Алексей Степанович Оголевец

[Математик]

Ничего не понял. Причем здесь Ave Maria.

Притом, что это произведение использовалось в качестве иллюстрации использования упомянутой 18-звучной шкалы.

Разговор был о белых (диатоника) и о черных клавишах (деление на диезы и бемоли).

Эти клавиши никуда не исчезли. Как были, так и остаются в рассматриваемой 18-звучной шкале. Напомню о некоторых выводах, которые сделал Уибберли после ее построения:
Диезы, следовательно, будут лежать на большой полутон выше своей родительской «белой» ноты, а бемоли будут лежать на большой полутон ниже своей родительской «белой» ноты.
… когда этот процесс из двух этапов будет завершен, все "белые ноты" приобретут свои точные значения, а для "черных нот" будет существовать два значения, отделенные друг от друга Пифагоровой коммой.
http://px-pict.com/7/3/2/3/13/2/1/2/1/1.html
(пункт [ 12 ] на указанной странице)

В качественном смысле (если отвлечься от чисел) все будет выглядеть почти как на черт. 62 у Оголевца
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/50/2/1.html

Там каждая из пяти больших секунд имеет две “точки” внутреннего деления; например, большая секунда до – ре разделена внутренним образом звуками ре-бемоль и до-диез.
В 18-звучной шкале Уибберли имеется небольшое отличие. Грубо-приблизительно его можно сформулировать следующим образом. В музыке, на которую ориентирована эта шкала, звуки си и си-бемоль находятся в определенных близких отношениях. Поэтому было бы желательно, чтобы большая секунда си-бемоль – до тоже имела бы две “точки” внутреннего деления, находящиеся в той же пропорции, что и упомянутые выше две “точки” внутреннего деления в большой секунде до – ре. Для этого в шкалу добавляется еще один звук до-бемоль. Теперь звуки до-бемоль и си будут делить внутренним образом большую секунду си-бемоль – до в том же отношении, что и звуки ре-бемоль и до-диез делят внутренним образом большую секунду до – ре.

[vcirkov]

Притом, что это произведение использовалось в качестве иллюстрации использования упомянутой 18-звучной шкалы.

В чем смысл иллюстрации? Если бы мы рассматривали 17, эта иллюстрация бы не подошла?

В 18-звучной шкале Уибберли имеется небольшое отличие. .... было бы желательно, чтобы большая секунда си-бемоль – до тоже имела бы две “точки” внутреннего деления, находящиеся в той же пропорции, что и упомянутые выше две “точки” внутреннего деления в большой секунде до – ре. Для этого в шкалу добавляется еще один звук до-бемоль. Теперь звуки до-бемоль и си будут делить внутренним образом большую секунду си-бемоль – до в том же отношении, что и звуки ре-бемоль и до-диез делят внутренним образом большую секунду до – ре.

Если уж говорить о делении на стыках белых клавиш, нужно прибавить к до-бемоль еще ми-диез. Но тогда получается 19.

[Математик]

У “пифагорова строя” (если отождествить его с квинтовой спиралью) много детей. Причем многие из них “настроганы” по одному и тому же шаблону. Например, интересующая меня 17-ступенная темперация, рассматриваемая у Оголевца:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/50/2/3.html

“Идейно” 17-ступенная темперация получается из квинтовой спирали аналогичным по своей сути методом (как и 12-ступенная темперация). Там приводится получающаяся система энгармонизмов.
Математически этот процесс абсолютно прозрачен: он связан с построением гомоморфного образа системы (система, гомоморфный образ которой берется, -- исходная квинтовая спираль, представленная как соответствующая математическая система).
Гомоморфный образ системы “похож” на саму систему (в этом смысл фундаментального общематематического понятия “гомоморфизма”). Т. е. если сама система – “отец”, то каждый ее гомоморфный образ будет типа как “сын” (похожий на своего отца).

В англоязычной Википедии приводится одна из составляющих частей упомянутого гомоморфизма: циклическая группа 12-го порядка (в Разделе Chromatic circle):
However, the twelve equal-tempered pitch classes can be represented by the cyclic group of order twelve, or equivalently, the residue classes modulo twelve, . The group has four generators, which can be identified with the ascending and descending semitones and the ascending and descending perfect fifths. The semitonal generator gives rise to the chromatic circle while the perfect fifth gives rise to the circle of fifths.
http://en.wikipedia.org/wiki/Circle_of_fifths

Хотелось бы, однако, представить все относящиеся к делу формализмы не только просто, а абсолютно просто. Где-то на уровне объяснения циклических групп у Стюарта:
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/4/2.html

[Zub01]

Хотелось бы, однако, представить все относящиеся к делу формализмы не только просто, а абсолютно просто. Где-то на уровне объяснения циклических групп у Стюарта:
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/4/2.html

А что тут представлять? Это всё совершенно тривиально и описано давным давно как формализмы: речь идет просто о тривиальном гомоморфизме бесконечной циклической группы (представляющей "полный пифагоров строй" - бесконечную в обе стороны цепь чистых квинт, - точнее, его октавные классы эквивалентности) в конечную циклическую группу. Порядок образа и есть "количество ступеней в октаве". Нет ничего банальнее. Например, когда порядок образа равен 12, соответствующий гомоморфизм "аннулирует", или, как "переводил" комматор, "вытемперировывает", пифагорову комму (интервал её высотных классов получается 12 квинтовыми шагами), а когда порядок образа равен 17 - "аннулирует" дважды уменьшенную терцию (её интервал классов = -17 квинтовых шагов). Дважды уменьшенная терция - это интервал типа ми#-сольb, как вроде и пишет Оголевец.

У меня другой вопрос - а что, получается, что Оголевец исписал несколько сотен страниц ради столь музыкально убогого (во всяком случае, для классико-романтической гармонии) результата - 17-ступенной равномерной темперации (17-EDO)? (Мне просто лениво разбираться в его чудовищном многословии, в то время как 17-ступенная РТ описывается тремя строчками; но, насколько я мог понять, речь идет именно о ней).

[Математик]

А что тут представлять? Это всё совершенно тривиально и описано давным давно как формализмы: речь идет просто о тривиальном гомоморфизме бесконечной циклической группы (представляющей "полный пифагоров строй" - бесконечную в обе стороны цепь чистых квинт, - точнее, его октавные классы эквивалентности) в конечную циклическую группу. Порядок образа и есть "количество ступеней в октаве". Нет ничего банальнее.

Вот именно. К сожалению, я испытываю трудности в общении с нужными мне людьми (не имеющими математической подготовки) даже на этом тривиальном уровне. Поэтому хотелось бы как-то зафиксировать на русском языке “очень понятно и доходчиво” этот начальный банальный уровень для того, чтобы иметь возможность свободно перейти затем к вещам уже небанальным.

[Математик]

У меня другой вопрос - а что, получается, что Оголевец исписал несколько сотен страниц ради столь музыкально убогого (во всяком случае, для классико-романтической гармонии) результата - 17-ступенной равномерной темперации (17-EDO)?

Определению 17-ступенной темперации у него посвящен всего лишь только один параграф (сс. 742 – 752), в чем нетрудно убедиться, взглянув на оглавление его книги:
http://px-pict.com/7/3/2/4/000.html

Мне это интересно потому, что у меня есть собственный маленький проектик по 17-звучным шкалам во временном диапазоне, скажем так, от Просдочимо до Оголевца.
Некоторую “инфу” о шкале Просдочимо дает Линдли:
http://px-pict.com/7/3/2/5/10/1/2/2.html

[Математик]

О каком “известном” органе идет речь?
Уточните, пожалуйста, устройство его клавиатуры.
Первый вопрос: в том органе, о котором Вы говорите, бемоли лежат ниже диезов?
Например, в клавиатуре, рассматриваемой Оголевцом, ре-бемоль лежит ниже до-диеза, ми-бемоль лежит ниже ре-диеза и т. д.

Мне это интересно потому, что у меня есть собственный маленький проектик по 17-звучным шкалам во временном диапазоне, скажем так, от Просдочимо до Оголевца.

Важной идейной оппозицией там является определенная “полярность” между двумя 17-звучными шкалами: “пифагорейской” и “чистого строя”. В 17-звучной “пифагорейской” шкале бемоли лежат ниже диезов, а в 17-звучной шкале “чистого строя” мы наблюдаем обратную картину:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/2/1/1.html

[vcirkov]

В 17-звучной “пифагорейской” шкале бемоли лежат ниже диезов, а в 17-звучной шкале “чистого строя” мы наблюдаем обратную картину:

Логика очень проста: более низкие звуки находятся левее более высоких, а там уж выбирайте на вкус.

[Математик]

Логика очень проста: более низкие звуки находятся левее более высоких, а там уж выбирайте на вкус.

Логика не так уж проста, но отдельные просветленные личности типа Скрябина пользовались правильной логикой:
… Он (Скрябин) любил придерживаться распространенной в музыкальной среде легенды о том, что “диез выше бемоля”, т. е. что в энгармониках высота идет последовательно, так: до – ре-бемоль – до-диез – ре. Как-то я ему заметил, что это неверно, но мне показалось, что он не обратил внимания на это замечание. Он очень тщательно различал, что ему “надо” поставить то или иное энгармоническое обозначение и, казалось, при этом руководствовался какой-то “собственной” теорией, сущность которой осталась для меня неизвестной [Сабанеев. Воспоминания о Скрябине, стр. 148].
http://px-pict.com/7/3/2/4/2/11.html

“Правильную логику” мы пытались установить также в одной дискуссии от 2007 года под названием: “вопрос на засыпку: что выше fis или ges?”:
http://www.musicforums.ru/theory_arc...5171357&cpag=1

[Математик]

PS. Оголевец, думаю, вполне воспитан на традициях римановского учения о гармонии, поэтому и слово "тональность" в его устах означает классико-романтическую тональность, не имеющую к пифагорову строю никакого отношения.

Оголевец, скорее, воспитан на традициях гевартовского учения о гармонии. Бельгийский теоретик Франсуа Геварт (1828 — 1908 ) , современник Римана, построил теорию классико-романтической гармонической тональности на существенно иных, чем Риман, основаниях.
http://px-pict.com/7/3/2/3/14a/1.html

По-видимому, для Геварта было бы вполне естественным утверждение, что “пифагоров строй является “папой” 12-ступенного равномерно-темперированного”:

К пифагорову строю имеет отношение 12-ступенный равномерно-темперированный строй, являющийся (как Вы сами об этом, кажется, где-то писали) “материальной основой классико-романтической гармонической тональности”. Тот факт, что пифагорова система определенным образом связана с двенадцатиступенной равномерно темперированной, отмечает со своих позиций и Риман:
http://px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/2/10.html

Поскольку пифагоров строй является “папой” 12-ступенного равномерно-темперированного, то Оголевец исследовал эту “семью” (состоящую из папы и сына) как единое неразрывное целое для того, чтобы лучше понять свойства и возможности сына. В частности, для того, чтобы лучше понять процесс становления тональности:
http://px-pict.com/7/3/2/4/11.html

---------------------------------------

О Франсуа Геварте (Gevaert):
http://www.music-dic.ru/html-music-enc/g/2020.html
http://px-pict.com/7/3/2/1/4/7/1.html

Некоторое сопоставление трех трактатов о гармонии (Рамо, Геварта и Римана):
In his "Traite de l'harmonie" (1722), Jean-Philippe Rameau (1683-1764) proposed the daring (for the time) concept that harmony was more basic than melody. His first example of the dominant/tonic cadence is written in 5 voices (the 4 voice-leading lines, plus the fundamental bass) and he had the audacity to suggest that the subdominant (counter) chord would posses a sixth as fourth note. His work had no appreciable lasting influence and music theory remained proximity-oriented.
In his "Traite d'Harmonie" (1907), François-Auguste Gevaert (1828-1908 ) , after the usual painful presentation of harmony in triads, established light and order with progressions of tetrads by fifths, considering the seventh a true chordal tone, with its own clear and definite function. Unfortunately, he did not go back over the first section to differentiate the different categories of triads, real and deceptive, as incomplete tetrads. Very few academic theoreticians have even heard of Gevaert.
In his "Handbuch der Harmonielehre" (Simplified Harmony, 1887), Hugo Riemann (1849-1919) presented in great detail the whole process of harmonic symmetrical inversion, the logical development of Rameau's symmetry between the dominant/tonic and sub-dominant/tonic progressions. However, Riemann still constructed his chords on a single note, the root (instead of in a 2-note frame), and, in the process of inversion, had the misfortune of calling the A minor chord the chord of E minor. The academic fraternity pounced on this weakness and threw out the precious baby with the relatively clean bath-water. Riemann is better known than Gevaert, but his influence was minimal and harmony remained unidirectional, with "seventh" chords only.
http://www.musicnovatory.com/history.html