетным. Но дело даже не в этом, а в следующем:

Может тут дело, в неведомой мне иррациональности?

Именно в ней. Просто я хотела обойтись без логарифмов, однако, если Вы настаиваете:

Меня больше интересуют теоретические пололожения

, то придется прибегнуть к ним. Откройте учебник математики (или как там он называется? Алгебра?) За 11, вроде, класс средней школы. Там рассказывается, как решаются показательные уравнения.
То, что мы получили прошлый раз:
2^(n+m) = 3^m можно прологарифмировать, скажем по основанию 2:

log (2^(n+m)) =log (3^m), таким образом, после логарифмирования имеем:

n+m = m*log 3, где log - логарифм по основанию 2. Таким образом, имеем:

(n+m)/m = log 3

log 3 - иррациональное число, а (n+m)/m - число рациональное. Иррациональное число не может быть равно рациональному.