Дерево; его смысл и значение

[Математик]

Здесь не вообще деревья или дерево обсуждаются, а вполне определенное Дерево, описанное, например, в книге
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О.
Конкретная математика.
http://www.px-pict.com/10/4/4/13.html

А также выясняется его возможные значение и смысл для теории музыки.
“Фича” этого бесконечного бинарного дерева заключается в определенной разметке его вершин рациональными отношениями.

Уважаемый commator.
Давайте все же определимся с тем, что “висит” на Дереве.
Числа или отношения?
Если отношения, то мы должны будем признать, что корень “истинного Дерева”:
помечен интервалом унисона.

Любезный Математик.

Корень в корневище истинного дерева подобен ветви в кроне, только корневище в другую сторону от ствола растёт. У ДШБ корневище из двух корней -- инфразвуковой тишины (⁰/₁) и тишины ультразвуковой (¹/₀).

Висят на ДШБ передаточные числа шестерёнок, которым современное англоязычное имя -- ratios, а соответствующее русскоязычное -- соотношения. Для меня эти соотношения имеют вид ^{№о[бертона]}/_{№у[нтертона]}, отображающий обертонунтертоновую дуальность и относительную высоту музыкальных нот в системе ЧИ (чистой интонации).

Давайте вдумаемся в смысл написанного у Грэхема Р., Кнута Д., Паташника О.
“Всю совокупность вставок можно представить в виде бесконечного бинарного дерева, верхние уровни которого выглядят так …:”
http://www.px-pict.com/10/4/4/13.html

Заметим, что “дроби” 0 / 1 и 1 / 0 сами по себе никакими “вставками” не являются.
Поэтому они и не входят в состав того, что именуется авторами “бексконечным бинарным деревом”.

[Математик]

Давайте вдумаемся в смысл написанного у Грэхема Р., Кнута Д., Паташника О.

Сам-то Дональд Кнут:
http://www.px-pict.com/9/7/2.html

один из соавторов упомянутой выше книги “Конкретная математика”, надо полагать, был вполне “в курсах” по поводу общепринятой терминологии, связанной с деревьями:
http://www.px-pict.com/9/7/2/1/2/3.html

Понятие “корень дерева” является фундаментальным понятием, при помощи которого определяется вся последующая иерархия понятий, связанных с деревьями.
Спрашивается: какие есть веские причины для того, чтобы заменять общепринятое понятие “корень дерева” понятием “ствол”?

Где-то читал: {⁰/₁, ¹/₀} называется корневище, ¹/₁ есть ствол, а всё остальное именуется крона.

Дерево без корневища есть обрубок и в полном объёме не растёт.

Не так уж сложно открыть любой стандартный учебник по информатике и прочитать в нем определение “дерева”.
Прочитать определения того, что называется “деревом”, “двоичным (бинарным) деревом”, “полным бинарным деревом”:
http://www.px-pict.com/9/7/1/2/4.html

Все давно и хорошо известно.

[Математик]

Спрашивается: какие есть веские причины для того, чтобы заменять общепринятое понятие “корень дерева” понятием “ствол”?

“Честное” Дерево Штерна – Броко изображено на сайте mathworld:

Возможно, Вам будет полезно посмотреть на изображение Дерева на сайте mathworld:
http://mathworld.wolfram.com/Stern-BrocotTree.html

Его ростом управляют (если ограничиться рассмотрением только отношений, “висящих” на самом Дереве и не привлекать к исползованию какие-либо дополнительные отношения, на самом Дереве не “висящие”) упомянутые мною выше операции V и H:

Если воспользоваться стандартным определением понятия “дерево”:
то следует признать, что при использовании операций V и H:
Дерево растет как раз в полном объеме, вопреки предположению commator’a:

Геометрически операции H соответствует операция сдвига с горизонтальной осью Ox1, что и мотивирует название H для этой операции (от слова Horizontal):
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/3/3/1.html
(пример з) на указанной странице)

Альтернативное определение у Яглома:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/3/1/2/3.html
(см. Черт. 23)
-------------------------------

Аналогично, геометрически операции V соответствует операция сдвига с вертикальной осью Ox2, что мотивирует название V для этой операции (от слова Vertical):
Операции “медианта”, как я уже отмечал выше, геометрически соответствует операция сложения векторов:
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/4/2/1/2.html

[commator]

“Честное” Дерево Штерна – Броко изображено на сайте mathworld:

Не разделяю Ваших представлений о честности.

Написано:
<<...
Особый тип бинарного дерева получен начиная с дробей ⁰/₁ и ¹/₀ и повторной вставки ^(m+m')/_(n+n')

A special type of binary tree obtained by starting with the fractions ⁰/₁ and ¹/₀ and iteratively inserting ^(m+m')/_(n+n')

...>>

Нарисовано:



Где на картинке честное отображение дробей ⁰/₁ и ¹/₀, с которых по описанию всё начинается?

[Математик]

Не разделяю Ваших представлений о честности.

Написано:

Нарисовано:

То есть и написано, и нарисовано все предельно честно.
Предельная честность заключается в том, что операция взятия медианты не способна породить дерево без “костыликов”.
Костыликами являются “дроби” 0 / 1 и 1 / 0, которые самому Дереву не принадлежат.
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. описывают эту ситуацию корректно:

Давайте вдумаемся в смысл написанного у Грэхема Р., Кнута Д., Паташника О.
“Всю совокупность вставок можно представить в виде бесконечного бинарного дерева, верхние уровни которого выглядят так …:”
http://www.px-pict.com/10/4/4/13.html

Заметим, что “дроби” 0 / 1 и 1 / 0 сами по себе никакими “вставками” не являются.
Поэтому они и не входят в состав того, что именуется авторами “бексконечным бинарным деревом”.

Я не против использования “костыликов”, если они оказываются полезными. Поскольку операция взятия медианты есть операция сложения векторов, “костыликам” соответствуют единичные координатные векторы:http://www.px-pict.com/10/4/4/15.html

[commator]

операция взятия медианты не способна породить дерево без “костыликов”.
Костыликами являются “дроби” 0 / 1 и 1 / 0

Построил модель такого дерева зубчатых передач, где медианты обозначены парами связей.



Похоже на баобаб.

[Математик]

Похоже на баобаб.

Возможно, что Ваши интуиции произведут революцию в теории деревьев.
Я, однако, хочу вернуться к вопросу о неотличимости операции взятия медианты от операции сложения векторов.

“В каждом узле дерева Штерна — Броко ... стоит медианта ...”
http://ru.wikipedia.org/wiki/Дерево_Штерна_—_Броко

За термином “медианта” скрывается операция сложения векторов в векторном пространстве вектор – столбцов высоты 2 (или вектор – строк длины 2, как знать):
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/6/2/1.html

В народной статье Медианта пока только о дробях речь, а о векторах ещё ни слова. И я пока пользуюсь только дробями, а к векторам всё ещё не расположен.

Объекты определяются свойствами действующих на множестве объектов операций, как об этом хорошо метафорически описано у Гудстейна:
http://www.px-pict.com/9/6/4/8/4/4.html

Дроби под действием операции медианты “ходят” как векторы, поэтому они и неотличимы от векторов (в контексте операции медианты).

Я подробно расписал построение “первой вставки” при помощи операции сложения векторов:
http://www.px-pict.com/10/4/4/15.html
(внизу страницы)

[commator]

к вопросу о неотличимости операции взятия медианты от операции сложения векторов

Продолжу пользоваться медиантой. Её в музыкальную теорию до моего рождения приняли. Векторы же надо внедрять. Я не расположен, а Вы пробуйте.

Возможно, что Ваши интуиции произведут революцию

[commator]

Понятие “корень дерева” является фундаментальным понятием, при помощи которого определяется вся последующая иерархия понятий, связанных с деревьями.
Спрашивается: какие есть веские причины для того, чтобы заменять общепринятое понятие “корень дерева” понятием “ствол”?

Написано:
<<...
Особый тип бинарного дерева получен начиная с дробей ⁰/₁ и ¹/₀ и повторной вставки ^(m+m')/_(n+n')...>>

Думаю, что ДШБ особого типа потому, что у него два корня и это веская причина, чтобы воспользоваться понятием ствол.

Повторю, что о стволе ДШБ где-то читал, т. е. не сам выдумал. К тому же ствол корня не заменяет, а связывает ветвление корневища с ветвлениями кроны.

Между тем, в логике двух состояний, на которой пока работает много современной цифровой техники, занято лишь корневище ДШБ, а психоакустическая система, способная воспринимать музыку, работает на логике с количеством состояний более двух, где заняты и корневище и ствол и крона.

Когда возникнет острая нужда в конструировании цифровой техники на логике более двух-трёх состояний, можно будет многое подсмотреть в лесном массиве ДШБ на музыкальной почве.

[Математик]

Сам-то Дональд Кнут:
http://www.px-pict.com/9/7/2.html

один из соавторов упомянутой выше книги “Конкретная математика”, надо полагать, был вполне “в курсах” по поводу общепринятой терминологии, связанной с деревьями:
http://www.px-pict.com/9/7/2/1/2/3.html

Понятие “корень дерева” является фундаментальным понятием, при помощи которого определяется вся последующая иерархия понятий, связанных с деревьями.
Спрашивается: какие есть веские причины для того, чтобы заменять общепринятое понятие “корень дерева” понятием “ствол”?

Думаю, что ДШБ особого типа потому, что у него два корня и это веская причина, чтобы воспользоваться понятием ствол.

Повторю, что о стволе ДШБ где-то читал, т. е. не сам выдумал. К тому же ствол корня не заменяет, а связывает ветвление корневища с ветвлениями кроны.

Между тем, в логике двух состояний, на которой пока работает много современной цифровой техники, занято лишь корневище ДШБ, а психоакустическая система, способная воспринимать музыку, работает на логике с количеством состояний более двух, где заняты и корневище и ствол и крона.

Когда возникнет острая нужда в конструировании цифровой техники на логике более двух-трёх состояний, можно будет многое подсмотреть в лесном массиве ДШБ на музыкальной почве.

Вглядываясь в “Древо Порфирия”:
http://www.px-pict.com/9/6/2/6/1/2/7.html

все сильнее убеждаюсь, что Дональд Кнут вовсе не просто так изложил “теорию деревьев” именно так, как он ее изложил.