Дерево; его смысл и значение

[Математик]

Если воспользоваться стандартным определением понятия “дерево”:

Не так уж сложно открыть любой стандартный учебник по информатике и прочитать в нем определение “дерева”.
Прочитать определения того, что называется “деревом”, “двоичным (бинарным) деревом”, “полным бинарным деревом”:
http://www.px-pict.com/9/7/1/2/4.html

Все давно и хорошо известно.

то следует признать, что при использовании операций V и H:

В том, что касается именно теории музыки, то весьма важными, на мой взгляд, являются операции, которые я обозначаю символами V и H:
http://www.px-pict.com/copies/arbuz/tree/2.html
(пункт 1.17 на указанной странице)

Дерево растет как раз в полном объеме, вопреки предположению commator’a:

Дерево без корневища есть обрубок и в полном объёме не растёт.

Дело было вечером,
Спорить было нечего.
http://rybkovskaya.ru/mamy-raznye-nu...syakie-vazhny/

[Математик]

Если воспользоваться стандартным определением понятия “дерево”:
то следует признать, что при использовании операций V и H:
Дерево растет как раз в полном объеме...

Формализовать эту идею можно, например, при помощи системы SBT, которую я предложил здесь:
http://www.px-pict.com/copies/dxdy/duality/3/3.html

[commator]

Формализовать эту идею можно, например, при помощи системы SBT, которую я предложил здесь:
http://www.px-pict.com/copies/dxdy/duality/3/3.html

Cилился догадаться как вычислять чему равно H(1) и V(1), но безуспешно.

Растолкуйте так, чтобы первокласснику было ясно, раз Вы настаиваете, что именно для теории музыки наиболее важно это Ваше изобретение.

[bntr]

Не так уж сложно открыть любой стандартный учебник по информатике и прочитать в нем определение “дерева”.
Прочитать определения того, что называется “деревом”, “двоичным (бинарным) деревом”, “полным бинарным деревом”:
http://www.px-pict.com/9/7/1/2/4.html

Извините, что встреваю. Кажется, элементы этого двоичного дерева - промежутки, а не дроби:

                (0/1 1/0)
     (0/1 1/1)             (1/1 1/0)
(0/1 1/2) (1/2 1/1)   (1/1 2/1) (2/1 1/0)

[Математик]

Формализовать эту идею можно, например, при помощи системы SBT, которую я предложил здесь:
http://www.px-pict.com/copies/dxdy/duality/3/3.html

Cилился догадаться как вычислять чему равно H(1) и V(1), но безуспешно.

Растолкуйте так, чтобы первокласснику было ясно, раз Вы настаиваете, что именно для теории музыки наиболее важно это Ваше изобретение.

Не понимаю, в чем проблема?
V( 1 ) = 1 / 2
H( 1 ) = 2 / 1
-----------------------------------------------

По приведенной мною ссылке операции V и H определяются через операци “беленький кружочек” и “черненький кружочек”, соответственно.
Сами эти операции (“беленький кружочек” и “черненький кружочек”) были определены в самом начале дискусси, на которую я ссылаюсь:
http://dxdy.ru/topic16277.html

Эти операции (“беленький кружочек” и “черненький кружочек”) были определены там через известные операции на множестве положительных рациональных чисел (операцию сложения, умножения и деления на множестве положительных рациональных чисел). Так что просто подставьте в формулы необходимые значения, и Вы получите то, что нужно.
Справку по положительным рациональным числам см. здесь:
http://www.px-pict.com/7/4/3.html

[Математик]

Кажется, элементы этого двоичного дерева - промежутки, а не дроби:

                (0/1 1/0)
     (0/1 1/1)             (1/1 1/0)
(0/1 1/2) (1/2 1/1)   (1/1 2/1) (2/1 1/0)

Такая интерпретация возможна. Я писал о ней здесь:
http://www.px-pict.com/copies/arbuz/tree/3.html
(пункт 1.22 на указанной странице)

Этот текст на самом Арбузном форуме:
http://forum.arbuz.uz/index.php?showtopic=1795&st=20
(пост от 5 дек 2006 на указанной странице)

[commator]

Cилился догадаться как вычислять чему равно H(1) и V(1), но безуспешно.

Растолкуйте так, чтобы первокласснику было ясно, раз Вы настаиваете, что именно для теории музыки наиболее важно это Ваше изобретение.

Не понимаю, в чем проблема?
V(1) = 1/2
H(1) = 2/1

Проблема в том, что не уважили Вы моей просьбы расписать операции хотя бы так:

H(n) = n+1; V(n) = n*1 /(n+1).

С помощью Вашей сухой подсказки

По приведенной мною ссылке операции V и H определяются через операци “беленький кружочек” и “черненький кружочек”, соответственно.
Сами эти операции (“беленький кружочек” и “черненький кружочек”) были определены в самом начале дискусси, на которую я ссылаюсь:
http://dxdy.ru/topic16277.html
<...>
Справку по положительным рациональным числам см. здесь:
http://www.px-pict.com/7/4/3.html

не без труда (лишь потому, что не первоклассник) всё понял, похоже:

H(1) = 1+1 = 2; V(1) = 1*1/(1+1) = 1/2.
H(2) = 2+1 = 3; V(2) = 2*1/(2+1) = 2/3.
H(1/2) = (1/2)+1 = 3/2; V(1/2) = (1/2)*1/(((1/2)+1) = ...

Нет уж, мне проще вычислять медианты раздельным суммированием числителей и знаменателей. К тому же мои нужды требуют вычисления полосы значений между двумя границами а Ваше изобретение и для этого неудобно использовать.

Возможно имеющее смысл мнение:

В том, что касается именно теории музыки, то весьма важными, на мой взгляд, являются операции, которые я обозначаю символами V и H

для меня ещё не очевидно.

[bntr]

Как получается (кажется, акустического смысла в этом нет, но тогда какой), что 16ая гармоника музыкального звука "гармоничнее" 15ой (а 15ая - 14ой, из-за соответствия ЧИП2, ЧИП5 и ЧИП7)?
Формулируется ли некое правило, из-за которого признаётся октавная эквивалентность, и по которому можно бы было вычислить, например, "гармоничнее" ли (в том же смысле) 32ая гармоника 5ой?

Об октавном подобии мне пока известно, что это аксиома.

Чаще всего для этого ссылаются на гельмгольцеву шероховатость консонанса. Я пробую приспособить ширину свободного пространства в окрестности обособленных высотных штрихов

Как я понял, гельмгольцева шероховатость для 2/1, 3/1, 4/1,.. равна (нулю). Мне же хотелось думать что 16ая гармоника "гармоничнее" 15ой.

Нашёл вариант ответа в этой статье, где упоминаются классическая формула Эйлера (Gradus Suavitatis) и более поздняя формула Кларенса Барлоу.
Отложил "гармоничность" по Барлоу вниз на этих png и pdf.

Наверное, некие коэффиценты (или всю формулу) стоит считать изменяемыми, например, для отражения истории освоения "музыкальных чисел".

[Математик]

Проблема в том, что не уважили Вы моей просьбы расписать операции хотя бы так:

H(n) = n+1; V(n) = n*1 /(n+1).

С помощью Вашей сухой подсказки не без труда (лишь потому, что не первоклассник) всё понял, похоже:

H(1) = 1+1 = 2; V(1) = 1*1/(1+1) = 1/2.
H(2) = 2+1 = 3; V(2) = 2*1/(2+1) = 2/3.
H(1/2) = (1/2)+1 = 3/2; V(1/2) = (1/2)*1/(((1/2)+1) = ...

Хорошо, уважаемый commator.
Приношу Вам свои извинения.
Позвольте, однако, полюбопытствовать: само понятие двойственности, имеющее место быть в системе положительных рациональных отношений, для Вас по-прежнему интересно?
Не могли бы Вы прояснить свою позицию по этому вопросу: интересно ли оно Вам и почему?

[Математик]

Проблема в том, что не уважили Вы моей просьбы расписать операции хотя бы так:

H(n) = n+1; V(n) = n*1 /(n+1).

С помощью Вашей сухой подсказки не без труда (лишь потому, что не первоклассник) всё понял, похоже:

H(1) = 1+1 = 2; V(1) = 1*1/(1+1) = 1/2.
H(2) = 2+1 = 3; V(2) = 2*1/(2+1) = 2/3.
H(1/2) = (1/2)+1 = 3/2; V(1/2) = (1/2)*1/(((1/2)+1) = ...

Нет уж, мне проще вычислять медианты раздельным суммированием числителей и знаменателей.

Мне трудно согласиться с Вашим последним утверждением.
Совершенно очевидно для меня, что не сложнее, а проще вычислять операции V и H над дробями (по сравнению с операцией медианты):
“Оно строится при помощи операций V и H, которые определяются на дробях следующим образом:

V(a/b) = a/(a + b); H(a/b) = (a + b)/b.

Как видим, формулы очень простые (вследствие чего и определяемое ими дерево мы называем простым). Давайте подумаем, что операции V и H делают с дробями. Операция V оставляет числитель дроби неизменным, а знаменатель увеличивает на величину числителя.
Операция H оставляет знаменатель дроби неизменным, а числитель увеличивает на величину знаменателя.
Так и хочется назвать эти операции “двойственными”! Как мы увидим впоследствии, они таковыми и являются.”
http://forum.arbuz.uz/index.php?showtopic=1795&st=10
(пост от 30 ноя 2006 на указанной странице)