Алексей Степанович Оголевец

[Математик]

Смущает то, что длина вектора обратно пропорциональна ширине интервала...

Напрасно смущает. В музтеории кроме линейного порядка до, ре ми, фа, соль, ля, си на основных звуках важным является также линейный порядок фа, до, соль, ре, ля, ми, си. В этом последнем линейном порядке действует иная “метрика” между звуками.

По стандартным определениям:
Так как каждый интервал пифагорова строя получается посредством того или иного количества квинтовых ходов (вверх или вниз от исходного звука с последующими октавными перенесениями), то каждый интервал этого строя имеет только одно количественное выражение, так:
(1)б. секунда, получаемая посредством двух квинтовых ходов, выражается отношением 8/9;
(2) б. секста, получаемая посредством трех квинтовых ходов, выражается отношением 16/27;
(3) б. терция, получаемая посредством четырех квинтовых ходов, выражается отношением 64/81;
(4) диатонический полутон, получаемый посредством пяти квинтовых ходов, выражается отношением 243/256;
(5) хроматический полутон, получаемый посредством семи квинтовых ходов, выражается отношением 2048/2187.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/8/1.html#7

В приведенном списке, действительно, местами царит отмеченная Вами “обратная пропорциональность”. Например, большая секунда в обычной “метрике” больше диатонического полутона, однако в “квинтовой метрике” диатонический полутон реализуется за семь квинтовых ходов, тогда как большая секунда – только за два. Именно это обстоятельство и отражают приведенные мною картинки:
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1/1.html#4

Именно для детального и математически точного исследования квинтовых цепей в системе ЧИП3, а также для исследования квинтовых и терцовых цепей в системе ЧИП5 и была предложена соответсвующая геометрическая формализация этих систем:
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1.html

[Математик]

Хочу также добавить, что в рамках предложенной геометрической модели для ЧИПов естественным образом появляются символьные формулы, которые Вас так восхищают:

...Довольно сомнительный у него путь к реабилитации коммы без предоставления ей прав на явное существование в партитурах. Такие права она может получить лишь в процессе комматизации. Этот процесс не обязательно обставляьть неудобными вычислениями рациональных дробей.
Естественное расширение множества тональных функций позволяет заменить вычисления несложными операциями над буквенными формулами, после которых становится возможной автоматическая комматизация. Вчера узнал, что Риман-то к подобному и призывал.




Самая трудная фаза работы - приписать каждой ноте формулу. Решить какую несложно, но довести работу до конца большой партитуры не каждый сможет. Ведь это десятки и сотни тысяч нотных головок.

Как эту работу поручить компьютеру, пока не ясно.

... Оголевец и Лесман, читая это место у Немировского, скорее всего прокомментировали бы его в пользу своих заявлений о фальшивости натуральных интонаций.


Меня это не смущает, зато другое восхищает:

... фрагмент Немировского:


Он мне столь близок и понятен, что просто перепишу его сонантометрически...

[commator]

Хочу также добавить, что в рамках предложенной геометрической модели для ЧИПов естественным образом появляются символьные формулы, которые Вас так восхищают:

Положим формулы и без геометрии легко получаются по основной теореме арифметики.

В новой статье, над которой сейчас работаю, предпринята ещё одна попытка краткого изложения сути сонантометрии:
<<...
Формулы сонантов, будучи расширенным способом записи известных из музыкальной теории тональных функций, по сути являются мнемоническими версиями канонической формы записи рациональных чисел (факторизации).
Замена факторизаций формулами сводится к тому, что простые основания 2, 3, 5, 7, 11, 13 соответственно обозначаются прописными буквами T, D, M, Q, N, R (произношение “te”, “de”, “me”, “k-e”, “ne”, “re”). Показатели степеней превращаются в коэффициенты перед каждой буквой. Кортеж букв с коэффициентами (сонант) предваряется двоеточием. Коэффициент 1 и буква с коэффициентом 0 могут не отображаться письменно. Допустимость присутствия в формуле любого сонанта обозначается буквой S (произношение “se”).
Должно быть учтено, что над любым сонантом S возможна как минимум одна унарная операция –[S], создающая субсонант s(произношение “sa”).

:–[S] = :s

Для этого факторизацию сонанта следует переписать меняя лишь знаки показателей степеней для всех простых оснований на противоположные. Затем переписать сонант в соответствии с изменённой факторизацией. В сонантометрической записи простым основаниям с отрицательными показателями соответствуют вышеупомянутые буквы, которые для отличия строчные. Коэффициенты перед этими строчными буквами равны абсолютным величинам отрицательных показателей. В результате существования унарной операции создания субсонанта, формулы сонантов ЧИП13 могут содержать строчные буквы t, d, m, q, n, r (произношение “ta”, “da”, “ma”, “k-a”, “na”, “ra”).
Выявляется так же существование как минимум одной бинарной операции формирования интерсонанта, из-за существования интерсонанта между любыми двумя сонантами. Причина в том, что к любому сонанту S можно дописать любой сонант с нулевым коэффициентом 0S’.

:S = :S0S’.

Понятно, что любой сонант с нулевым коэффициентом можно получить, дописывая к формуле сонанта формулу его субсонанта.

:Ss = :0S

Если даны два сонанта S и S’, всегда существует третий сонант sS’, такой, что его дописывание к первому из данных сонантов даёт в результате второй данный сонант.

:SsS’ = :0SS’ = :S’

Записывается интерсонант между создающими его сонантами в порядке их следования и выглядит как сонант без двоеточия со знаком «_» или «–» в начале и конце.

:S_sS’_:S’

...>>

Однако если геометрия может как-то помочь в автоматизации приписывания нотам правильных формул, то несомненно есть смысл и со стрелочками повозиться. Прецедент имеется.

[Математик]

Положим формулы и без геометрии легко получаются по основной теореме арифметики.

В новой статье, над которой сейчас работаю, предпринята ещё одна попытка краткого изложения сути сонантометрии:
<<...
Формулы сонантов, будучи расширенным способом записи известных из музыкальной теории тональных функций, по сути являются мнемоническими версиями канонической формы записи рациональных чисел (факторизации).

Замена факторизаций формулами сводится к тому, что простые основания 2, 3, 5, 7, 11, 13 соответственно обозначаются прописными буквами T, D, M, Q, N, R (произношение “te”, “de”, “me”, “k-e”, “ne”, “re”). Показатели степеней превращаются в коэффициенты перед каждой буквой. Кортеж букв с коэффициентами (сонант) предваряется двоеточием...

Вы не усматриваете в этих своих построениях неких аналогий с конструкциями теории формальных языков? Популярное изложение некоторых таких элементарных конструкций теории формальных языков см., например, в классической книге:
Ахо А., Ульман Дж.
Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции.
Том 1. М.: Мир 1978, сc. 27 — 28.
http://www.px-pict.com/9/5/2/2/1.html

[commator]

Вы не усматриваете в этих своих построениях неких аналогий с конструкциями теории формальных языков? ...

http://www.px-pict.com/9/5/2/2/1.html

Хоть и давно это было, но в математическую лингвистику я заглядывал. Однако не припомню, чтобы там были намёки на формализацию интонации. В этом смысле сонантометрия больше похожа на формальную логику, но в сонантометрии может быть бесконечное количество разных уровней истины и лжи, тогда как в литературе по формальной логике, что мне попадалась, всегда подразумевалось существование у истины и лжи лишь по одному уровню.

Ещё мне видится, хотя и не до мельчайших деталей пока, сильное сходство сонантометрии с аппаратом химических формул. В этом смысле в тональной музыке может быть открыта периодическая таблица элементов. С периодической системой Оголевца она вряд ли будет иметь много сходства, но может иметь сходство с таблицей Менделеева или кое-чем ещё из химии типа ряда напряжения.

[Математик]

Хоть и давно это было, но в математическую лингвистику я заглядывал...

Смысл моего предыдущего поста заключался в том, чтобы привлечь особое внимание к сформулированному здесь:
Ахо А., Ульман Дж.
Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции.
Том 1. М.: Мир 1978, сc. 27 — 28.
http://www.px-pict.com/9/5/2/2/1.html

определению операции конкатенации, которая является важным отправным пунктом в описании структуры ЧИПов на основе последовательности: свободный моноид – свободная группа – свободная абелева группа. Указанная последовательность естественным образом примиряет два способа описания ЧИПов: при помощи простых дробей и при помощи буквенных формул Римана.

[Математик]

Я продолжаю настаивать, что конкретно вот эта фраза:

В новой статье, над которой сейчас работаю, предпринята ещё одна попытка краткого изложения сути сонантометрии:
<<...
Формулы сонантов, будучи расширенным способом записи известных из музыкальной теории тональных функций, по сути являются мнемоническими версиями канонической формы записи рациональных чисел (факторизации).

Замена факторизаций формулами сводится к тому, что простые основания 2, 3, 5, 7, 11, 13 соответственно обозначаются прописными буквами T, D, M, Q, N, R (произношение “te”, “de”, “me”, “k-e”, “ne”, “re”). Показатели степеней превращаются в коэффициенты перед каждой буквой...

излагает стандартную методологию так называемой “комбинаторной теории групп”:

То, что Вас восхищает, это есть просто “комбинаторная теория групп”. Методология задания некоторой группы при помощи некоторого множества ее “образующих” (“generators”) и некоторого множества “определяющих соотношений”. Относительно комбинаторной теории групп (combinatorial group theory) навскидку нашел такие ссылки:
http://en.wikipedia.org/wiki/Word_(group_theory)
http://en.wikipedia.org/wiki/Presentation_of_a_group
http://www.maths.gla.ac.uk/homepages...ombgrpthy.html

Рассмотрения по комбинаторной теории групп естественно производить в рамках некоторого алфавита Дика:
http://www.px-pict.com/preprints/Ogolevetz/3.html

Алфавит Дика в нашем случае будет состоять из 6 символов: O, O’, Q, Q’, T, T’, где:
O – ход на октаву вверх;
O’-- ход на октаву вниз;
Q – ход на квинту вверх;
Q’-- ход на квинту вниз;
T – ход на терцию вверх;
T’-- ход на терцию вниз.

О языке Дика см. также здесь:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%...B8%D0%BA%D0%B0

Быть может, Вам в Вашей статье следует дать ссылку на эту теорию?

[commator]

Я продолжаю настаивать, что конкретно вот эта фраза:
...
излагает стандартную методологию так называемой “комбинаторной теории групп”:
...
Быть может, Вам в Вашей статье следует дать ссылку на эту теорию?

Решил сослаться на Вас.

<<...
Замена факторизаций формулами сводится к тому, что простые основания 2, 3, 5, 7, 11, 13 соответственно обозначаются прописными буквами T, D, M, Q, N, R (произношение “te”, “de”, “me”, “k-e”, “ne”, “re”). Показатели степеней превращаются в коэффициенты перед каждой буквой. Математик, Минск, Беларусь указал, что в этом случае имеет место одна из возможных реализаций комбинаторной теории групп.
...>>

Т. к. статья предназначена для англоязычного журнала, дайте мне знать, как Ваши имя и фамилия значатся в загранпаспорте.

[Математик]

Решил сослаться на Вас...
Т. к. статья предназначена для англоязычного журнала, дайте мне знать, как Ваши имя и фамилия значатся в загранпаспорте.

Можете написать их так, как они написаны в одной моей давнишней статье (тоже англоязычной):
http://www.px-pict.com/9/6/2/5/1.html

По поводу ЧИПов, однако, хотелось бы уточнить следующее. Наше “стандартное” определение ЧИПов (“систем Чистой Интонации Предела n ”или, по английски, “n-limit Just Intonation”):

...Под стандартными определениями для ЧИПов я предлагаю считать следующие:
http://wapedia.mobi/en/Limit_(music)
http://wapedia.mobi/en/List_of_musical_intervals

“In music, the prime limit (henceforth referred to simply as the limit) is defined as the largest prime number occurring in the factorizations of the numerator and denominator of the frequency ratio. The limit of the just perfect fourth (4 : 3) is 3, but the just minor tone (10 : 9) has a limit of 5, because 9 can be factorized into 3*3, and 10 into 2*5.”

Для справки, о разложении натуральных чисел на простые множители (integer factorization or prime factorization) см.:
http://wapedia.mobi/en/Integer_factorization

Или на русском:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/1/5.html

(самую важную выжимку оттуда я воспроизвел здесь:
http://www.px-pict.com/preprints/just_intonation/1.html

определяет ЧИПы, в общем-то, как некоторые множества рациональных чисел с заданной на них операцией умножения, относительно которой эти множества образуют абелеву группу. Сами рациональные числа интерпретируются как музыкальные интервалы. Все это согласуется с античной традицией:
История математики с древнейших времен до начала XIX столетия.
Под редакцией А.П. Юшкевича.
Том 1: С древнейших времен до начала Нового времени.
М.: Наука, 1970, сс. 71 — 72.
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html#2

которую подтверждает также Мордухай-Болтовский:
Комментарии Мордухай-Болтовского к 8-ой книге Начал на с. 308, с. 314
(Начала Евклида. Книги VII -X. 1949).
http://www.px-pict.com/7/4/2/2/1.html
http://www.px-pict.com/preprints/5.html

----------------------------

Однако, в музыкальной системе нам важно не только множество интервалов, но еще и множество звуков. Поэтому в качестве математической экспликации (уточнения), например, пифагорейской системы (3-limit Just Intonation), более приемлемой представляется не просто абелева группа, а система на основе аффинного пространства:
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1.html

где имеются как точки, так и векторы. Точки моделируют звуки, а векторы – интервалы. Имеется как операция сложения векторов, отвечающая групповой операции в ЧИПах, так еще и дополнительная операция “действия” (вектора на точку), описывающая взаимодействие звуков и музыкальных интервалов.
Получается, что известное и весьма популярное геометрическое пространство может естественным образом интерпретироваться как пространство музыкальное…

[commator]

... имеются как точки, так и векторы. Точки моделируют звуки, а векторы – интервалы. Имеется как операция сложения векторов, отвечающая групповой операции в ЧИПах, так еще и дополнительная операция “действия” (вектора на точку), описывающая взаимодействие звуков и музыкальных интервалов.
Получается, что известное и весьма популярное геометрическое пространство может естественным образом интерпретироваться как пространство музыкальное…

Кроме точек и векторов для музыки очень важны скаляры. Точки соответствуют звукам, векторы мелодическим интервалам и скаляры гармоническим. В результате действия вектора на точку, получается новая точка взамен старой с мелодическим импульсом ощущения направленности и величины изменения высоты. Скаляр действует на две точки одновременно и не даёт ощущения изменения высоты, но даёт постоянное гармоническое ощущение величины интервала.

В музыкальном пространстве обязательно присутствие времени. Энди Филлебраун это наглядно демонстрирует.



Как с этим в геометрическом пространстве?