Идея баланса

[Математик]

Любопытно, что по исследованиям Пиаже выходит, что ребенок открывает структуры проективной геометрии раньше, чем Евклидовой:
http://www.px-pict.com/4/11/2/1.html

В таком случае ребенок, по идее, должен быть в состоянии уловить и суть понятия гармонической сопряженности – простейшего и фундаментальнейшего инварианта проективной геометрии.
“Гораздо более интересным представляется еще одно важное ... для всей операциональной концепции понятие -- понятие инварианта. Согласно Пиаже, развитие познания есть процесс возрастания инвариантности знания субъекта об объекте, т. е. возрастания его устойчивости по отношению к изменяющимся условиям опыта и к изменению позиции субъекта относительно объекта. Привлекая аппарат математической теории групп и рассматривая познавательные структуры как разные виды математических структур, Пиаже формулирует вывод, что инвариант группы преобразований в интеллектуальной структуре является знанием о самом объекте, т. е. объективным знанием”.
http://www.px-pict.com/4/11/1/3.html
------------------------------------------------------

Отметим, однако, что Дезарг, который был вроде первым, кто нашел и осознал этот инвариант, не был ребенком.
“... Дезарг не только ввел в рассмотрение проективное пространство, но сделал и следующий важный шаг: он нашел простейшую величину, которая сохраняется при проектировании и является таким же основным понятием проективной геометрии, как расстояние между двумя точками в геометрии Евклида, -- так называемое сложное отношение”.

Да и понимания среди современников не нашел тоже.
“Идеи Дезарга были настолько новы и оригинальны, что большинство его современников оказалось не в состоянии их воспринять, а судьба "Чернового наброска ...", как и других сочинений Дезарга, была печальна. Не понятая современниками, не принесшая ни успеха, ни хоть малой известности автору, брошюра, изданная всего в пятидесяти экземплярах, исчезла. Лишь через два столетия французский геометр и историк геометрии М. Шаль нашел ее копию. Только тогда Дезарга стали называть создателем новой геометрии, творцом проективной геометрии, великим геометром”.
http://www.px-pict.com/10/3/3/3/2.html

[Математик]

Поясню пока в общих чертах. Гармоническую сопряженность можно разбить на два “баланса”:
“Основным инвариантом проективного преобразования является так называемое сложное отношение (ABCD) любых четырех точек A, B, C, D на прямой, которое определяется как частное двух простых отношений (ABCD) = (ACB) : (ADB)”.
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/4/3/4.html

(один "баланс" в числителе, другой в знаменателе)

Это я, конечно, очень приблизительно написал.
Лучше так сказать о связи гармонической сопряженности и баланса.
Отношение гармонической сопряженности и его обобщение в виде “сложного отношения” (которое при желании можно разбить на связанные между собой гармонические сопряженности) используются, в частности при определении “проективных координат”.
Барицентрические координаты Мебиуса являются частным случаем проективных координат.
Но барицентрические координаты мы уже достаточно легко связываем с идеей некоторого баланса.
“Мебиус в своей работе "Барицентрическое исчисление ..." установил специальный случай проективных координат. Эта работа принадлежит к числу чрезвычайно легко написанных математических книг, и уже по одному этому ее чтение следует настоятельно рекомендовать. Мебиус снабжает три неподвижные точки плоскости некоторыми определенными массами. При надлежащем распределении этих масс центр тяжести системы может находиться в любой точке плоскости”.http://www.px-pict.com/10/3/4/5/1/1/5.html

[vcirkov]

Поясню пока в общих чертах. Гармоническую сопряженность можно разбить на два “баланса”:
“Основным инвариантом проективного преобразования является так называемое сложное отношение (ABCD) любых четырех точек A, B, C, D на прямой, которое определяется как частное двух простых отношений (ABCD) = (ACB) : (ADB)”.
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/4/3/4.html

(один "баланс" в числителе, другой в знаменателе)

Возможно, в этой аналогии можно рассмотреть перспективы любых РДО. Но эта система интересна в смысле баланса в очень ограниченном списке моделей.

барицентрические координаты мы уже достаточно легко связываем с идеей некоторого баланса.

Мы, кажется, уже видели все это даже в системе координат, в которую легко вписывается и ЧС.

[Математик]

Мы, кажется, уже видели все это даже в системе координат, в которую легко вписывается и ЧС.

Маленькое (и тривиальное) добавление. Оно, однако, будет важным для дальнейшего в “концептуальном” смысле.
Очевидно, что любая пара обратных отношений:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/4/11.html

может быть при желании проинтерпретирована как “весы Мебиуса”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/2/1.html

[vcirkov]

Маленькое (и тривиальное) добавление. Оно, однако, будет важным для дальнейшего в “концептуальном” смысле.
Очевидно, что любая пара обратных отношений:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/4/11.html

может быть при желании проинтерпретирована как “весы Мебиуса”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/2/1.html

Да, мне кажется здесь Вы нащупали инструмент, который позволил бы рассматривать каждое соотношение звуков в аккорде отдельно. Может быть можно это уже приложить к конкретике? Например: построить математическую модель отношения звуков "до" и "ми" относительно полюса "соль".
Вопрос обратных отношений мне чрезвычайно интересен, но это касается не инт. баланса, а метро-ритма. Если хотите рассмотрим эту тему отдельно. Например, деление метра долей 3 на 2 и 2 на 3.

[Математик]

Может быть можно это уже приложить к конкретике? Например: построить математическую модель отношения звуков "до" и "ми" относительно полюса "соль".

Чтобы сделать все корректно, придется еще некоторое время помучиться с формулами.
Все необходимые формулы как бы уже есть, но их нужно адаптировать к данному конкретному случаю, иначе они просто не будут восприняты.
Первоначальный список формул (и фрагментов теории) приведен здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/3/6.html

Для начала просто бегло просмотрите этот материал, не особенно напрягаясь в плане глубокого понимания. Постепенно мы “раздолбаем” все эти формулы (разложим их по полочкам).

[Математик]

Вопрос обратных отношений мне чрезвычайно интересен, но это касается не инт. баланса, а метро-ритма. Если хотите рассмотрим эту тему отдельно. Например, деление метра долей 3 на 2 и 2 на 3.

Пока продолжу несколько об обратных отношениях в плане звуковысотности. Стандартные примеры приводит Немировский, который говорит, например, о “повышающей апотоме” и “понижающей апотоме” (которым соответствуют взаимно обратные отношения):
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/1/4.html

[Математик]

Пока продолжу несколько об обратных отношениях в плане звуковысотности. Стандартные примеры приводит Немировский, который говорит, например, о “повышающей апотоме” и “понижающей апотоме” (которым соответствуют взаимно обратные отношения):
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/1/4.html

Математический смысл обратных отношений “в плане звуковысотности” совершенно прозрачен. Они являются взаимно обратными элементами соответствующей группы.

А вот почему множество интервалов ... связывается в некоторую цельность, некоторую систему, а именно – в некоторую абелеву группу, можно узнать, наверное, из теории Жана Пиаже о структурах интеллекта:
В дальнейшем П. пересмотрел этот взгляд, разработав особую логическую систему, позволяющую описать развитие психики ребенка. как трансформацию совершаемых, им действий (операций). Из системы реальных внешних действий (сенсомоторный интеллект), которые координируются в целостные системы и, превращаются в действия внутренние (Интериоризация). возникает логико-математический строй человеческого познания. Для этого действия должны приобрести особые признаки и превратиться в операции. Сенсомоторная и дооперациональная стадии сменяются операциональной. Взаимозависимость операций, их обратимость (для каждой операции имеется противоположная либо обратная ей операция) создают устойчивые и вместе с тем подвижные целостные структуры.
http://www.psychology.ru/whoswho/Jean_Piaget.stm

В группах каждый элемент именно обратим:
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/3/1.html
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/3/2.html

[vcirkov]

Математический смысл обратных отношений “в плане звуковысотности” совершенно прозрачен. Они являются взаимно обратными элементами соответствующей группы.

А нельзя ли эти отношения перевести на абстрактный язык математики, то есть без чисел? Тогда будет наглядно представлена чистая идея тональной логики в любой системе РДО.

[Математик]

А нельзя ли эти отношения перевести на абстрактный язык математики, то есть без чисел? Тогда будет наглядно представлена чистая идея тональной логики в любой системе РДО.

Можно, конечно. И даже, наверное, нужно. В конце концов, и сама математика постепенно уходила от своего определения как “науки о числах и фигурах”:
“Можно было бы, таким образом, пытаться сказать, что современное понятие "структуры" выработалось в основном к 1900 году; в действительности, понадобилось еще тридцать лет ученичества, чтобы оно проявилось в полном блеске. Конечно, нетрудно распознать структуры одного и того же рода, когда их природа достаточно проста; например, для структуры "группы" этого уровня достигли уже в середине XIX века.”
http://www.px-pict.com/9/6/6/1/1.html