Есть ли шансы у аксиоматического дедуктивного метода в теории музыки?

[Математик]

Может все не так уж и таинственно...

Aline Honingh
GROUP THEORETIC DESCRIPTION OF JUST INTONATION
http://www.soi.city.ac.uk/~sbbc197/p...s/UCM_full.pdf

Margo Schulter
Pythagorean Tuning - Just Intonation Context
http://www.medieval.org/emfaq/harmony/pyth5.html
------------------------

Вы же сами писали, что в основе лежит "Основная Теорема Арифметики":

И это тоже таинственно...

Не таинственно. Просто там есть одна тонкость. Обычно она формулируется как утверждение о том, что знаний только лишь о мультипликативной структуре натуральных чисел недостаточно для доказательства “Основной Теоремы Арифметики”. Нужно как-то принимать в расчет также и знания об о аддитивной структуре натуральных чисел:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/7/13/103b.html

После осознания этой тонкости положение “Основной Теоремы Арифметики” в фундамент теории Систем Чистой Интонации (ЧИПов) уже не кажется таинственным.

Любопытно, что эта тонкость была осознана уже в античности:
“Тем более удивительно, что в античной Греции, в которой рассматривались только целые рациональные числа, теория делимости была построена с безупречной строгостью. Эта теория — одно из наиболее выдающихся достижений греческой математики”:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/2.html

Тогда арифметические книги “Начал” Евклида служили основой для построения теории музыки:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0.html

[commator]

целые рациональные числа

Это есть что?

[Математик]

Это есть что?

Лучше сначала не обращать внимания. Но следует обратить внимание на основополагающий пассаж Платона, который делает все эти рассмотрения интересными именно с точки зрения теории музыки (цитирую по памяти из Гайденко):
“Если ты раздробишь единицу на мелкие части, ученые математики высмеют тебя…”

Об этом пассаже (с несколько другим переводом) есть также у Ван дер Вардена:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0/2.html

[commator]

“Если ты раздробишь единицу на мелкие части, ученые математики высмеют тебя…

Берём Вашу любимую струну, как единицу, и дробим на мелкие части. Получается натуральная скала.

Сегодня так делают многие и над этим учёные математики не смеются.

Платон это с юмором высказал?

[Математик]

Платон это с юмором высказал?

Не с юмором. Это действительно было существенным моментом применения той арифметики именно к теории музыки, на что особое внимание обращают авторы и здесь:
“Греки исходили из того, что единица E неделима, поэтому они говорили не о долях единицы , а об отношениях целых чисел , т. е. в сущности имели в виду пары целых чисел. На этом и было основано применение теории отношений к теории музыки: всякому музыкальному интервалу, т. е. паре звуков, ставили в соответствие отношение высот этих звуков, т. е. пару (A, B) целых чисел, измеряющих эти высоты звуков”
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html

Берём Вашу любимую струну, как единицу, и дробим на мелкие части. Получается натуральная скала.
Сегодня так делают многие и над этим учёные математики не смеются.

А так ли это хорошо, чтобы обязательно, во что бы то ни стало, именно дробить… Помните у Высоцкого?
И думал Будкеев, мне челюсть кроша (дробя):
"И жить хорошо,и жизнь хороша!"

Но с другой стороны:
Неправда, будто бы к концу я силы берегу, -
Бить человека по лицу я с детства не могу.
http://www.bards.ru/archives/part.php?id=15518

Так что, наверное, в чем-то прав был Платон.

[Математик]

Берём Вашу любимую струну, как единицу, и дробим на мелкие части. Получается натуральная скала.

Сегодня так делают многие и над этим учёные математики не смеются.

Платон это с юмором высказал?

Не с юмором. Это действительно было существенным моментом применения той арифметики именно к теории музыки, на что особое внимание обращают авторы и здесь:
“Греки исходили из того, что единица E неделима, поэтому они говорили не о долях единицы , а об отношениях целых чисел , т. е. в сущности имели в виду пары целых чисел. На этом и было основано применение теории отношений к теории музыки: всякому музыкальному интервалу, т. е. паре звуков, ставили в соответствие отношение высот этих звуков, т. е. пару (A, B) целых чисел, измеряющих эти высоты звуков”

Ключевое слово к пониманию здесь – это слово “измеряет”.
В комментариях у Мордухая-Болтовского:
“В подлиннике -- "измеряет", но ни в коем случае не "делит"”.http://www.px-pict.com/7/3/1/8/2/1.html

Поэтому нужно говорить не о “теории делимости”, а о “теории измеримости”. Не о “делителе”, а об “измерителе” и т. д.

[commator]

Представляется необходимой аксиома:

Основание интервала не выше его вершины.

[lerit]

Представляется необходимой аксиома:

Основание интервала не выше его вершины.

Основание интервала не ниже его вершины. Так точнее.

[murom]

Основание интервала не ниже его вершины. Так точнее.

такое бывает только с Примой. в остальных интервалах основание должно быть ниже вершины.
А вообще этот постулат можно рассматривать только с юмором. Как и с постулатом: основание горы должно быть ниже её вершины. И так при сравнении всех оснований ко всем их вершинам. Ну очень умное замечание. Остается вывести еще такие постулаты: верх выше низа, громадный больше малюсенького, черный темнее белого и т.д. - Кто больше?

[commator]

рассматривать только с юмором

Как насчёт множества с единственным элементом или пустого множества?