Теория групп еще не сказала своего последнего слова в теории музыки

[Математик]

Сегодня попалось интересное сочинение:

ТЕОРЕТИКО-ГРУППНОЕ ОПИСАНИЕ ЧИСТОЙ ИНТОНАЦИИ:

Спасибо за ссылку, уважаемый commator.
Мне все же хотелось бы подойти к применению теоретико-групповых методов в теории музыки со стороны так называемых “группоидов Брандта”:
http://www.px-pict.com/9/5/2/7/1/3.html

В принципе, группоиды Брандта являются “частичными группами”, т. е. группами, в которых операция композиции определена не для любой пары элементов.
Такой подход, как мне представляется, позволит развить наиболее фундаментальную теорию по приложению групповых методов в теории музыки.
------------------------------------------

Достаточно указать, например, что античная операция “непосредственного” составления упорядоченных пар натуральных величин:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html#2

естественным образом индуцирует на множестве всех таких пар структуру некоторого группоида Брандта.

[commator]

Теория групп никогда не скажет в теории музыки последнего слова. Она поёт в музыке от начала жизни последней и перестанет петь только вместе со смертью музыки, если она не бессмертна.

[Математик]

Теория групп никогда не скажет в теории музыки последнего слова. Она поёт в музыке от начала жизни последней и перестанет петь только вместе со смертью музыки, если она не бессмертна.

Очень поэтично.
В качестве отправной точки для начала разговора о применении в теории музыки теоретико-групповых методов, привожу определение “группы” от классика Б. Л. ван дер Вардена:
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/6.html
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/6/6.html

и от А. И. Кострикина:
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/3.html
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/3/2.html

[Математик]

Мне все же хотелось бы подойти к применению теоретико-групповых методов в теории музыки со стороны так называемых “группоидов Брандта”:
http://www.px-pict.com/9/5/2/7/1/3.html

В принципе, группоиды Брандта являются “частичными группами”, т. е. группами, в которых операция композиции определена не для любой пары элементов.
Такой подход, как мне представляется, позволит развить наиболее фундаментальную теорию по приложению групповых методов в теории музыки.

Я уже приводил простенький группоид Брандта, лежащий в основе тетрады:

Мы можем считать, что в определенном смысле в основе этой группы лежит математическая система, известная как “группоид Брандта”. Я уже приводил ее в контексте рассмотрения основополагающей структуры для тетрады:
При ”звуковысотной” интерпретации “петли” группоида Брандта, очевидно, соответствуют унисонам.

Даже самый элементарный звукоряд сбалансирован. Речь идет о тетраде:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/4.html

Но опять-таки этот баланс мы должны постигать в терминах некоторой операции, заданной на интервалах. Посмотрев на рисунок тетрады у Щетникова:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/9/2/6.html

я составил "таблицу Кэли" для соответствующей операции "составления интервалов":
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/10/1.html

Да ведь самый настоящий группоид Брандта получился!
http://www.px-pict.com/9/5/2/7/1.html

[commator]

Очень поэтично

Не хватает фантазии для математика — подаются в поэты, как едко заметил Гильберт...

[Математик]

А если с такой стороны подойти, уважаемый vcirkov.
Ведь “теории интервалов” (в том числе и та единственно верная и правильная теория, которую пытаетесь довести до нас Вы) возникли не из ниоткуда, а на базе чего-то уже существующего.
Давайте ради конкретности будем говорить о западной традиции.
Тогда следует признать, что все эти теории интервалов возникли на базе осмысленного в свое время полного универсума рациональных интервалов.С математической точки зрения, этому универсуму соответствует определенная абелева группа:

Говорили вообще-то об интервалах, - "дискуссия" о нотации интервалов

А чтобы делать какую-либо “нотацию” интервалов в указанном выше полном универсуме рациональных интервалов (абелевой группе), необходимо владеть основами математической логики:
“Современная математика может быть описана как наука об абстрактных объектах таких, как вещественные числа, функции, поверхности, алгебраические системы или что-то в этом роде. Математическая логика описывает новое направление в этой науке, сосредотачивая внимание на языке, используемом в математике, на способах определения абстрактных объектов и на законах логики, которыми мы руководствуемся, когда рассуждаем об этих объектах”.
http://www.px-pict.com/9/6/2/8/1/1.html

В приложении хотя бы именно к группам:
http://www.px-pict.com/9/6/2/8/1/1/2.html
http://www.px-pict.com/9/6/2/8/1/1/2/1.html

[Математик]

Для англоязычных это вообще вполне обыденные вещи. См. например, в книге Дэвида Райта, где он объясняет концепцию “p-Limit Tuning”:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/12.html

На английском эта система называется “5-limit just intonation”.На русском “ Система чистой интонации предела 5” часто сокращается до аббревиатуры “ЧИП5”. Об этой системе имеется огромное количество литературы, которую хотелось бы проанализировать и обобщить в этой теме.

Не уверен, что кроме Вас и меня кто-то пожелает принять участие в этом обсуждении. Слишком чужда эта тема нынешней фазе русскоязычной музыкально-теоретической мысли.

Тем не менее обозначьте как-то приоритеты Ваших интересов по теме, раз Вы решили её затеять.

Одним из интересов по теме являются интересные для меня (и чисто с математической, и с теоретико-музыкальной точек зрения) бесконечные абелевы группы, каковыми являются в своей основе системы ЧИПp.

[combinare]

Одним из интересов по теме являются интересные для меня (и чисто с математической, и с теоретико-музыкальной точек зрения) бесконечные абелевы группы, каковыми являются в своей основе системы ЧИПp.

отдельно взятая система предела р ​- бесконечна?

[commator]

Одним из интересов по теме являются интересные для меня (и чисто с математической, и с теоретико-музыкальной точек зрения) бесконечные абелевы группы, каковыми являются в своей основе системы ЧИПp.

Было бы крайне полезно сопроводить это утверждение какими-то изящными и наглядными примерами, чтобы даже ребёнок убедился: да, бесконечные абелевы группы встречаются и таковы системы ЧИПp, например.

Думаю, что решать такие проблемы не менее важно, чем преодолевать пороги понимания подобных абстракций в границах собственных размышлений.

К слову, ещё в 2007-м мною добавлено предложение в англоязычную Вики*:

It is possible to describe just intonation in terms of free abelian group.

С тех пор статья очень изменилась, но этого предложения сие не коснулось**.

В русскоязычной Вики сопоставимой статьи всё ещё нет.


*) http://en.wikipedia.org/w/index.php?...ldid=115566333
**) http://en.wikipedia.org/wiki/Music_a...cs#cite_ref-15

[commator]

отдельно взятая система предела р ​- бесконечна?

Конечно!!!