Дуализмы

[Математик]

Математический дуализм есть.

Должен быть, согласен. Однако, где же прочитать, что это такое?

Что такое дуализм (двойственность) в проективной геометрии можно прочитать здесь:
У Клейна: “В предыдущих рассуждениях мы писали рядом (слева и справа) некоторые предложения, обладающие замечательной симметрией...
Дальнейшее развитие этих мыслей приводит нас к столь же замечательному, как и важному "принципу двойственности": В проективной геометрии на плоскости путем надлежащей перестановки слов: точка -- прямая, прямая -- точка, мы можем непосредственно получить из всякой геометрической теоремы новую, совершенно другую теорему.
Читатель должен приобрести известный навык в подобных "переводах", чтобы в дальнейшем легко осуществлять переход к двойственному предложению...
Установление принципа двойственности... представляло в свое время существенное научное достижение. Это видно, например, из того, что прошло около 150 лет после отыскания теоремы Паскаля, прежде чем была установлена теорема Брианшона, которая с помощью принципа двойственности из нее непосредственно вытекает”.
http://www.px-pict.com/10/3/4/5/1/6c.html
http://www.px-pict.com/10/3/4/5/1/6e.html

У Кокстера: http://www.px-pict.com/10/3/4/1/5.html
У Ефимова: http://www.px-pict.com/10/3/4/6/11.html

[Математик]

И в проективной геометрии есть двойственность.
Бурбаки так пишет о ней:
“... самым ярким примером этого является, вероятно, двойственность в прективной геометрии, где частая в то время практика печатания теорем, "двойственных" одна другой, друг против друга в две колонки сыграла, безусловно, большую роль в осознании понятия изоморфии”:

Те конструкции, которые оказывались “друг против друга” можно, по-видимому, рассматривать как некоторые пары противоположностей.
Теории, внутри которых существует “совершенный дуализм” ставят производство пар противоположностей “на поток”.
Т. е. внутри таких теорий получается, как бы, что “все подружки по парам в темноте разбрелися…"

[Математик]

К обсуждаемому вопросу имеет отношение Таблица 74 у Немировского:
“Сравнение обоих рядов, обер- и унтертонов, дает следующую схему табл. 74: от звука C0.
Таким образом, минорный аккорд представляется, как симметричное контрастирующее построение мажорному”:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/6/5.html

В этой таблице фигурируют вполне определенные рациональные отношения (или “рациональные числа”, как их теперь называют). Они и на самом деле являются дуальными в смысле предложенной теории двойственности для системы положительных рациональных чисел:
Это обстоятельство и дало мне основание высказать предположение о том, что:

Возможно, Риман интуитивно чувствовал дуализм математической системы, которую он пытался использовать для описания упомянутого музыкального дуализма.
А именно, дуализм (или “двойственность”) внутри системы положительных рациональных чисел ...
Частным случаем проявления этого дуализма является дуализм Дерева, который нами тоже уже обсуждался:

Двойственность между рациональными отношениями из таблицы 74 Немировского в векторном представлении:
http://www.px-pict.com/10/5/5/1.html
---------------------------------------------

Что такое дуализм (двойственность) в проективной геометрии можно прочитать здесь:
У Клейна: ...

Еще добавка про двойственность в проективной геометрии:
http://www.px-pict.com/10/5/4/1.html
http://www.px-pict.com/10/5/4/1/1.html

[Математик]

Математический дуализм есть. Например, дуализм (двойственность) в теории булевых алгебр:
http://www.px-pict.com/9/5/1/4/1/1/2/1.html

Я использовал этот дуализм для сравнения с предлагаемым дуализмом в системе положительных рациональных чисел:

Не следует забывать и об этом музыкально – теоретическом дуализме прошлого:
“Таким образом, один тонкий, но, вместе с тем, и фундаментальный дуализм средневекового музыкального мышления оказывается невидимым.”
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/11/2/1/1/1.html

[Математик]

А что это Вы вдруг про инь-ян завели разговор? Никак, диалектику вспомнили?

Мне в диалектике про это не объяснили, а ув. Математик употребил. Пытаюсь осознать что это.

Тоже прочёл это: http://www.px-pict.com/9/6/8/1/1/2.html , попытался понять, зачем нужно было называть "элементарные конструкторы" "V" и "H" "яном" и "инем", и... ...И - пока не понял, зачем...

Я не настаиваю, что именно так их надо называть. Просто в “универсуме рациональных интервалов”, который я пытаюсь аксиоматизировать, имеет место свойство “двойственности” или “дуализма”. Как, например, в проективной геометрии:

Что такое дуализм (двойственность) в проективной геометрии можно прочитать здесь:
У Клейна: “В предыдущих рассуждениях мы писали рядом (слева и справа) некоторые предложения, обладающие замечательной симметрией...
Дальнейшее развитие этих мыслей приводит нас к столь же замечательному, как и важному "принципу двойственности": В проективной геометрии на плоскости путем надлежащей перестановки слов: точка -- прямая, прямая -- точка, мы можем непосредственно получить из всякой геометрической теоремы новую, совершенно другую теорему.
Читатель должен приобрести известный навык в подобных "переводах", чтобы в дальнейшем легко осуществлять переход к двойственному предложению...
Установление принципа двойственности... представляло в свое время существенное научное достижение. Это видно, например, из того, что прошло около 150 лет после отыскания теоремы Паскаля, прежде чем была установлена теорема Брианшона, которая с помощью принципа двойственности из нее непосредственно вытекает”.
http://www.px-pict.com/10/3/4/5/1/6c.html
http://www.px-pict.com/10/3/4/5/1/6e.html

У Кокстера: http://www.px-pict.com/10/3/4/1/5.html
У Ефимова: http://www.px-pict.com/10/3/4/6/11.html

Те конструкции, которые оказывались “друг против друга” можно, по-видимому, рассматривать как некоторые пары противоположностей.
Теории, внутри которых существует “совершенный дуализм” ставят производство пар противоположностей “на поток”.
Т. е. внутри таких теорий получается, как бы, что “все подружки по парам в темноте разбрелися…"

Многие музыкальные теоретики интуитивно ощущали наличие свойства “двойственности” или “дуализма” в рассматриваемых ими музыкальных системах и разными способами пытались эксплицировать его. Я использовал термины “ян” и “инь” примерно в соответствии с этой цитатой:
“Читатель замечал, возможно, что многое в мире устроено двойственным образом. Понятия, категории, как правило, появляются парами. Например, простое и сложное, конечное и бесконечное, радость и горе, любовь и ненависть, дискретное и непрерывное. Каждому утверждению можно построить его отрицание.
С другой стороны, эти двойственные противоположности труднопостижимым образом связаны и даже взаимно проникают друг в друга.
Древнекитайская философия (а может это было еще раньше) обратила внимание на эти обстоятельства, сформулировав понятия о противоположностях "ян" и "инь", которые символизируют черное и белое, добро и зло, тепло и холод и т. д., и представляла мир как равновесие и борьбу этих начал”.
Петров А.Е. Тензорная методология в теории систем.
М.: Радио и связь, 1985, сc. 85 — 86.

[Математик]

Я не настаиваю, что именно так их надо называть.

А вообще, формализованные аксиоматические теории (в том числе и та, которую привел я) вполне объективно живут своей собственной независимой жизнью и им совершенно безразлично, как мы “обзовем” входящие в их состав ингредиенты.
В этой связи обычно приводят высказывание Гильберта о столах, стульях и пивных кружках:
“Ещё доцентом Гильберт прослушал в Галле лекцию Ганса Винера об основаниях и структуре геометрии.
Находясь под влиянием абстрактной точки зрения Винера на геометрические объекты, по дороге в Кёнигсберг на вокзале в Берлине он глубокомысленно заметил своим спутникам: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках».
В этом шутливом замечании содержалась суть курса лекций, которые он намеревался прочесть”.
http://www.ega-math.narod.ru/Reid/p2.htm#08

[commator]

он глубокомысленно заметил своим спутникам: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках»

Позже охочие до пивных кружек немцы подменяли людей числами, которые конвертировали в печное топливо...

[commator]

“Читатель замечал, возможно, что многое в мире устроено двойственным образом. Понятия, категории, как правило, появляются парами. Например, простое и сложное, конечное и бесконечное, радость и горе, любовь и ненависть, дискретное и непрерывное. Каждому утверждению можно построить его отрицание.
С другой стороны, эти двойственные противоположности труднопостижимым образом связаны и даже взаимно проникают друг в друга.
Древнекитайская философия (а может это было еще раньше) обратила внимание на эти обстоятельства, сформулировав понятия о противоположностях "ян" и "инь", которые символизируют черное и белое, добро и зло, тепло и холод и т. д., и представляла мир как равновесие и борьбу этих начал”.
Петров А.Е. Тензорная методология в теории систем.
М.: Радио и связь, 1985, сc. 85 — 86.

Труднопостижимо для многих взаимопроникновение обертонов и унтертонов.

Любая пара звуковысотностей в прямом соотношении основание-обертон всегда оказывается парой звуковысотностей в обратном соотношении основание-унтертон, если понимать основанием обертон прямого соотношения.

[combinare]

Труднопостижимо для многих взаимопроникновение обертонов и унтертонов.

лично для меня труднопостижимо то,что бесполезно.

[commator]

лично для меня труднопостижимо то,что бесполезно.

Вы всегда точно знаете, что полезное для Вас, например, полезно и другим?