О центральном и ключевом вопросе лютерии - выстройке

[Искатель]

В выстройке используются математические кривые.
В. Кандинский в работе «Точка и линия на плоскости» (Мюнхен, 1926) писал:
«Когда на точку одновременно оказывают воздействие две силы таким образом, что одна из них непрерывно и в равной мере превосходит другую по силе давления, возникает кривая линия… Она является собственно прямой, отклонившейся от своего пути вследствие постоянного бокового давления, - чем сильнее было это давление, тем сильнее изменялся угол отклонения прямой и тем сильнее становилось напряжение вовне».
Однако не верно предположение о том, что «существует только одна кривая, отвечающая всем требованиям построения скрипки» (С.В.Муратов. Искусство скрипичного конструирования). Это не так, для проектирования смычковых инструментов скрипичного семейства необходим следующий набор из трех выстроечных кривых:
1) кривая Безье (струнная линия) – для построения полного контура формы с шаблонами уголков и клёцев, контура эфов и контура ручки – выстраиваемая с помощью струны;
2) спираль Бернулли (логарифмическая спираль), представляющая собой геометрический фрактал в 11 итераций из дуг размером в четверть окружности – для построения волюты завитка – выстраиваемая с помощью масштабного циркуля;
3) катенария (цепная линия) – для построения линий, образующих поверхности сводов деки и дна – выстраиваемая с помощью цепочки.

[Искатель]

Из темы о Физ. вопросах:

lubytel

> Я вот подумываю в какой теме продолжать Вашу теорию Выстройки... Но сейчас это идёт в теме про узлы
Есть тема про узлы (я уже попросил Сергея Витальевича переименовать ее в нормальный вид - "Об определении длины деки и высоты свода"). Но есть на Форуме ещё моя тема про выстройку вообще - она называется "О центральном и ключевом вопросе лютерии - выстройке" (недавно создана и практически пустая). Так что общие вопросы выстройки (не о длине деки и о высоте свода, а вообще) - это лучше там, наверное.

[Искатель]

Итак, основой геометрического построения формы является каркас из восьми отрезков – вертикальной оси и семи горизонтальных перпендикуляров к ней.
Как соединить кривой линией пару точек геометрического каркаса? Думается, что при условии единого физического модулятора кривых (в данном случае – построителем кривых Безье является простая дуга струны) определяющим фактором является длина линии между двумя точками. Натянутая струна превратит кривую линию в отрезок прямой и только при необходимой длине петли произведется искомая (или желаемая) конфигурация формы. Нужно учесть, что сам геометрический каркас имеет только опорное значение, и соединительные кривые могут иметь различную степень кривизны.

[Искатель]

Нужно отметить, что контур формы, на которой моделируется рамка обечаек, очерчивает (с некоторым приближением) контур фигуры, являющейся образующей линией для внутренней поверхности свода деки. Отличия от контура формы два: 1) «зоны верхних и нижних краёв, ограниченные двумя строго поперечными линиями, проходящими по внутренним краям верхнего и нижнего клёцев, всегда исключались Страдивари из процесса выдалбливания», поэтому контур образующей уплощен в верхней и нижней частях перпендикулярными к вертикальной оси отрезками; 2) форма имеет пазы под уголки, тогда как у образующей линии этот отрезок сглажен до совпадения с внутренней линией уголка.
Таким образом, контур образующей линии свода деки имеет геометрический каркас из 10 отрезков – оси и 9 перпендикуляров.

[Искатель]

Природа внутренней поверхности свода деки состоит в том, что эта поверхность является вогнуто-вогнутым катенокатенарием, лемникатированным по Буту, пересеченным плоскостью. Что это значит? Контурная линия, рассмотренная выше, близка к такой геометрической фигуре, как эллиптическая лемниската Бута – плоская алгебраическая кривая четвертого порядка, частный случай кривой Персея, подера эллипса (на рисунке – розовым, жёлтым).
*ничего там не видать - короче, бледные-бледные две внешние линии

[Искатель]

Что такое катена (катенария) – это, я думаю, все уж знают. Но всё равно напомню. Это цепная линия – кривая, образованная свободным провисанием цепочки. Плоская трасцендентная кривая.

[Искатель]

Далее. Есть такая штука, как эллиптический параболоид – поверхность второго порядка, описываемая семейством параллельных парабол с ветвями, направленными вниз, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вниз. Короче говоря, эта поверхность имеет образующую – одну из парабол и множество поперечных парабол, все вершины которых лежат на параболе. Так как это поверхность вращения, то пересечение ее параллельной системе координат плоскостью даст окружность. Это вторая образующая эллиптического параболоида.

[Искатель]

Если заменить в параболоиде параболы катенами, то получится уже почти то, что нам нужно. Но как это самое назвать? Катеноид? Нельзя, катеноид – это нечто иное. Это поверхность, образуемая вращением катены. Катеноид – это форма мыльной пленки, натянутой на две окружности в параллельных плоскостях. Короче, совсем не то.

[Искатель]

Математики такую поверхность никак не обозначили почему-то, к сожалению. Поэтому я предлагаю именовать таковую не иначе как катенокатеноид. Это почти то же самое, что эллиптический параболоид, но из катен. У эллиптического параболоида есть две образующих – парабола и окружность, по ним множеством парабол и образована эта поверхность. Если взять катену и множество других катен, вершины которых лежат на первой катене, получится катенокатеноид. В случае если главная катена и перпендикулярные к ней направят свои ветки в одну сторону (как нам и надо), то будет вогнуто-вогнутый (ну или выпукло-выпуклый) катенокатеноид. По форме это что-то вроде вхолмленной долины. (катены-перпендикуляры могут иметь разные величины), поэтому поверхность может иметь разные формы. Это может быть каньон с горными уступами или малая ложбинка вроде внутренней поверхности свода деки. Всё зависит от образующей катенокатенария. В нашем случае интересна лемниската Бута (ну точнее, сходная с ней кривая). Поэтому катенокатенарий в нашем случае не абы какой, а лемнискатированный по Буту. И опять же катенокатенарий – поверхность бесконечная, а нам такую не надо, поэтому мы его отсекаем плоскостью. Поэтому получается вогнуто-вогнутый катенокатенарий, лемнискатированный по Буту и пересеченный плоскостью. Понимаю, убойное название, но зато точное математически. При этом в секущей плоскости как раз и лежит контурная кривая, которую мы и рассмотрели выше. Продольная катена лежит в плоскости, на которой находится вертикальная ось, а все остальные катены – в плоскостях перпендикуляров.

[Искатель]

Довольно математики, возвращаемся к лютерии. Итак, геом. каркас контура состоит из 10 прямых отрезков, а поверхность свода деки слагается как минимум 10 катенариями (катенами) – одной продольной (осевой) и девятью поперечными. Чем сильнее прогиб осевой катенарии, тем сильнее прогиб соответствующей поперечной катены. Верхняя и нижняя катены вырождены в отрезки прямой.