Алексей Степанович Оголевец

[Математик]

Может быть пространство ЧИ не афинное?

Пока что мы взяли для ЧИПn хорошо, на мой взгляд, подходящую к ним геометрическую систему: n – мерное аффинное пространство над полем вещественных чисел, в котором дополнительно зафиксирована некоторая целочисленная решетка точек. Затем эту геометрическую модель можно будет по разным направлениям усиливать и обобщать.

[commator]

Пока что мы взяли для ЧИПn хорошо, на мой взгляд, подходящую к ним геометрическую систему ...

Мне остаётся лишь следить за ходом Ваших мыслей, потому что в этой модели не вижу возможности практического применения. Я отказался от неё ещё в конце 70-х.

[Математик]

Мне остаётся лишь следить за ходом Ваших мыслей, потому что в этой модели не вижу возможности практического применения. Я отказался от неё ещё в конце 70-х.

И, тем не менее, понятием ЧИПn (понятием систем Чистой Интонации Предела n) постоянно в своих рассуждениях оперируете. Зачем?

[Математик]

Мне остаётся лишь следить за ходом Ваших мыслей, потому что в этой модели не вижу возможности практического применения. Я отказался от неё ещё в конце 70-х.

Давайте не будем спешить со скоропалительными выводами. Характер Ваших вопросов по поводу предлагаемой модели свидетельствует о том, что в конце 70-х Вы занимались не совсем ею.

[commator]

И, тем не менее, понятием ЧИПn (понятием систем Чистой Интонации Предела n) постоянно в своих рассуждениях оперируете. Зачем?

Евклидова геометрия не обязательно должна быть причастна к разновидностям ЧИ.

Мне ещё не удалось это высказать в двух словах, но многословно я этим летом попытался написать то, что на Ваш вопрос отвечает:

<<...
F. Cвязь величины предела ЧИ с обогащением выразительности.

Пусть выразительным будет любой интервал, в котором возможно уверенно различить изменение высоты. Тогда интервал с неразличимым измененим высоты, или _P1_0S_ (чистый унисон), является единственным интервалом пустой выразительности. В этом случае возникает унисональное соотношение частот вида P^0:

… ·p”^0·p’^0·p^0 = P^0 (13)

Здесь p, p’, p”, … являются простыми числами. Поскольку P^0 = 1, и пустая выразительность _P1_0S_ весьма существенна для музыки, имеет смысл унисональное соотношение частот ограничить рамками ЧИП1. Это означает, что ЧИП1 позволяет существование только одного интервала и только одной ноты. Если такой нотой считать, например C:0S, то богатство выразительности ЧИП1C:0S исчерпывается одним и только одним _P1_0S_.

C:0S – C:0S ~ P^0 : P^0 = P^(0-0) = P^0 ~ _P1_0S_ (14)

Размышления о сущности ЧИП2 указывают, что между нотами становятся возможными интервалы, кратные _P8_T–. Становится допустимым октавальное соотношение частот вида 2^z ~ _zT_, где z есть целое число. Понятно, что:

2^z = P^0·2^z ~ :zT = ЧИП1:0SzT (15)
P^0 = P^0·2^0 ~ ЧИП1:0S = ЧИП1:0S0T (16)

Это означает, что ЧИП2 есть объединение таких ЧИП1, между которыми возможны лишь октавальные соотношения частот. ЧИП2 формирует октавную цепь несовпадающих ЧИП1. Внутри каждой ЧИП1, возможно также унисональное соотношение частот. В целом разнообразие выразительности ЧИП2, ограничено лишь кратными _P8_T– интервалами и _P1_0S_. Поэтому в ЧИП2 возможно существование лишь октавных эквивалентов ноты одного имени. Например, ЧИП2C:0T (ЧИП2 от ноты C:0T), объединяет всевозможные ЧИП1 с именами октавных эквивалентов исходной ноты:

… – ЧИП1C, _P8 –– ЧИП1C_P8––– ЧИП1c__P8––– ЧИП1c’ – …
… – :0S1t ___0S1T– :0S0T __0S1T– :0S1T __0S1T– :0S2T – …

Примеры выразительности ЧИП2 демонстрируют такие интервалы:

c’:0S2T – c’:0S2T ~ P^0·2^1 : P^0·2^1 = P^(0-0)·2^(1-1) = P^0·2^0 ~ _P1_0S0T_ (17)
c’:0S2T – c:0S1T ~ P^0·2^2 : P^0·2^1 = P(0-0)·2^(2-1) = P^0·2^1 ~ _P8_0S1T– (18)
C,:0S1t– c:0S1T~ P^0·2^-1 : P^0·2^1 = P(0-0)·2^(-1-1) = P^0·2^-2 ~ _P15_0S2T– (19)

ЧИП3 допускает соотношение частот вида P^0·3^z·2^z’ (z, z’ – целые числа). Добавляется фактор 3^z, который существенно обогащает выразительные возможности ЧИП3 и порождает квинтальные соотношения 3^z·2^z’ ~ _zDz’T_ между непересекающимися ЧИП2 разных имён. Выразительность ЧИП3, сохраняет все достижимые в ЧИП2 возможности и добавляет новые, что проявляются в квинтальных переходах между разными ЧИП2. Построение ЧИП3 от ЧИП2C:0DzT порождает квинтовую цепь непересекающихся систем ЧИП2 (z,; z; z’; z”; z”’; z””; z””’ – целые числа):

…– ЧИП2F_P5– ЧИП2C_P5– ЧИП2G_P5– ЧИП2D_P5– ЧИП2A_P5– ЧИП2E_P5– ЧИП2H –…
... – :dz,t ___Dt– :0DzT__Dt– :Dz’T___Dt– :2Dz”T_Dt– :3Dz”’T__Dt– :4Dz””T_Dt– :5Dz””’T–…

Можно обозначить эту систему ЧИП3C и выделить в ней ПДС:

=C= __T–– =D=__T––– =E=___ψT–– =F= __T–– =G= __T–– =A= ___T––– =H= __ψT–– =c=
:Ss _2D3t– :2D3t _2D3t– :4D6t _8T5d– :2Td _2D3t– :Dt _2D3t– :3D4t _2D3t– :5D7t _8T5d– :T

Очевидно, что выразительность ДПС ограничена возможностью существования лишь тех интервалов, которые составлены из _T_2D3t– и _ψT_8T5d– :

_m2_8T5d– (малая секунда) = один _ψT_8T5d– (20)
_M2_2D3t– (большая секунда) = один _T_2D3t– (21)
_m3_5T3d– (малая терция) = _T_2D3t– и _ψT_8T5d– (22)
_M3_4D6t– (большая терция или дитон) = два _T_2D3t– (23)
_P4_2Td– (чистая кварта) = два _T_2D3t– и _ψT_8T5d– (24)
_d5_10T6d– (уменьшённая квинта) = два _T_2D3t– и два _ψT_8T5d– (25)
_aug4_6D9t–/_TT_6D9t– (увеличенная кварта или тритон) = три _T_2D3t– (26)
_P5_Dt– (чистая квинта) = три _T_2D3t– и _ψT_8T5d– (27)
_m6_8D12t– (малая секста) = три _T_2D3t– и два _ψT_8T5d– (28)
_M6_3D4t– (большая секста)= четыре _T_2D3t– и _ψT_8T5d– (29)
_m7_4T2d– (малая септима) =четыре _T_2D3t– и два _ψT_8T5d– (30)
_M7_12T7d– (большая септима) = пять _T_2D3t– и _ψT_8T5d– (31)
_P8_T– (чистая октава) = пять _T_2D3t– и два _ψT_8T5d– (32)

Новый уровень выразительности открывается с переходом к ЧИП5, которая допускает соотношения частот вида P^0·5^z·3^z’·2^z” (z, z’, z” – целые числа). Утверждается, что ЧИП5 «… есть фактически источник тональности Барокко …» [ii]. Из-за наличия 5^z·2^z” возникают терциальные [iii] соотношения между непересекающимися системами ЧИП3 с разными именами. Так цепь _<M3_M2t– (подбольших терций) может быть построена от ЧИП3C и названа ЧИП5C (z,,; z,; z; z’; z”; z”’ – целые числа):

… – ЧИП3>AЬ _<M3– ЧИП3C __<M3– ЧИП3<E __ …
… – :z,Dz,,Tm __M2t– :0MzDz’T _M2t– :Mz”Dz”’T _ …

По ширине _<M3_M2t– меньше, чем _M3_4D6t– на _μT_4Dm4t– (терциальный микротон), который известен ещё как комма Дидима или синтоническая. В контексте предмета этой статьи можно для простоты считать, что терциальный микротон в ЧИП5 почти равен квинтальному в ПХС.

_μT_4Dm4t– ≈_μT_12D19t– (33)

В действительности разница между ними соответствует интерсонанту _M8D15t– ~ 5·3^8·2^-15 и незначительно меньше 2-х центов.

Помимо множества непересекающихся ПДС и ПХС из ЧИП5C выделяем ЧДС:

=C__<T–– <D _____μT–– =D ___<T–– <E ___>ψT– =F ___T–– =G __<T–– <A __T–– <H ____>ψT– =c
:Ss_MT2d–:MT2d_4Dm4t–:2D3t_MT2d–:M2t_4Tmd–:2Td_2D3 t–:Dt_MT2d–:Md_2D3t–:MD3t_4Tmd–:T

Выразительные ресурсы у ЧДС, богаче таковых у ПДС. Причина в том, что ЧДС совмещает в себе фрагменты разноимённых непересекающихся ЧИП3. В переходах между различными ЧИП3 возникают терциальные интервалы, которые внутри одной ЧИП3 недоступны. Нота =D:2D3t дополняется пониженной версией <D:MT2d. Таковая необходима для верного звучания в ЧДС субдоминанты минорной тональности от ноты <A:Md. Таким образом в ДЧС появляется почти такой же как в ПХС микротон (33) _μT_4Dm4t–:

=D:2D3t – <D:MT2d ~ 5^0·3^2·2^-3 : 5^1·3^-2·2^1 = 5^(0-1)·3^(2-(-2))·2^(-3-1) = 5^-1·3^4·2^-4 ~ _μT_4Dm4t– (34)

Ещё среди интервалов между смежными нотами есть два _>ψT_4Tmd– (терциальных надпситона):

=F:2Td – <E:M2t ~ 5^0·3^-1·2^2 : 5^1·3^0·2^-2 = 5^(0-1)·3^(-1-0)·2^(2-(-2)) = 5^-1·3^-1·24 ~ _>ψT_4Tmd– (35)
=c:T – <H:MD3t ~ 5^0·3^0·2^1 : 5^1·3^1·2^-3 = 5^(0-1)·3^(0-1)·2^(1-(-3)) = 5^-1·3^-1·2^4 ~ _>ψT_4Tmd– (36)

ЧДС надпситон _>ψT_4Tmd– получается из ПДС псевдотона _ψT_8T5d– добавлением _μT_4Dm4t–:

_>ψT_4Tmd– = _ψT_8T5d– и _μT_4Dm4t– (37)

Из (12), (33) и (37) следует, что ЧДС и ПХС надпситоны почти равны:

_>ψT_4Tmd– ≈_>ψT_7D11t– (38)

Кроме микротона и двух надпситонов в ЧДС обнаруживается три одинаковых _<T_MT2d– (терциальных подтона), которые на _μT_4Dm4t– меньше ПДС тона:

<D:MT2d – =С:Ss ~ 5^1·3^-2·2^1 : 5^0·3^0·2^0 = 5^(1-0)·3(-2-0)·2^(1-0) = 5^1·3^-2·2^1 ~ _<T_MT2d– (25)
<E:M2t – =D:2D3t ~ 5^1·3^0·2^2 : 5^0·3^2·2^-3 = 5^(1-0)·3^(0-2)·2^(2-(-3)) = 5^1·3^-2·2^1 ~ _<T_MT2d– (26)
<A:Md – =G:Dt ~ 5^1·3^-1·2^0 : 5^0·3^1·2^-1 = 5^(1-0)·3^(-1-1)·2^(0-(-1)) = 5^1·3^-2·2^1 ~ _<T_MT2d– (27)

С учётом того, что в ЧДС имеется ещё два _T_2D3t– (тона):

=G:Dt – =F:2Td ~ 5^0·3^1·2^-1 : 5^0·3^-1·2^2 = 5^(0-0)·3^(1-(-1))·2^(-1-2) = 5^0·3^2·2^-3 ~ _T_2D3t– (28)
<H:MD3t – <A ~ 5^1·3^1·2^-3 : 5^1·3^-1·2^0 = 5^(1-1)·3^(1-(-1))·2^(-3-0) = 5^0·3^2·2^-3 ~ _T_2D3t– (39)

получается набор из _T_2D3t– (тона), _<T_MT2d– (подтона), _>ψT_4Tmd– (надпситона) и _μT_4Dm4t– (микротона). Средства выразительности ЧДС разнообразнее таковых у ДПС:

_>P1_4Dm4t– (надунисон) = один _μT_4Dm4t– (40)
_>m2_4Tmd– (надмалая секунда) = один _>ψT_4Tmd– (41)
_<M2_MT2d– (подбольшая секунда) = один _<T_MT2d– (42)
_M2_2D3t– (большая секунда) = один _T_2D3t– (43)
_>m3_DTm– (надмалая терция) = _T_2D3t– и _>ψT_4Tmd– (44)
_<M3_4D6t– (подбольшая терция) = _T_2D3t– и _<T_MT2d– (45)
_P4_2Td– (чистая кварта) = _T_2D3t– и _<T_MT2d– и _>ψT_4Tmd– (46)
_<aug4_M2D5t– (подувеличенная кварта или подTT) = два _T_2D3t– и _<T_MT2d– (47)
_>d5_6Tm2d(надуменьш. квинта или TT) = _T_2D3t– и _<T_MT2d– и два _>ψT_4Tmd– (48)
_P5_Dt– (чистая квинта) = два _T_2D3t– и _<T_MT2d– и >ψT_4Tmd– (49)
_>m6_3Tm– (надмалая секста) = два _T_2D3t– и _<T_MT2d– и два _>ψT_4Tmd– (50)
_<M6_Md– (подбольшая секста)= два _T_2D3t– и два _<T_MT2d– и _>ψT_4Tmd– (51)
_m7_4T2d– (малая септима) =два _T_2D3t– и два _<T_MT2d– и два _>ψT_4Tmd– (52)
_M7_MD3t– (большая септима) три _T_2D3t– и два _<T_MT2d– и _>ψT_4Tmd– (53)
_P8_T– (чистая октава) = три _T_2D3t– и два _<T_MT2d– и два _>ψT_4Tmd– (54)

ЧИП7 расширяет соотношение частот до вида P^0·7^z·5^z’·3^z”·2^z”’ (z, z’, z”, z”’ – целые числа) и полностью включает в себя выразительные возможности ЧИП5, потому что ввиду присутствия 7^z·2^z”’ ~ zQz”’T объединяет непересекающиеся системы ЧИП5 септимальными [iv] отношениями. ЧИП7 полностью сохраняет всю выразительность ЧИП5 и добавляет свою септимальную компоненту.

ЧИП11 с ещё более разнообразными соотношениями частот вида P^0·11^z·7^z’·5^z”·3^z”’·2^z”” (z, z’, z”, z”’, z”” – целые числа) добавляет к выразительности ЧИП7 свои ундецимальные [v] (из-за 11^z) возможности, которые ещё могут быть названы тритональные из-за 11^z·2^z”” ~ zNz””T. Формируеся тритональное объединение непересекающихся систем ЧИП7.

ЧИП13 доводит соотношения частот до вида P^0·13^z·11^z’·7^z”·5^z”’·3^z””·2^z””’ (z, z’, z”, z”’, z””, z””’ – целые числа) и обогащается тридецимальной (из-за 13^z) или секстальной (из-за 13^z·2^z””’ ~ zR^z””’T) выразительностью, объединяющей множество непересекающихся систем ЧИП11.
Западная теория тональной музыки ещё мало знакома с выразительными возможностями ЧИ за пределом 5, но таковые явно присутствуют в существующей музыкальной практике Индии [vi], например. ЧИП13 предоставляет дополнительные пути развития теории, не разрушая существующие в рамках ЧИП5 достижения.

i. P. Barbieri, Enharmonic Instruments and Music 1470 – 1900, p. 179, Latina: Il Levante Libreria Editrice, 2008. ISBN: 978-88-95203-14-0. http://www.patriziobarbieri.it/1.htm

ii. R. Asmussen, “Abstract,” Periodicity of sinusoidal frequencies as a basis for the analysis of Baroque and Classical harmony: a computer based study, Leeds: The University, School of Music, September, 2001. http://www.terraworld.net/c-jasmussen/

iii. P. Barbieri, Enharmonic Instruments and Music 1470 – 1900, p. 179, Latina: Il Levante Libreria Editrice, 2008. ISBN: 978-88-95203-14-0. http://www.patriziobarbieri.it/1.htm

iv. Ibidem

v. Ibidem

vi. A. K. Datta, R. Sengupta, N. Dey, and D. Nag, “A Psycho-Perceptual Hypothesis for Shrutis,” Experimental Analysis of Shrutis from Performances in Hindustani Music, pp. 17-32, Kolkata: Scientific Research Department ITC Sangeet Reserch Academy, 2006. http://www.itcsra.org/sra_story/sra_story_research/sra_story_resrch_links/sra_story_resrch_pubs/sra_story_resrch_pubs_index.html,
http://picasaweb.google.com/commator/BookOnShrutis#.
...>>

Конечно это ещё сырой материал, который должен быть кое-где подправлен.

[commator]

Давайте не будем спешить со скоропалительными выводами. Характер Ваших вопросов по поводу предлагаемой модели свидетельствует о том, что в конце 70-х Вы занимались не совсем ею.

Точнее я к ней примерялся, но ею не стал заниматься совсем т. к. счёл для себя более доступным обратиться непосредственно к партитурам и тональным функциям. Ведь и то и другое сформировалось в процессе существования и развития гармоничного многоголосия и неплохо приспособлено для ориентирования в тональном пространстве.

Это не значит, что мне не интересно узнать, какая польза для тональной музыки может быть извлечена из того, что мне раскусить оказалось не по зубам.

[Математик]

Точнее я к ней примерялся, но ею не стал заниматься совсем т. к. счёл для себя более доступным обратиться непосредственно к партитурам и тональным функциям. Ведь и то и другое сформировалось в процессе существования и развития гармоничного многоголосия и неплохо приспособлено для ориентирования в тональном пространстве.

Это не значит, что мне не интересно узнать, какая польза для тональной музыки может быть извлечена из того, что мне раскусить оказалось не по зубам.

Евклидова геометрия не обязательно должна быть причастна к разновидностям ЧИ.
Мне ещё не удалось это высказать в двух словах, но многословно я этим летом попытался написать то, что на Ваш вопрос отвечает:

Эти подходы прекрасно согласуются и дополняют друг друга (что я и намереваюсь показать). Просто нужно проявить немножко терпения. Нужно будет дополнительно понять относительно небольшое количество элементарных, в общем-то, математических фактов.

Особенно следующий факт будет иметь важное значение для последующей дискуссии. Матрицы A* и A, о которых я упоминал выше:

Из этих равенств можно извлечь матрицу A* перехода от базиса e1, e2 к базису e1’, e2’, о которой пишет Александров, а также построить на ее основе матрицу A “преобразования координат”.

являются унимодулярными т. к. их определитель равен –1. По поводу матриц и их определителей см. у Александрова:
http://www.px-pict.com/7/4/6/1/2.html

Определение унимодулярных матриц:
http://en.wikipedia.org/wiki/Unimodular_matrix

Посто поверьте мне пока на слово, что указанное свойство “унимодулярности” действительно будет играть важную роль в постижении музыкальной структуры ЧИПов.

[commator]

... мы находили упоминание о руководстве, по которому учился и учил Моцарт. Там требовалась не пифагорейская, а синтоническая величина вводного тона, которая гарантирует чистоту гармоний многоголосия и ничем не вредит пониманию усиления тяготений в его мелодических линиях ...

Оказывается может существовать даже русская редакция книги Л. Моцарта.

ИЩУ русскую редакцию книги Леопольда Моцарта "Опыт основательной скрипичной школы" тобишь "Основательное скрипичное училище"!Скиньте ссылку или скиньте на мыло vadim-makarenko@i.ua !Буду премного благодарен!!!!

[Математик]

Продолжая тему о дуализме Оголевца:

Не могли бы Вы своими словами коротко описать суть этого дуализма.

Дуализм Эттингена, развитый Риманом как-то понятен. Мажор-минор. Зеркальность звукорядов и созвучий.


Но какой такой особый дуализм вскрыл Оголевец я не догадываюсь.

выкладываю те места из книги Алексея Степановича, которые, на мой взгляд, будут способствовать более полному пониманию сути его дуализма (группа из трех мажорных ладов тональной системы двойственна группе из трех минорных ладов):

Ультрамажор (лидийский лад)
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/10/1.html

Группа из трех мажорных ладов
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/10/2.html

Особенности гармонического мышления отдельных великих композиторов
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/10/4.html

Субминор (дорийский лад)
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/10/5.html

Группа из трех минорных ладов
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/10/6.html

Характерные ступени ладов
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/10/7.html

[commator]

Продолжая тему о дуализме Оголевца ...

Вот Вы пишете:

Оголевец неоднократно указывал, что одной из “аксиом” всех его построений является правильное правописание хроматической гаммы ...

В правильном для Оголевца правописании по-европейски присутствуют до-диез и соль-диез, вернее cтупени I# и V#. Современное для Оголевца (и для нас) индийское правописание не допускает никаких альтераций для ступеней I и V.



Как быть с этой краеугольной аксиомой АСО? Как быть с его попыткой доказывать свою правоту, привлекая искажение знаний об индийской музыке?