Экспериментальный анализ шрути.

[Дина Д. Майер]

........ искусство Индии, особенно музыкальное, базируется, в первую очередь, на древних философско -религиозных системах Индии, в т.ч. на йогических знаниях о физическом теле и энергетической структуре человека. .... если не учитывать данные аспекты, любые исследования индийской музыки, будут иметь поверхностный характер ввиду непонимания причинности отличительных особенностей. .... ряд статей на сайте http://www.beauty-a.ru/?url=228 о звуке и музыке с точки зрения аюрведы. Написано понятным языком и достаточно "обзорно-компетентно".

... автор утверждает, что свара есть непрерывное звучание одной-единственной ноты.
... книга известных индийских учёных ..:Отсюда следует, что свара это не звучание одной-единственной ноты, а один из семи основных выразительных интервалов саптака. Интервал это не одна а две ноты. ...Помогите разобраться. Я запутался по Вашей рекомендации.

Очень важно понять, что в основе индийской музыки - особая философия, затем музыкальная "математика" используется для описания...Ваш ответ показывает, что вы как раз увлеклись "математикой"... а вначале или хотя бы параллельно нужно постараться разобраться в философии...

К примеру, говоря о "сваре" - это:
в первую очередь Свара йога - древнейшая наука о пране и биоритмах физического тела.
И лишь затем это еще и "тон", или "нота", как перевел автора переводчик в статье, как мне это понимается.
Индийские профи-музыканты изучают и йогу и древние трактаты о музыке. Вот, к примеру о некоторых из них:

Существование многовековых музыкальных традиций уже в Древности создало необходимость оформления стройной обобщающей теории. Первые попытки систематизировать элементы музыки относятся к ведийским песнопениям, когда называются семь тонов (свара), обозначены их функции и названия (по порядковому номеру), говорится об основах музыкального движения. Наиболее полную теоретическую обработку музыкальная система получила в древнейшем трактате о драматическом искусстве – Натьяшастре ( II в. до н.э.- III в. н.э.). Там описаны такие средства музыкальной выразительности, как шрути (микротон), свара (тон), грама (звукоряд), мургхана (лад), джати (определенная мелодическая модель). В трактате используется термин «сангита», обозначающий слияние вокальной и инструментальной музыки и танца. В более ранних текстах музыка определяется терминами «гандхарвам», «гандхарваведа», которые происходят от названия класса мифических небесных музыкантов – гандхарвов. Чем обширнее область знания, тем богаче представлена литература о нем. Канонических текстов, посвященных вопросам музыки, насчитывается порядка 70. Тем не менее, Натьяшастра оказала серьезное влияние на все последующие работы. Более поздние труды в подавляющем большинстве содержат извлечения из трактата, помимо собственных положений комментируют выкладки Натьяшастры.
или (из отрывка) книги В. Е. Еремеева "Чертеж антропокосмоса"
"В Индии, например, существовало учение о высшем звуке «Нада-Брахман», являющемся зародышем всего мироздания. В своем первичном, «неударенном» (анахата) состоянии он непроявлен, затем развертывается в видимый мир, представляющий из себя вибрации той или иной высоты. Звуковой диапазон — это только часть этих вибраций, но и он отражает в себе все основные мировые закономерности…
...Бхарата дает следующие названия 7 ступеней восходящей древ- неиндийской гаммы: шадджа, ришабха, гандхара, мадхьяма, панчама, дхайвата, нишада (принятые сокращения: Са, Ри, Га, Ма, Па, Дха, Ни). Индийская музыкальная система обладает одной важной чертой, отличающей ее от всех музыкальных систем мира. Помимо выделения в звукоряде 7 ступеней (свара) существует еще разделение октавы на 22 шрути (букв, «то, что услышано»). Шрути представляют собой организующиеся вокруг свар микротоновые зоны, определяющие фиксированные различия в высоте звука. Между сварами может находиться 2, 3 или 4 шрути, причем для каждого случая величина шрути различна. Поэтому звукоряд, составленный из них, является нетемперированным и неравномерным.
Как свары, так и шрути наделялись психоэмоциональными характеристиками. Известно, что воздействие на человека звука как энергетического явления, характеризуемого частотой, силой и тембровой напряженностью, вызывает не только соответствующие смены напряжений в психофизической области, но и изменения «психической» энергии. Но насколько правомерно говорить о конкретной связи музыкальных ступеней с теми или иными психическими проявлениями? Современная наука пока этого не знает.
Бхарата в «Натьяшастре» выделяет 8 эмоциональных состояний, соответствующих сварам: Ма и Па — веселье и любовь; Са и Ри — героизм, гнев, изумление; Га, Ни — печаль; Дха — отвращение, страх. Таким образом, структура звукоряда определялась древнеиндийскими психофизиоакустическими представлениями, согласно которым для каждого из 22 шрути в организме есть свой канал (нади). Но может, все-таки число 22 определяет какие-то структуры в организме?
По-видимому, его можно соотнести с хромосомным набором. У человека общее число хромосом равно 46. Из них: две половые хромосомы — мужская (Y) и женская (X) — и 44 парных. Таким образом, хромосомный набор имеет следующую структуру: Y + X + 22 пары. Эти 22 пары присутствуют в любой клетке организма. Каждая клетка выполняет свою особую функцию, что и отличает ее от других, но имеется нечто общее, что объединяет все клетки в единый организм — это хромосомный набор. Именно хромосомы как бы «связывают» клетки воедино, что, видимо, можно уподобить каналам-нади. Каждая хромосома имеет специфическую форму и размеры, которые существенным образом определяют ее назначение. Если составить последовательность из 2 половых и 22 парных хромосом в зависимости от квадратного корня их относительной длины, то получившиеся пропорции окажутся весьма схожими с пропорциями звукоряда из 22 шрути, причем половые хромосомы встанут на место «толчковых» ступеней… " и т.д. и т.п.

Только я не хочу выдавать себя за специалиста в области музыки Индии, мне гораздо интереснее изучать философско-религиозные системы. Но видя глубокий интерес к такой музыке в вашей теме, я просто взяла на себя смелость обратить ваше внимание на, с моей точки зрения, важный,но ускользающий в обсуждениях аспект.

[Дина Д. Майер]

В продолжение ответа на

... автор утверждает, что свара есть непрерывное звучание одной-единственной ноты.
... книга известных индийских учёных ..:Отсюда следует, что свара это не звучание одной-единственной ноты, а один из семи основных выразительных интервалов саптака. Интервал это не одна а две ноты. ...Помогите разобраться. Я запутался по Вашей рекомендации.

Вы сами можете посмотреть на сайте откуда я взяла одну из цитат http://www.anugamastudio.narod.ru/theory_music.html
о сваре - ноте-тоне
"Свара ( sva ra) также не вполне соотносится европейскому понятию тона. В текстах перечислены семь основных тонов: Са-Ри-Га-Ма-Па-Дха-Ни (садджа, ришабха, гандхара, мадхьямя, панчама, дхайвата, нишадха). К описанию тонов примыкает этимология их названий. Как то: «Поскольку Са порождается совокупностью (действий) шести (органов) – носа, горла, грудной клетки, неба, языка изубов, то она названа шадджа («рожденная шестью»)». Есть и такое описание, в котором звучания нот ассоциируются с голосами животных: «Павлин поет Са, чатака выводит Ри, козел кричит Га, журавль – Ма, кокила кукует Па, bheka кричит Дха, слон трубит Ни».
Са считается самым важным тоном (может быть соотнесена с нотой До в европейской музыке). Каждый музыкант ищет свою Са. Наставник, Гуру, часто не позволяет ученику приступать к изучению нового, пока не уверится, что тот правильно избрал для себя тон Са. Встречается мнение о том, что садджа – это тон, «порожденный шестью» остальными. Подобно тому, как белый цвет возникает от слияния семи входящих в спектр цветов, так Са заключает в себе остальные звуки и являет образ тона чистой гармонии. "

Как все сложно у них да? Но это настоящее искусство "музыкотерапии"...

[commator]

Очень важно понять, что в основе индийской музыки - особая философия, затем музыкальная "математика" используется для описания...Ваш ответ показывает, что вы как раз увлеклись "математикой"... а вначале или хотя бы параллельно нужно постараться разобраться в философии...
...

Выражаю глубокую печаль в связи с недавним уходом из жизни шримати Дипали Наг, соавтора индийской монографии о шрути. Именно шримати Дипали Наг предложила мне начать изучение индийской музыкальной культуры с упомянутой в названии темы монографии. Я безоговорочно принял её предложениe и никогда не пожалею об этом. Более того, моя благодарная память о матери и память о шримати Дипали Наг теперь тесно переплелись.

Центральная глава обсуждаемой здесь книги индийских исследователей, изданной непосредственно в Индии является выдающимся событием в истории мировой музыкальной науки. Она поэтому требует самого тщательного и всестороннего изучения.

Прежде всего хочется отметить, что статья представляет собой очень современную но глубоко проникающую в древнюю почву и потому достаточно надёжную опору для проведения дальнейших исследований по уточнению её предположений.

Я рад, что Вы решили принять участие в обсуждении книги.

... закончил для себя параллельный перевод на русский основной статьи монографии.

Бескорыстно вышлю его каждому, кто у меня его потребует через электронную почту.
Конечно с надеждой на высказывания по поводу статьи в этой теме.

[Математик]

То о чём пишет Оголевец, всё же имеет место.



На сайте со списком этих 12 нот есть дублированные западноевропейской нотацией все 10 семиступенных североиндийских таатов.

Можно убедиться, что вместе они сформируют именно тот набор, о котором пишет Оголевец, однако природу этого набора в северной Индии сегодня не в цепи квинт ищут, а в особенностях человеческого восприятия и осознавания музыки. Считается, что она должна быть приятной. Поэтому обольших числах, довлеющих в пифагорейских числителях/знаменателях и речи быть не может.

Используя ленинскую формулировку в приложении к данной теме скажу, что из всех источников для нас важнейшим является тот, который возник непосредственно в Индии, создан индийскими исследователями на основе индийских первоисточников по результатам индийских экспериментов, поставленных с привлечением авторитетных индийских исполнителей. Такова книга этой темы и в ней упоминаетя, что весь мир ищет объяснение феномену индийской музыки, но возникла лишь путаница. Были попытки прикладывать к шрути и пифагорейские интервалы.

В попытке разгрести то, что всем миром нагородили вокруг шрути, книга предложила гипотезу о том, что шрути должны быть приятными. Из этого последовало, что в числителях/знаменателях дробей могут быть числа не более 27. Это 3 в кубе. Значит если и может быть цепь квинт, то не более чем из 3-х звеньев.

Но ведь есть же мощный способ бороться с большими числителями и знаменателями дробей… Теория так называемых “цепных дробей” позволяет во многих случаях очень эффективно заменять дроби с большими числителями и знаменателями на дроби с гораздо меньшими числителями и знаменателями:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2/2.html

Можно надеяться, что “на слух” при такой замене ничего заметно не будет…
В. И. Арнольд демонстрирует эту методологию для случая числа “пи”:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2/2/1.html

[Математик]

Махараджа Сэр Суриндо Мохун Тагор.

Судя по книжке он почитаем в индийской музыкальной науке.
Я подозреваю, что он не совершенно другой, а один из главных источников распространения современных взглядов на альтерацию свар. Можно лишь констатировать, что со времени его высказываний об этом, подхваченных Оголевцем, ничего не поменялось.

Может, он был для индийцев чем-то вроде Римана нашего?

[commator]

Может, он был для индийцев чем-то вроде Римана нашего?

Может быть. Но может быть и так, что он читал западных теоретиков и пытался приспособить их идеи к индийской музыкальной практике. Во всяком случае он желал, чтобы Европе стала понятна индийская классическая музыка. В Сети пишут:

<<... В конце 19-го века раджа С. М. Тагор провозглашал, как богатый помещик из Бенгалии, кампанию в пользу индийской классической музыки. Он публиковал или предавал гласности различные работы по искусству и дарил коллекции инструментов для музеев в Европе. Рабиндранат Тагор был потомком этого семейства, как самый известный и гениальный универсальный ученый Индии, Нобелевский лауреат по литературе (1922) ...>>

<<... At the end of the 19th century Raja S.M. Tagore had proclaimed as a rich landowner from Bengale a campaign in favor of the Indian Classical Music. He published or let publish different art works and gifted collections of instruments to museums in Europe. Rabindranath Tagore has been descended from this family as India’s most famous and genius universal scholar and nobel prize winner for literature (1922) ...>>

Однако не всегда ясно, насколько близки к истине личные знания уважаемого человека. Не добавляют ли иногда авторитетные мнения серьёзных искажений в общественном представлении об истинном знании?

[commator]

Картинка со стр. 25
Вложение 39300

По поводу этой картинки очень любопытное наблюдение зафиксировано на стр. 24:

<<... Один интересный пункт на заметку из рисунка есть то, что, в общем, не только делаются соотношения, представляющее двенадцать нот [что] имеют МА больше, чем их окружающие, но они также показываются с некоторым свободным пространством с обеих сторон. Они, видятся, чтобы стоять четко отдельно ...>>

One interesting point to note from the figure is that, in general, not only do the ratios representing the twelve notes have MA larger than the surrounding ones but they also appear to have some free spaces on both the sides. They seem to stand distinctly apart.

Этот факт порождает мысль, что MA можно попытаться поставить в зависимость от ширины свободного пространства вокруг ноты. В первом приближении представляется, что чем шире пространство, тем выше уровень приемлемости.

...Теория так называемых “цепных дробей” позволяет во многих случаях очень эффективно заменять дроби с большими числителями и знаменателями на дроби с гораздо меньшими числителями и знаменателями:

http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2/2.html

Можно надеяться, что “на слух” при такой замене ничего заметно не будет…
В. И. Арнольд демонстрирует эту методологию для случая числа “пи”:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2/2/1.html

Может быть эта теория, или ДШБ, или их сочетание способны дать возможность автоматически выстраивать в заданной окрестности вокруг произвольной точки на числовой оси все рациональные числа с заданным верхним пределом значений числителя/знаменателя?

[Математик]

Может быть эта теория, или ДШБ, или их сочетание способны дать возможность автоматически выстраивать в заданной окрестности вокруг произвольной точки на числовой оси все рациональные числа с заданным верхним пределом значений числителя/знаменателя?

В определенном смысле “эта теория” и ДШБ -- это одно и то же.
Эта методология “наилучшей” аппроксимации дробей с большими числителями/знаменателями дробями с меньшими числителями/знаменателями хорошо звестна, нужно подумать только как в данном случае ее получше использовать.

Есть геометрические представления этой процедуры аппроксимации, например, на “звездном небе” Клейна:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/1/2.html

Или аналогичное представление у Кокстера:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/3/3.html

Или у Арнольда:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2/3.html

[commator]

В определенном смысле “эта теория” и ДШБ -- это одно и то же.
Эта методология “наилучшей” аппроксимации дробей с большими числителями/знаменателями дробями с меньшими числителями/знаменателями хорошо звестна, нужно подумать только как в данном случае ее получше использовать ...

Да, нужно подумать, потому, что на стр 30 есть ещё рисунок 2.4:



О нём на стр. 31:

<<... Рисунок 2.4 представляет три различных набора шрути полученых путем итераций описанных выше вместе с соответствующими MA. Распределение 66 шрути обнаруживает кластеры, разделенные вакантными районами. Интересно отметить, что полоски представляющие позиции 22 шрути находятся в этих вакантных участках. Можно заметить, что MA обычно увеличивается как число шрути уменьшаться. Фактически МА для 22 шрути показывает скачок по сравнению с 53 шрути. ...>>

Figure 2.4 presents three different sets of shrutis obtained through the iterations described above along with the corresponding MAs. The distribution of the 66 shrutis reveals clusters separated by vacant regions. It is interesting to note that the bars representing the 22 shruti positions are placed in these vacant areas. One may notice that MA generally increases as the number of shrutis decrease. In fact the MA for 22 shrutis show a jump compared to those for 53 shrutis.

Ранее было замечено, что 12 больших интервалов попадают своими границами в вакантные области распределения всех 137 возможных соотношений небольших чисел в пределах саптака.

Картинка со стр. 25
Вложение 39300

По поводу этой картинки очень любопытное наблюдение зафиксировано на стр. 24 ...

Теперь выясняется, что аналогичная ситуация наблюдается и для границ интервалов набора 22-х шрути со сравнительно большим МА в распределении 66-ти отфильтрованных соотношений из 137 возможных. Увеличивается вероятность существования связи между величиной MA ноты и шириной вакантного интервала вокруг её положения в саптаке.

Пока я думаю, что появление вокруг произвольной точки числовой оси большого количества близких ей соотношений сравнительно небольших целых чисел будет означать, что у неё небольшое значение MA и она плохо вписывается в тональность. Поэтому решение задачи об автоматическом отыскании всего подмножества таких рациональных чисел видится достаточно полезным.

[Математик]

В определенном смысле “эта теория” и ДШБ -- это одно и то же.
Эта методология “наилучшей” аппроксимации дробей с большими числителями/знаменателями дробями с меньшими числителями/знаменателями хорошо звестна, нужно подумать только как в данном случае ее получше использовать.

Есть геометрические представления этой процедуры аппроксимации, например, на “звездном небе” Клейна:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/1/2.html

Или аналогичное представление у Кокстера:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/3/3.html

Или у Арнольда:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2/3.html

Приведенные ссылки дают основу для построения “лучевой” реализации Дерева, в которой вершины Дерева моделируются лучами Клейновского “звездного неба”. Например, на 2-ом уровне Дерева:
http://www.px-pict.com/10/4/4/2.html

расположены 7 чисел, которым будет соответствовать 7 лучей на Клейновском “звездном небе” (я не включил сюда два “вырожденных” числа 0/1 и 1/0, которым на “небе” соответствуют координатные оси).

Если мы будем проходить указанные 7 чисел 2-го уровня Дерева в порядке их возрастания: 1/3, 1/2, 2/3, 1/1, 3/2, 2/1, 3/1, то это будет соответствовать вращению луча на “небе”. Кокстер:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/3/3.html#3

описывает этот процесс вращения луча применительно к последовательности Фарея (являющейся в общем случае некоторой подпоследовательностью Древесной последовательности n-го уровня). По поводу последовательностей Фарея см.:
http://mathworld.wolfram.com/FareySequence.html
---------------------------
Последовательности Фарея как раз и возникают из наложения пределов на величину числителя и знаменателя дроби, а именно, требуется, чтобы ни числитель, ни знаменатель дроби не превышали некоторого заданного целого числа.
---------------------------

“Лучевая” реализация Дерева может иметь преимущества перед его обычной реализацией в том, что становится возможным применить ко всем рассмотрениям положения уже развитой мощной теории, а именно – положения “геометрии чисел” Минковского.