Теории Гуго Римана

[lubytel]

И что же, Кунин, который оперирует унтертонами, неправ?
У него звуки только определённой высоты, посмотрите его график.

На оси абсцисс отложена не нота,а интервал(отношение частот) между двумя нотами созвучия.
Просто за нижнюю ноту взято До и от него всё считается.

[Dmitrii]

Ну и как Вы прокомментируете это "ниже основных тонов"?

Ох-ох, я уж не поспеваю на все заявки отвечать... Как прокомментирую - да очень просто: речь идет о созвучии. В его слуховом восприятии могут возникнуть комбинационные тоны ниже основных тонов звуков, входящих в это созвучие. Это запросто, кто спорит. Но это в созвучии, понимаете?
Если же говорить об одном звуке, с одной определенной высотой, то в нем ничего "ниже основного тона" не возникнет.

Но если поставить фильтр, f/2 очень реально вылезет, неспа?

Нет, не спа. Не вылезет. В спектре сигнала sin(2pi*2f*t)+sin(2pi*3f*t) есть только две частоты - 2f и 3f. Если фильтр настроен на f/2, а 2f и 3f не пропускает, то на выходе не будет вообще ничего.

В спектральном разложении нет. Однако из этого не обязательно следует, что в слуховом восприятии нет. Ухо не просто спектральный анализатор, а с обратной связью, так как волосковые клетки не только "оцифровывают" колебания перилимфы , но и сами звучат "взад".

И в слуховом восприятии нет. Вернемся еще раз к сигналу

sin(2pi*2f*t)+sin(2pi*3f*t) = 2sin(2pi*5f/2*t)cos(2pi*f/2*t).

Что касается его спектра, то с ним все ясно, в нем f/2 нет. Но f/2 не появляется и в слуховом восприятии. Это утверждение, насчет отсутствия f/2 в слуховом восприятии, надежно подверждается экспериментально. Но этот факт может показаться странным: почему в слуховом восприятии не воспринимается модулирующая частота f/2? Поэтому на нем имеет смысл остановиться более подробно. Чтобы разобраться с ним, обратимся к хорошо известному явлению - биениям. Рассмотрим суперпозицию двух колебаний с близкими частотами f1 и f2:

sin(2pi*f1*t)+sin(2pi*f2*t)

Её, аналогичным образом, можно переписать в виде:

sin(2pi*f1*t)+sin(2pi*f2*t) = 2sin(2pi*(f1+f2)/2*t)cos(2pi*(f1-f2)/2*t).

Если частоты близки, т.е. f1+f2 много больше чем f1-f2, то такой сигнал воспринимается слухом как звук некоторой промежуточной высоты, примерно соответствующей средней частоте (f1+f2)/2, но испытывающий биения, т.е. периодические колебания по громкости. Какова же частота этих биений? Скажете, что она равна (f1-f2)/2? Как бы не так! Она равна f1-f2. Максимальные значения амплитуды достигаются, когда имеет место максимум модуля cos(2pi*(f1-f2)/2*t), а модуль cos(2pi*(f1-f2)/2*t) есть периодическая функция с периодом не 2/(f1-f2), а 1/(f1-f2), что соответствует частоте f1-f2, а не (f1-f2)/2. Если эта частота достаточно велика, т.е. попадает в слышимый звуковой диапазон частот, то эти колебания громкости воспринимаются уже не как периодические колебания громкости, а как дополнительный звук - и опять таки, на высоте, соответствующей частоте f1-f2, а не (f1-f2)/2.
Та же ситуация и с sin(2pi*2f*t)+sin(2pi*3f*t). Там уж если что и могло бы появиться в слуховом восприятии, как результат низкочастотной модуляции амплитуды, то только f, но никак не f/2.

[commator]

... могут возникнуть комбинационные тоны ниже основных тонов звуков ...
Если же говорить об одном звуке, с одной определенной высотой, то в нем ничего "ниже основного тона" не возникнет.

Возникает на высоте основного тона.

Резидуальный звук с одной определённой высотой имеет не комбинационный тон ниже всех основных тонов остающихся обертонов. Этим тоном по теориям Римана может быть только общий для всех остающихся обертонов унтертон и его высота совпадает с высотой отсутствующего основного тона резидуального звука и с высотой самого нижнего комбинационного тона всех остающихся обертонов. Последний можно слышать лишь при достаточной громкости. Общий унтертон слышен при любой громкости.

[Dmitrii]

Объясняю, уже который раз: если в спектре сигнала отсутствует f, но есть достаточное количество других nf (где n=2,3,...), то в слуховом восприятии такого сигнала может появиться f. Такой сигнал будет восприниматься либо как один звук с высотой, соответствующей f, либо как созвучие, включающее f. Но никакие "унтертоны", с частотами f/n, где n=2,3,... там не появятся. Ни резидуальный звук не поможет, ни комбинационные тоны, ни даже авторитет Римана.

[vcirkov]

Объясняю, уже который раз.

Мне так никто и не ответил:
А как же быть с горловым пением на октаву ниже извлекаемого звука? При определенных условиях можно из струны извлечь при атаке подобный звучащий призвук. Здесь идет речь об эффекте искажения звука, но оно, как видим, может быть культурным. Так что же это, - обертон на октаву ниже, то есть унтертон, или что-либо другое?

[commator]

... если в спектре сигнала отсутствует f, но есть достаточное количество других nf (где n=2,3,...), то в слуховом восприятии такого сигнала может появиться f. Такой сигнал будет восприниматься либо как один звук с высотой, соответствующей f, либо как созвучие, включающее f. ...

Да, именно так и происходит. Из теорий Римана, и проведённых гораздо позже их появления опытов с резидуальными звуками следует: без первого обертона и самого нижнего комбинационного тона с частотой f звучит то, чем порождается первый общий унтертон для всех остающихся обертонов.

... никакие "унтертоны", с частотами f/n, где n=2,3,... там не появятся. Ни резидуальный звук не поможет, ни комбинационные тоны, ни даже авторитет Римана.

Авторитет Римана действительно не годится для Вашего произвольного совмещения унтертонов от частот f/n с резидуальными звуками. Там у каждого обертона n обнаруживается унтертон n от частоты nf/n = f. Для таких унтертонов авторитет Римана имеет силу и признаки гармонического дуализма Эттингена, высоко Риманом ценимого.

[Dmitrii]

Все, терпение мое на исходе, ещё один круг этой увлекательной сказки про белого бычка я могу не выдержать. Еще немного - и я за себя не ручаюсь, могу не удержаться в рамках правил форума. Так что беру тайм-аут.

[DJ Хруст]

Вообще, если говорить строго, то уравнения Фурье - это большая схематизация. Они подразумевают, что а) звук звучит изолированно (а этого реально не бывает) и
б) что мы слышим звук в той же форме, в которой он и звучит. Если принять во внимание и слуховой аппарат человека...

«Модернизированные» преобразования Фурье анализируют любой входящий сигнал вплоть до шума.
При этом, конечно же, преобразование Фурье — в некотором смысле условность, но условность, которая работает : )
Наша базилярная мембрана выполняет нечто вроде дискретного преобразования Фурье. Поскольку, нижняя слышимая нами частота — около 20 Гц, то можно сказать, что наш «спектроанализатор» берёт временное окно для «вычисления» не более 1/20 с. Можно взять и другое окно, другие особенности анализа, но наша базилярная мембрана «вычисляет» именно так. И если мы примерно повторим её вычисления, мы успешно смоделируем то, что происходит как в самом звуке, так и в его восприятии нами.

б) <...> Если принять во внимание и слуховой аппарат человека, то мы получим более сложные уравнения, на основе которых можно показать, что мы слышим "унтертоны", но, в принципе это тот же резидуальный звук, результат резонанса звучащих обертонов других звуков. Но, разумеется, эти "унтертоны" к Риману не имеют никакого отношения. См. http://all-2music.com/music_physic.html

Ой-ёй-ёй-ёй! Вы с господином Куниным всех сейчас запутаете. То есть, нет, я полностью со всем согласен, что там написано, просто автор вводит понятия «интервальный обертон» и «интервальный унтертон», оговаривая, что это не то же самое, что обертон одного колебания.

Во избежания путаницы, я бы предпочёл всё-таки называть эти явления традиционно — соответственно суммарный и разностный комбинационные тоны. При простой сумме сигналов комбинационные тоны выражены довольно слабо. А вот при каком-то «жёстком» взаимодействии двух сигналов — их перемножении, модуляции иного типа, разнообразные преобразования через передаточные функции (дисторшн, скажем) и пр. комбинационные тоны между основными тонами и их обертонами начинают «играть всеми своими красками».



Чисто математическая особенность разностных комбинационных тонов (их обычно слышно сильнее) заключается в том, что если два исходных тона отличаются по высоте так, что они могут быть рассмотрены как соседние обертоны некоего гипотетического натурального звукоряда, то разностный комбинационный тон возникнет на частоте его основного тона, потому, что, очевидно

nf – (n–1)f = f.

Это даёт повод нашему уважаемому Комматору потирать руки от радости и говорить мол вот он, унтертон-то! Неудивительно, что, приводя «примеры на унтертоны», Комматор постоянно говорит о неком интервале из тонов, хотя, когда мы говорим о частичных тонах речь не может вестись о сочетании тонов, но лишь — об одном тоне («интервалы» можно искать только между частичными тонами этого тона).

Впрочем, вернёмся к нашим двум исходным звукам. Если мы начнём увеличивать разницу между ними (неважно — повышая верхний тон или понижая нижний), то мы обнаружим, что этот «унтертон» (а на самом деле — комбинационный тон) начнёт вести себя «не по-унтертонски» — он начнёт высить. И наоборот, если мы будем сближать два исходных тона, то этот «унтертон» будет понижаться, пока не уйдёт за пределы нашего восприятия (тогда мы будем его воспринимать как биение, а не как разностный тон, физически же это одно и то же).

Если же мы возьмём два исходных тона, отстоящие друг от друга на интервал не соседних обертонов, то нижний комбинационный тон возникнет на частоте одного из более низких обертонов этого ряда (его порядковый номер будет составлять разницу между номерами исходных). Т. е. в более общем случае —

nf – (n–x)f = xf

Более того, правило будет работать, даже если n, f — ненатуральные числа*. Так, что собственно к натуральному звукоряду это явление отношения не имеет.


________
* Эти явления хорошо проявляются в мультифониках и при игре с пением на духовых. В первом случае нижние тоны могут быть чуть ли не какими угодно.

[lubytel]

Чисто математическая особенность разностных комбинационных тонов (их обычно слышно сильнее) заключается в том, что если два исходных тона отличаются по высоте так, что они могут быть рассмотрены как соседние обертоны некоего гипотетического натурального звукоряда, то разностный комбинационный тон возникнет на частоте его основного тона, потому, что, очевидно

nf – (n–1)f = f.

В органе на этом принципе работает суббасовый регистр.Две(на каждую ноту) трубы настроены в квинту и звучит разностный тон октавой ниже.Но,чтобы это хорошо работало приходится делать особые параметры труб,чтобы они практически не имели обертонов,а только основной тон.

[lubytel]

Мне так никто и не ответил:


Так что же это, - обертон на октаву ниже, то есть унтертон, или что-либо другое?

Чтобы точно ответить,надо это уметь делать или провести исследования со съёмкой процесса.
На здравый взгляд это не может быть унтертоном,скорее колебания связок-не единственный источник звука.Возможно,мягкое нёбо в этом учавствует или ещё что-то.Правда,если это можно делать на струне,то тут труднее объяснить.Напрашивается аналог зубчатых передач-маленькое колесо крутится с большей частотой( об/сек.),чем большое.Только как это может реализоваться в акустической системе-не представляю в деталях.