Использование логарифмов в музыкознании

[Математик]

Делаю второй шаг. Обратные отношения для высоты - это обратная перспектива строя. Если подробнее, -диатоническая цепь звукоряда сжимается на больших интервалах и расширяется на малых. Это грубо, на самом деле здесь задействованы и все прочие (чистые) интервалы. Например, если построить от соль малой октавы б. сексту и квинту, получится тон. Его можно сжать относительно полюса "соль" с обеих сторон почти до полутона, при этом интервал останется в своем исходном функц. значении. В этом суть моего открытия, если коротко. Здесь встречаются, видимо, налагаясь друг на друга, субъективное ощущение и формальная объективная данность. Уравнение получается странным: большой интервал при определенных условиях - равен малому. Думаю, Вам удастся это правильно интерпретировать математически.

Потерпите еще немного. Мне представляется очень важным донести до Вас “аутентичное” понимание “полюса”, как оно употребляется в проективной геометрии.

Понятие “полюс” определенно используется в геометрии (например, в контексте определения отношения гармонической сопряженности):
http://www.px-pict.com/10/3/3/3/2.html

В каком-то смысле можно сказать, что на приведенном там рис. 3 точки A и B “сбалансированы” относительно полюса M.

Говоря о прозаичности результатов акустического анализа, я подразумевал, что акустический баланс не столь поэтичен в математическом смысле и, возможно, не имеет к математике никакого отношения. Теперь, после геометрических аналогий, оптимизма прибавилось; это относительно многообразия вариантов сопряженности. Предлагаю термин ГС (гарм. сопряженность) пока заменить на АС (акуст. сопр.), чтобы не романтизировать предмет исследования.

Хочу сообщить теперь одну или две, возможно, аксиомы, возможно, гипотезы. В моем примере T-D-T, где звуки горизонтали балансируются относительно полюса G в C-dur, мы можем наблюдать некое ограниченное разнообразие вариантов соотношения высот по горизонтали. Мне представляется, что используя единообразие в акустическом исполнении интервалов относительно полюса по горизонтали, независимо от вектора настройки (выше или ниже), можно получить сразу несколько вариантов одинаково сбалансированных по вертикали аккордов. Вопрос порога: - насколько может быть изменен шаблон интервала уже обсуждался. Скажу лишь, что таблицы Гарбузова вряд ли могут здесь пригодиться, поскольку он измерял интервалы, видимо, относительно функций, а не полюса. Для меня же пока важен сам принцип баланса. Вторая аксиома состоит в том, что трезвучие можно подстроить (привести звуки в баланс) любым его звуком. Этот вывод очень важен, так как при полюсной подстройке варианты минимизируются самим полюсом. Иначе, любое ограничение по полюсу не влияет на качество подстройки, поскольку всегда можно выбрать наиболее удобный для настройки звук, а не искать первую ступень, как это обычно происходит. Допустим, мы выбрали какой-то звук. Достаточно теперь только подстроить его к двум остальным, используя идентичную частоту биений, причем, по вектору вниз или вверх. Здесь тоже отдается предпочтение такому варианту, который более подходил бы для удержания общего тона произведения. Все это сама природа спонтанной подстройки, которой могут мешать только образовательные стереотипы.

Заметим, кстати, что на каждый полюс в этих геометрических рассмотрениях будет своя поляра (дуальная полюсу конструкция):
http://www.px-pict.com/10/3/3/3/2.html

С некоторыми важными замечаниями от Кокстера:
http://www.px-pict.com/10/3/4/1/5.html

[Математик]

Потерпите еще немного..

Пункт номер два, который особенно хотелось бы донести до Вас, уважаемый vcirkov, заключается в том, что равносторонняя гипербола в определенном смысле аналогична окружности:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/3/2/2/21.html

и нам будет выгодней рассматривать полярные соответствия относительно нее, а не относительно окружности, как это делается в хрестоматийных примерах:
http://www.px-pict.com/10/3/3/3/2.html

Нам бы только не промахнуться с выбором нужного конического сечения, уважаемый vcirkov.
Хотелось бы соскочить уже с евклидовой плоскости и заняться рассмотрением более подходящей нам плоскости имени Минковского. На ней коническим сечением, относительно которого мы будем рассматривать полярные соответствия, будет равносторонняя гипербола, являющаяся, кстати говоря, графиком обратной пропорциональной зависимости:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/4/1.html

[Математик]

Пункт номер два, который особенно хотелось бы донести до Вас, уважаемый vcirkov, заключается в том, что равносторонняя гипербола в определенном смысле аналогична окружности:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/3/2/2/21.html

Вот на этой аналогии между окружностью и гиперболой в определенном смысле основан предложенный мною алгоритм.

В конце концов, я и сам на пятом курсе университета придумал один алгоритм для вычисления логарифмов:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/5.html

Его проще понять, если знать об упомянутом дуализме:

Известный алгоритм (так называемый “алгоритм Волдера”), связанный с окружностью (и послуживший для меня прототипом), изложен в работе моего научного руководителя А. М. Оранского (который был руководителем сначала моей курсовой, потом диплома, а потом – в аспирантуре):
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/3.html

Этот быстрый алгоритм использовался (согласно легендам?) в системах наведения баллистических ракет. Он мог, в частности, осуществлять быстрое преобразование декартовых координат в полярные и обратно. Определение полярных координат см., например, здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/4/1/4a.html

Предложенный мною алгоритм делает то же самое по отношению к “гиперболической тригонометрии”:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/1/10.html
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/3/2/4/28.html

При этом оказывается, что эффективность “гиперболического” алгоритма может быть значительно увеличена по сравнению с “круговым”.

[vcirkov]

Вот на этой аналогии между окружностью и гиперболой в определенном смысле основан предложенный мною алгоритм.

Этот быстрый алгоритм использовался (согласно легендам?) в системах наведения баллистических ракет. Он мог, в частности, осуществлять быстрое преобразование декартовых координат в полярные и обратно. Определение полярных координат см., например, здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/4/1/4a.html

Предложенный мною алгоритм делает то же самое по отношению к “гиперболической тригонометрии”:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/1/10.html
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/3/2/4/28.html

Мои старые представления о строе ассоциировались с космосом. Так ТС я представлял как схему орбит Ньютона. То есть это, хоть и универсальная, но условная схема инт. пространства. Спирали РДО-систем, хоть и разрушают круг, но оставляют схему в двумерной плоскости. ЧС, как мы теперь выяснили, - трехмерная схема. Оживить ее можно в пространстве Лобачевского. И вот Вы говорите об этом же, но уже не фигурально, как я, рисуя мыльные пузыри, а с реальным наполнением. Значит мы движемся в правильном направлении.
Еще вопрос: не может ли опыт со стержнем и катушкой служить образом обратных отношений. Это должно быть как то связано с балансом, поскольку изгибы инт. пространства не возникают сами по себе, а должны быть вызваны какой-то силой. Здесь работает аналогия интонации с системой душа-тело, где катушка тело, а стержень - душа. Еесли продолжить мои псевдонаучные рассуждения, это будет выглядеть так. Закрепляем катушку, включаем ток - стержень поднимается. Это образ ПС, где высокие терции и прочие большие интервалы будут образом романтического интонационного стиля или некой душевной установки. Теперь делаем наоборот: закрепляем стержень, включаем ток, поднимается катушка. Образ левитации или реальной духовной практики. Живой строй для меня - это инструмент для практики, которая не должна ограничиваться только фольклором. Извините за сумбурность.

[Математик]

Еще вопрос: не может ли опыт со стержнем и катушкой служить образом обратных отношений. Это должно быть как то связано с балансом, поскольку изгибы инт. пространства не возникают сами по себе, а должны быть вызваны какой-то силой. Здесь работает аналогия интонации с системой душа-тело, где катушка тело, а стержень - душа. Еесли продолжить мои псевдонаучные рассуждения, это будет выглядеть так. Закрепляем катушку, включаем ток - стержень поднимается. Это образ ПС, где высокие терции и прочие большие интервалы будут образом романтического интонационного стиля или некой душевной установки. Теперь делаем наоборот: закрепляем стержень, включаем ток, поднимается катушка. Образ левитации или реальной духовной практики. Живой строй для меня - это инструмент для практики, которая не должна ограничиваться только фольклором. Извините за сумбурность.

По поводу катушек – это к Габриэлю Крону. Он их любил, обожал даже (см. оглавление его книги:
http://www.px-pict.com/5/3/3/3/1.html

Его базовая мысль заключалась в том, что электротехника может быть геометризирована:
http://www.px-pict.com/5/3/3/3/1/01.html

Более современные мысли о геометрии и геометризации можно найти у Кострикина – Манина:
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/5/2.html

Соотношения, имеющиеся в различных звукорядах, тоже могут быть показаны на языке геометрии:

Гармоническую сопряженность в тетраде проще будет уловить в дуальной конструкции: пучке прямых:
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/4.html

а не в прямолинейном ряде точек, как предлагалось ранее:
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/3.html

Существует и еще одно единство князей: оба отмечали значение операции гармонического среднего для формирования звукорядов. У Одоевского:
Примечание 1-е. Известный математический закон гармонической пропорции вполне применяется к величинам, образующим гамму...
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/14b/1/1/1.html

У Царлино:
При характеристике различия основных (автентических) ладов и гиполадов (плагальных) он также применяет теорию пропорций. Так, автентические лады объясняются гармоническим делением, а плагальные арифметическим.
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/1/7.html

Операция гармонического среднего, как мы помним, фигурирует в так называемом “древнейшем сохранившемся греческом математическом тексте”:

[Математик]

Мои старые представления о строе ассоциировались с космосом. Так ТС я представлял как схему орбит Ньютона. То есть это, хоть и универсальная, но условная схема инт. пространства. Спирали РДО-систем, хоть и разрушают круг, но оставляют схему в двумерной плоскости. ЧС, как мы теперь выяснили, - трехмерная схема. Оживить ее можно в пространстве Лобачевского.

Хотелось бы уточнить один момент. В моих постах выше:

Если мы хотим измерять интервалы при помощи центов, то нужно добавить метрику к проективной шкале:
Наиболее подходящей будет та, которая приводит к “гиперболической геометрии Лобачевского” в классификации, приводимой И. М. Ягломом:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/4/1.html
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/4.html

Нам бы только не промахнуться с выбором нужного конического сечения, уважаемый vcirkov.
Хотелось бы соскочить уже с евклидовой плоскости и заняться рассмотрением более подходящей нам плоскости имени Минковского. На ней коническим сечением, относительно которого мы будем рассматривать полярные соответствия, будет равносторонняя гипербола, являющаяся, кстати говоря, графиком обратной пропорциональной зависимости:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/4/1.html

при рассуждениях о плоскости Минковского не имелась в виду ее связь со Специальной Теорией Относительности (СТО) Эйнштейна. СТО представляет собой самую известную и самую знаменитую интерпретацию математической системы, известной как “плоскость Минковского”:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/1/1.html

Однако нас будет интересовать другая интерпретация этой плоскости. Со стороны музыкальной теории возникновение логарифмов вполне можно объяснить желанием устранить дискомфорт, о котором упоминает Риман
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/3.html

и о причине которого пишет Мордухай-Болтовский:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2/1.html

Для дальнейшего важно уяснить и запомнить следующее. Так называемая “геометрическая теория логарифмов”, связана именно с гиперболой.
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/3/2/4/25.html

[vcirkov]

Центы - удобная единица для измерения, но они корректно отражают только систему ТС. В идеале лучше бы исчислять баланс биениями, это реальные характеристики созвучий. Но возможно ли найти способ универсального использования биений. Для нас не имеет особого значения тот факт, что частота биений изменяется в спектре. Важен только момент балансирования.

Сообщение от vcirkov
Система инт. баланса устроена, видимо, по другому. С одной стороны это борьба за выживание, которая уравновешивается сводом правил, устанавливающих для каждой типичной ситуации возможные алгоритмы действий. Так, например, должен "работать" хоровой строй. С другой стороны - баланс - способ наведения интон. "резкости". То есть такой сдвиг высот, который обеспечивает слаженность звучания в эффекте, подобном стерео, когда резкость выставляется с позиции двух органов. Зрение здесь работает не так, как слух. Расстояние между глазами выставлено как бы изначально, слух же требует того, чтобы выставлялись звуки в строе. В этом смысле ЧС - строй для одного уха.

Чтобы увидеть то, что изображено на стереокартинке, нужно расфокусировать глаза, чтобы они сошлись в другом фокусе. Допустим, - это взгляд в другое измерение, подобное вИдению обратной перспективы. Для того, чтобы сотворить нечто подобное в строе, бесполезно двигать ушами, нужно двигать самими звуками.

Система координат для звуков мне представляется так: вертикаль - тоникальность, горизонтальная линия от органа зрения через центр оси - прямая перспектива (ПС), вторая горизонтальная ось, которая от центра уходит вправо и влево - обратная перспектива. Таким образом, терция ПС находится на линии прямой перспективы, а терция ЧС - на линии обратной перспективы. А не может ли быть так, что отклонения высот будут выражаться не изменением точки на оси координат, а изменением угла самих осей? То есть точки мы выставляем в системе ЧС, а отклонения высот отображаем полярностью осей. Возможно, чушь написал, - подскажите.

[Математик]

Система координат для звуков мне представляется так: вертикаль - тоникальность, горизонтальная линия от органа зрения через центр оси - прямая перспектива (ПС), вторая горизонтальная ось, которая от центра уходит вправо и влево - обратная перспектива. Таким образом, терция ПС находится на линии прямой перспективы, а терция ЧС - на линии обратной перспективы. А не может ли быть так, что отклонения высот будут выражаться не изменением точки на оси координат, а изменением угла самих осей? То есть точки мы выставляем в системе ЧС, а отклонения высот отображаем полярностью осей. Возможно, чушь написал, - подскажите.

Не беспокойтесь, потихоньку все “расщелкаем”. Я пока приведу еще несколько вещей, которые просто следует иметь в виду.

Иногда удачная геометризация арифметики очень сильно помогает:
"Основы нашего геометрического подхода к уравнениям в целых числах заложил Ньютон, понявший, что сложные замены переменных, используемые Диофантом, зачастую сводятся к проведению секущих и касательных"
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/5/2/1/1.html
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/5/2/1.html

Важную роль соответствующих “наглядных представлений” отмечал и Феликс Клейн:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/1/4.html

[Математик]

"Основы нашего геометрического подхода к уравнениям в целых числах заложил Ньютон, понявший, что сложные замены переменных, используемые Диофантом, зачастую сводятся к проведению секущих и касательных"

Все это можно осознать в рамках “полюсных конструкций”:

Мне представляется очень важным донести до Вас “аутентичное” понимание “полюса”, как оно употребляется в проективной геометрии.

Для иллюстрации см., например, Черт. 170:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/3/2/5/31.html

(внизу указанной страницы)
----------------------------------------------------------------------

Описание того, как рождается аффинная плоскость из проективной:
http://www.px-pict.com/10/3/4/7/8.html

а вместе с нею эллипс, гипербола и парабола:
http://www.px-pict.com/10/3/4/7/8/7.html
----------------------------------------------------------------------

Пункт номер два, который особенно хотелось бы донести до Вас, уважаемый vcirkov, заключается в том, что равносторонняя гипербола в определенном смысле аналогична окружности:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/3/2/2/21.html

и нам будет выгодней рассматривать полярные соответствия относительно нее, а не относительно окружности, как это делается в хрестоматийных примерах:
http://www.px-pict.com/10/3/3/3/2.html

Гипербола выделяется среди других конических сечений на аффинно-проективной плоскости наличием у нее асимптот:
http://www.px-pict.com/10/3/4/7/8/9.html

[vcirkov]

Все это можно осознать в рамках “полюсных конструкций”:

Для иллюстрации см., например, Черт. 170:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/3/2/5/31.html

А возможно ли в рамках этой модели рассмотреть асимметричные конструкции. Проза состоит в том, что баланс иногда может выстраиваться не только способом взаимного сближения или удаления звуков от полюса, как на рис. 170. Это базовый прием, но возможны и другие варианты: например, взаимного смещения в одну или другую сторону. Здесь важно более то, как звуки приспосабливаются к акустическим зонам. Скажем так, что здесь есть две зоны подводки баланса. Одна грубая, она отвечает за идею, то есть за то, как определены векторы звуков в конкретной модели движения звуков. А другая - тонкая, она отвечает за то, как происходит спонтанное подстраивание.