Использование логарифмов в музыкознании

[ASantik]

Более того, СНЧ (сверх-низкочастотное) - сканирование позволило довольно точно "вычислить" ореал обитания Комматора: 55 км севернее Луганска (Колядовка-Волкодоево) с погрешностью +- 5 км.

[combinare]

Более того, СНЧ (сверх-низкочастотное) - сканирование позволило довольно точно "вычислить" ореал обитания Комматора: 55 км севернее Луганска (Колядовка-Волкодоево) с погрешностью +- 5 км.

погрешность измерений почти 10%: Промахи или грубые погрешности.

Такие погрешности возникают вследствие неисправности измерительных приборов или ошибок в эксперименте, сделанных по невнимательности. Естественно стремление избегать промахи, но если стало понятно, что они все-таки допущены, соответствующие им результаты измерений просто отбрасывают.

[ASantik]

Не могу согласиться с такой оценкой погрешности измерения. Даже если бы я измерения проводил из центра Луганска надо учитывать 2*3.1415926*R, где R=55 км. Ошибка (по углу) 1.6%. Но я проводил измерения в 450 от Луганска на трассе Елец-Липецк в районе р. Дон. Вот из "Града" - по автобусной остановке - это промах или грубая погрешность, а нас -всё точно!

[Klopff]

А как насчет гармоник и обертонов в спектрах квазипериодических (фортепиано, напр.) и вовсе непериодических (колокол, бубен шамана и пр.) колебаний? Можно ли частичные тоны таких колебаний вообще называть гармониками (спектры-то ведь негармонические)?

[combinare]

Не могу согласиться с такой оценкой погрешности измерения. Даже если бы я измерения проводил из центра Луганска надо учитывать 2*3.1415926*R, где R=55 км. Ошибка (по углу) 1.6%. Но я проводил измерения в 450 от Луганска на трассе Елец-Липецк в районе р. Дон. Вот из "Града" - по автобусной остановке - это промах или грубая погрешность, а нас -всё точно!

в октаве 1200 центов.
если нотку взять пару раз с люфтом 1200*5/55 = 109.0909090909091 цента, -

ушки вянут.

[ASantik]

А как насчет гармоник и обертонов в спектрах квазипериодических (фортепиано, напр.) и вовсе непериодических (колокол, бубен шамана и пр.) колебаний? Можно ли частичные тоны таких колебаний вообще называть гармониками (спектры-то ведь негармонические)?

Несколько лет назад на одном из сайтов активно обсуждался вопрос сдвига спектра гармоник звука струны фортепиано в сторону высоких частот. А объяснение простое - звук струны (фортепиано, гитара) это частотно-модулированное колебание. Т.е. всегда частота в начальный момент всегда больше, чем в конце звучания. Больше амплитуда - больше натяжение струны - больше частота. Это хорошо видно на спектрограме (амплитуда -частота - время) и особенно хорошо заметно на высших гармониках. Если интересно, могу катинки поискать.
Бубен - хорошо описывается уравнением колебания мембраны. И нет особой разницы - бубен, барабан или барабанная перепонка уха:

Для таких колебаний обычно смотрят не спектр, а кепстр (спектр второго порядка).

[Математик]

Несколько лет назад на одном из сайтов активно обсуждался вопрос сдвига спектра гармоник звука струны фортепиано в сторону высоких частот. А объяснение простое - звук струны (фортепиано, гитара) это частотно-модулированное колебание. Т.е. всегда частота в начальный момент всегда больше, чем в конце звучания. Больше амплитуда - больше натяжение струны - больше частота. Это хорошо видно на спектрограме (амплитуда -частота - время) и особенно хорошо заметно на высших гармониках. Если интересно, могу катинки поискать.
Бубен - хорошо описывается уравнением колебания мембраны. И нет особой разницы - бубен, барабан или барабанная перепонка уха:

Для таких колебаний обычно смотрят не спектр, а кепстр (спектр второго порядка).

Вообще-то, логарифм – это математическое понятие, а не акустическое. Не следовало бы об этом забывать.

В конце концов, я и сам на пятом курсе университета придумал один алгоритм для вычисления логарифмов:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/5.html

Пункт номер два, который особенно хотелось бы донести до Вас, уважаемый vcirkov, заключается в том, что равносторонняя гипербола в определенном смысле аналогична окружности:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/3/2/2/21.html

и нам будет выгодней рассматривать полярные соответствия относительно нее, а не относительно окружности, как это делается в хрестоматийных примерах:
http://www.px-pict.com/10/3/3/3/2.html

Вот на этой аналогии между окружностью и гиперболой в определенном смысле основан предложенный мною алгоритм.
Известный алгоритм (так называемый “алгоритм Волдера”), связанный с окружностью (и послуживший для меня прототипом), изложен в работе моего научного руководителя А. М. Оранского (который был руководителем сначала моей курсовой, потом диплома, а потом – в аспирантуре):
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/3.html

Этот быстрый алгоритм использовался (согласно легендам?) в системах наведения баллистических ракет. Он мог, в частности, осуществлять быстрое преобразование декартовых координат в полярные и обратно. Определение полярных координат см., например, здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/4/1/4a.html

Предложенный мною алгоритм делает то же самое по отношению к “гиперболической тригонометрии”:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/1/10.html
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/3/2/4/28.html

При этом оказывается, что эффективность “гиперболического” алгоритма может быть значительно увеличена по сравнению с “круговым”.

[Математик]

Вообще-то, логарифм – это математическое понятие, а не акустическое. Не следовало бы об этом забывать.

В конце концов, я и сам на пятом курсе университета придумал один алгоритм для вычисления логарифмов:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/5.html

А потом, когда читал у Делоне одно место о работе Гаусса:
… Каждая такая решетка имеет свой вполне определенный конечный наименьший гиперболический угол совмещения с собой, так называемый ее угол Пелля …
… и если рассматривать целочисленные линейные унимодулярные преобразования пространства, при которых этот конус совмещается с собой (преобразования Лорентца, соответствующие этой форме)....
http://www.px-pict.com/9/6/5/5/1/03/12/10.html
то чуть не запел, как Земфира:

Ну почему? Лай-ла-ла...
http://www.megalyrics.ru/#/lyric/ziemfira/pochiemu.htm

Что здесь делают преобразования Лорентца? Ведь это не физика, а чистая математика (теория чисел).

Уважаемый Математик, то, что Вы пишете, связывая проективную геометрию, геометрию Лобачевского и музыку, в высшей степени интересно. Но боюсь, что с точки зрения объяснения звуковысотной шкалы геометрические построения избыточны — достаточно лишь логарифмов : )

Но зато такие построения будят фантазию тех, кто хоть чего-нибудь в них понял. На мой взгляд, для музыкантов они могут сыграть скорее художественную роль, чем научную : )

Во всяком случае, когда-то (когда вся эта звуковысотность только начиналась) они не были избыточны. Достаточно посмотреть на Figure 10.11 и 10.12 у Форстера, где описываются построения в "Sectio Canonis" (“Division of the Canon” по английски), приписываемого Евклиду:
http://www.chrysalis-foundation.org/Philolaus_and_Euclid.htm

В принципе, мы могли бы и популярную книжку Н. М. Бескина “Деление отрезка в данном отношении” рассматривать как некоторую версию древнего "Sectio Canonis":
http://www.px-pict.com/10/3/3/7/0.html

Нашим школьникам, обладающим хорошим математическим аппетитом, возможно, было бы интересно узнать о связях этой задачи с теорией музыки, из которой эта задача (опять-таки, возможно) и выросла.

[Математик]

А потом, когда читал у Делоне одно место о работе Гаусса:
… Каждая такая решетка имеет свой вполне определенный конечный наименьший гиперболический угол совмещения с собой, так называемый ее угол Пелля …
… и если рассматривать целочисленные линейные унимодулярные преобразования пространства, при которых этот конус совмещается с собой (преобразования Лорентца, соответствующие этой форме)....
http://www.px-pict.com/9/6/5/5/1/03/12/10.html
то чуть не запел, как Земфира:
Что здесь делают преобразования Лорентца? Ведь это не физика, а чистая математика (теория чисел).

Естественно, что после этого я стал напряженно искать у Делоне то место, где была бы изображена гипербола, в контексте которой и объясняется понятие “гиперболического поворота”:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/4/1.html

И достаточно быстро нашел это место:
http://www.px-pict.com/9/6/5/5/1/03/4/5.html

[Математик]

Естественно, что после этого я стал напряженно искать у Делоне то место, где была бы изображена гипербола, в контексте которой и объясняется понятие “гиперболического поворота”:
И достаточно быстро нашел это место:

А также построил часть одной из решеток, упомянутых у Делоне:
http://www.px-pict.com/9/6/5/5/1/03/4/2.html

средствами “построений циркулем и линейкой”:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/2.html