Алексей Степанович Оголевец

[Математик]

Послушайте мои модели по Баху, где все терции по Оголевцу фальшивые до того, что очень близки к гармоническим.

Спасибо, commator, за ссылки, а также за интересную дискуссию, где эти ссылки были приведены. Я немного подумаю.

[commator]

... Я немного подумаю.

Тем временем добавил ссылку на Ваши фрагменты "Основ" Оголевца в Википедию.

[Математик]

Возможно, Оголевец действительно перегибает палку. Возможно, что его подход несколько односторонний. Но не будем забывать также о существовании и “позднего” Оголевца, с его более сбалансированным подходом.

В книге Г. Когута "Микротоновая музыка" на стр. 58. Вот оно! Не смог таки обойтись АСО без цепей гармонических терций и среднетоновых настроек, этими цепями порождаемых.

Вполне возможно. Значит, нужно будет говорить “о раннем Оголевце” и “о позднем Оголевце”.
Но все же без "раннего Оголевца” мы не поймем адекватно “позднего”.

[Математик]

Ранний Оголевец мне дорог тем, что он очень хорошо подготовил свою систему для описания при помощи некоей аксиоматической дедуктивной теории (как это, по сути дела, и имело место быть во времена зарождения теории музыки).

А начать здесь конечно же проще с раннего Оголевца, чем с позднего.

Уже и в ранней версии Оголевец использовал при построении своей системы (неосознанно, надо полагать) очень прогрессивные теоретико-множественные конструкции, как я уже отмечал мимоходом:

Лично для меня концепция Оголевца привлекательна еще и тем, что он положил в основу своей теории интересную для меня математическую конструкцию, официально именуемую “полярностями”:
http://www.px-pict.com/9/4/4.html

Эта конструкция была предложена в 1940 г. Гарри Биркгофом (отцом “универсальной алгебры”), который абстрагировал ее от многочисленных важных частных случаев ее конкретного проявления. И то, что она проявилась также и в теории музыки Оголевца, который пришел к осознанию ее важности интуитивно и независимо, добавляет немало очков к рейтингу ее “вездесущности”.

В качестве класса I берем множество звуков, в качестве класса J берем множество тональностей. “Спаривающее” отношение “ро” содержательно интерпретируем как “некоторый звук из класса I находится в некоторой тональности из класса J”. Такая конструкция наилучшим образом подходит для математического описания таблицы мажорных тональностей Оголевца:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/1/14.html

То, что Оголевец фактически положил понятие “звук в данной тональной системе” в основу своей теории, видно из следующего места в его книге:
Оголевец А. С.
Основы гармонического языка.
М. — Л., 1941, с. 68.
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/3/9.html

[Математик]

В принципе, объяснить теоретико-множественную суть построений Оголевца можно очень просто (на уровне, понятном школьнику). Для быстрых ссылок на необходимый материал здесь представлены базовые знания по наивной теории множеств:
http://www.px-pict.com/9/2/4.html

[commator]

Возможно, Оголевец действительно перегибает палку. Возможно, что его подход несколько односторонний. Но не будем забывать также о существовании и “позднего” Оголевца, с его более сбалансированным подходом.

Со страниц 57-58 вышеупомянутой книги Когута
<<...
В бывшем Советском Союзе - А.Оголевец (от 17-ступенной до 200-ступенной темперации, включая 29-, 41-, 53-, 60-ступенную и т.д.). Максимально приемлемым для музыкальных целей количеством ступеней в октаве Оголевец считал 233, однако практическое использование таких систем ему представлялось довольно проблематичным, учитывая имеющиеся в то время данные психоакустических исследований. Автору этих строк посчастливи­лось вести переписку и много раз встречаться с А.Оголевцом в последние годы его жизни. При этом А.Оголевец в общих чертах рассказывал о возможностях дальнейшего развития своей теории. В частности, он начал разрабатывать более совершенную кон­цепцию с обоснованием возможности использования вместе с "галактическим", "сфероидальным тональным пространством", и "внегалактические" структуры, в первую из которых входили бы системы с добавлением новых 12 координации к существующей диатонике (что дает системы 19-, 31-, 43-, ...n-ступенные), а во вторую, "внегалактическую систему", входили бы системы с 9-, 16-, 23-, 30-ступенными и т.д. - они объединялись бы, по представлениям автора, одним важным показателем - так называемой "отрицательной диатоникой" [55, 56].
...>>

Неясно, какие диатоники отрицательные, но по Бозанкету системы РДО

• 19-, 31-, 43-, ... 7+12*n-ступенные являются отрицательными первого порядка;
• 9-ступенная - отрицательная 3-го порядка/положительная 9-го;
• 16-ступенная - отрицательная 4-го порядка/положительная 8-го порядка;
• 23-ступенная - отрицательная 5-го порядка/положительная 7-го;
• 30-ступенная - отрицательная 6-го порядка/положительная 6-го порядка.

Интересные числа упомянул в связи с поздним Оголевцем Г. Когут!
Открывается факт существования таких систем РДО, которые одновременно и положительные и отрицательные по Бозанкету.
Или я в чём-то ошибаюсь...

[commator]

... Уже и в ранней версии Оголевец использовал при построении своей системы (неосознанно, надо полагать) очень прогрессивные теоретико-множественные конструкции, как я уже отмечал мимоходом:

У Оголевца находим такую связь буквенных обозначений ступеней диатоники



У Римана такую



Мне ясно, что это путь именно к той музыкальной алгебре, которую я осознал и начал использовать до чтения этих фрагментов. Они подтверждают, что путь конструктивный.

В той алгебре, которую я выработал из практики переложений 12РДО нот для их игры в системах 31/53РДО гармонические терции занимают своё неповторимое место. Системы обозначений Оголевца и Римана (прикладываю сонантометрию) с ней также прекрасно согласуются при условии пренебрежения октавами. Их у Оголевца нет, а у Римана они присутстствуют без должного внимания к коэффициентам перед ними. Есть место и для любой мыслимой системы чистой интонации, потому что в основе лежат простые числа и свойства множества гармонических обертонов. Такое множество всегда присутствует в ощущении высоты звука из-за нелинейной зависимости этого ощущения от частоты вызывающего стимула.

Каждый тон получает свою уникальную формулу, как накопление тех или иных перемещений на интерсонанты _T_, _D_, _M_, _Q_, _N_, _P_, ... соответствующие простым числам 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

Структура пифагорейской диатоники получается как единственная цепь квинт (:_Dt_: = :_D_:_t_: ~ 3/2)
Если абсолютным началом или нулевым сонантом считать С:0S, то имеем

F,:Td_Dt_C:0S_Dt_G:Dt_Dt_d:2D2t_Dt_a:3D3t_Dt_e':4D4t_Dt_h':5D5t

Диатоника чистого строя получается как две цепи квинт, смещённые на гармоничесую малую терцию (:_Mdt_: = :_M_:_d_:_t_: ~ 5/6)

F,:Td_Dt_C:0S_Dt_G:Dt_Dt_d:2D
_Mdt_
D,<:M2d_Dt_A,<:Mdt_Dt_E<:M2t_Dt_H<:MD3t

Можно подумать, как изменится диатоника, если в её формировании примет участие гармоническая септима (:_Q2t_: ~ 7/4)

Я вижу сходство с тем, как в химии веществам соответствуют их формулы, как сочетания тех или иных простых элементов.

[commator]

В принципе, объяснить теоретико-множественную суть построений Оголевца можно очень просто (на уровне, понятном школьнику). Для быстрых ссылок на необходимый материал здесь представлены базовые знания по наивной теории множеств:
http://www.px-pict.com/9/2/4.html

Объясните. Я немного знаком с теорией множеств, и мне интересно узнать, как Оголевец в неё вписался.

[Математик]

Пояснить проще на примере проективной геометрии, которая (при современном подходе) также формулируется в теоретико-множественных терминах:
http://www.px-pict.com/10/3/4/1/1.html

В (двумерной) проективной геометрии рассматриваются объекты двух сортов: точки и прямые. Имеется также бинарное отношение (отношение инцидентности), связывающее множество точек и множество прямых.
Музыкально, в контексте таблицы Оголевца:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/1/14.html

мы интерпретируем это следующим образом: точки – это звуки, прямые – это тональности. Основное атомарное утверждение проективной геометрии – данная точка инцидентна данной прямой интерпретируем как данный звук находится в данной тональности.

И тогда можно будет написать систему (музыкальных) аксиом инцидентности, творчески переосмыслив таковую для проективной плоскости:http://www.px-pict.com/10/3/4/1/4.html

Конечно, отличия будут. И существенные. Но все же еще более существенным является сходство, заключающееся в том, что в таблице Оголевца звуки абсолютно равноправны с тональностями (как на проективной плоскости точки абсолютно равноправны с прямыми). А это заставляет подозревать наличие в этой системе (Оголевца) феномена двойственности по аналогии с таковым для проективной плоскости:
http://www.px-pict.com/10/3/4/1/5.html

[Математик]

Можно добавить еще следующее. В контексте проективной плоскости имеется пара двойственных друг другу понятий: ряды и пучки:
http://www.px-pict.com/10/3/4/1/6.html

Ряд (точек) может быть определен как множество всех точек, инцидентных данной прямой.
Пучок (прямых) может быть определен как множество всех прямых, инцидентных данной точке.

При музыкальной интерпретации в контексте таблицы Оголевца мы имеем:
ряд (звуков) есть множество всех звуков, входящих в данную тональность;
пучок (тональностей) есть множество всех тональностей, в которые входит данный звук.

Сам Оголевец вместо понятия “пучок тональностей” использует понятие “период звука”:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/1/12.html#1

Любой ряд звуков (как множество) состоит из 12-ти элементов. Любой пучок тональностей (как множество) состоит из 12-ти элементов. Этот факт еще раз подчеркивает полное равноправие звуков и тональностей в системе Оголевца…