Теории Гуго Римана

[mitka]

Максимальные значения амплитуды достигаются, когда имеет место максимум модуля cos(2pi*(f1-f2)/2*t), а модуль cos(2pi*(f1-f2)/2*t) есть периодическая функция с периодом не 2/(f1-f2), а 1/(f1-f2), что соответствует частоте f1-f2, а не (f1-f2)/2 .

Да, насчёт модуля я не учёл. Спасибо.

[vcirkov]

Но тут мы вторгаемся в более глубокую проблему-состоит ли реально звук струны из суперпозиции натуральных обертонов.То,что эти частичные тоны можно выделить,как флажолеты(и то большой вопрос,флажолет имеет тот же натуральный ряд обертонов,начиная с своего основного тона,т.е. это никакой не частичный тон,это просто другой режим колебания струны)-это не аргумент в пользу их независимого существования в обычном звуке.То,что реально-это сложная форма звуковой волны.А анализ Фурье-это способ более удобно сравнить одну сложную форму с другой.

Очень ценное наблюдение, которое объясняет суть явления. Ведь и унтертон извлекается, по сути, тоже как частичный звук, хотя им и не является. Мы четко слышим именно унтертоновую октаву и квинту и, кажется, еще один или два следующих унтертона.

А не означает ли,что чрево из этого скрипящего шума выделяет резонансным способом чистый тон?Т.е. это никакой не унтертон в смысле комбинационного,а просто тон объёмного резонатора,созданного полостями в теле.

Это явно не шум. Возможно, колебания корпуса, которые случайно совпадают с унтертонами. Но как быть тогда с горловым пением, где октава извлекается на любой удобной для этого высоте.

[DJ Хруст]

Глинка родился уже после заражения русского музицирования полутоновым вирусом 12-ти равных делений октавы (12РДО).
...
Вину за начало, развитие и устойчивость этой вредной моды я возлагаю на темперацию системы 12РДО. Нуждой в подгонке исполнений к чрезмерно повышенным терциям системы 12РДО подпитывается и стремление к повышению вводного тона.
...
Уверен, вся музыка Глинки будет прекрасно звучать если на основе правильного анализа исполнить её в системе чистой интонации так, чтобы вводный тон именно всегда совпадал с указанным Риманом.

Полностью согласен с этим сообщением, за исключением двух «но».

1. Позволю себе уклониться от «аксиологической» дискуссии, т. е. от худжественной оценки того или иного строя. Для меня это вопрос из серии, какой цвет лучше, красный или зелёный. Если вводный тон в наше время и во время Глинки побуждает исполнителей играть его уже, чем 16:15 с тоном разрешения, то мы просто должны учесть это как факт, хотя когда-то, возможно, было по-другому.

2. Всё-таки, на мой взгляд, «унтертоны» Римана остаются его идеологической конструкцией, в то время, как обертоны существуют реально. Вернее, лучше сказать, что они выялвяются анализом Фурье любого колебания, отличающегося от синусоиды, в то время, как унтертоны — не выявляются.

[vcirkov]

Позволю себе уклониться от «аксиологической» дискуссии, т. е. от худжественной оценки того или иного строя. Для меня это вопрос из серии, какой цвет лучше, красный или зелёный. Если вводный тон в наше время и во время Глинки побуждает исполнителей играть его уже, чем 16:15 с тоном разрешения, то мы просто должны учесть это как факт, хотя когда-то, возможно, было по-другому.

Этот вопрос о вкусовых предпочтениях уже выяснили в другой теме. Так что же Вы: пишите, что "вопрос из серии, какой цвет лучше", а сами давеча приводили Глинку в подтверждение как бы закона тяготений.

[DJ Хруст]

Этот вопрос о вкусовых предпочтениях уже выяснили в другой теме. Так что же Вы: пишите, что "вопрос из серии, какой цвет лучше", а сами давеча приводили Глинку в подтверждение как бы закона тяготений.

Уважаемый vcircov, Глинку я привёл просто в доказательство того исторического факта, что высокая note sensible существует уже как минимум около 200 лет. Нам может нравится это или нет, но мы просто должны помнить об этом

[DJ Хруст]

Нет, не это даёт мне повод, а вот это: Пусть от гипотетической обертоновой скалы остались только 2-й и 7-й обертоны. Какие комбинационные тоны (КТ) мы можем слышать?

1. Для любой громкости наиболее вероятна слышимость КТ от частоты 2f₁ - f₂; он займёт пустующую высоту 3-го обертона.
2. Для достаточно высокой громкости должен быть ещё услышан КТ от частоты f₂ - f₁ на пустующей высоте 5-го обертона.

Среди самых общепризнанных разностных КТ не находится такого, что занял бы пустую высоту 1-го обертона. Между тем для любой громкости на высоте 1-го обертона должен какой-то тон звучать, потому что наибольшим общим делителем номеров 2 и 7 может быть только 1. То что озвучит пустую высоту 1-го обертона будет 7-м унтертоном 7-го обертона и 2-м унтертоном 2-го обертона.

Проверил. Сделал простенький аддитивный синтезатор. Оставил только 2-й и 7-й обертоны [отсчитываю номера от основного тона] и пощёлкал по разным нотам. Никакого основного тона не услышал. Услышал звук октавой выше (т. е. тот самый второй обертон).

Попробуйте: Simple-additive.maxpat.zip (чтобы запустить файл надо установить Max Runtime для Win или для Mac).

[vcirkov]

Уважаемый vcircov, Глинку я привёл просто в доказательство того исторического факта, что высокая note sensible существует уже как минимум около 200 лет. Нам может нравится это или нет, но мы просто должны помнить об этом

Как можно помнить о том, что и так является образовательной "нормой". Для кого-то нормой является длинная шея, которую растягивают кольцами. Не буду перечислять. Мастера интонации не следуют этой норме. Для них норма - интонационный баланс.

[DJ Хруст]

То,что эти частичные тоны можно выделить,как флажолеты(и то большой вопрос,флажолет имеет тот же натуральный ряд обертонов,начиная с своего основного тона,т.е. это никакой не частичный тон,это просто другой режим колебания струны)...

Ну, это просто объясняется математически.

Натуральный звукоряд фрактален в каждой своей точке: он содержит все натуральные звукоряды всех своих гармоник
(и, следовательно, сам является частью всех других натуральных звукорядов, в которых его основной тон является гармоникой).

То есть, каждая вторая гармоника является одновременно «гармоникой» гармоники № 2. Каждая третья — «гармоникой» гармоники № 3 и т. д.
(строго говоря, это утверждение неверно, так как у гармоники не бывает других гармоник; это я просто упрощённо выразился).
То есть,

Каждая гармоника № mn натурального звукоряда A является одновременно гармоникой № n натурального звукоряда M, основным тоном которого служит гармоника № m ряда A
(m, n — натуральные числа).

То есть флажолет — это, как Вы справедливо указали, не только один обертон, но целый натуральный звукоряд, включающий некий обертон и все его обертоны. Но все эти обертоны являются также обертонами «материнского» ряда.

Физически это объясняется тоже достаточно просто. Каждый обертон издаётся колебанием некой целой части струны. «Целая часть» означает, что струна делится на целое число частей — равное номеру обертона,* — и каждая такая часть колеблется простейшим образом — выгибаясь дугой то вверх, то вниз. Обратите внимание, что в местах деления струны на части (то есть там, где дуги «смыкаются») данная мода не колеблется вообще. То есть точки деления струны на n частей — это минимумы колебаний моды n.

Техника флажолета использует эту особенность: на струну ставится палец в точку деления струны на n частей. Таким образом приглушаются все обертоны, кроме тех, которые в этой точке и так имеют минимальную амплитуду колебания, т. е. обертон номер n. Но также в этой точке имеют минимальное колебание все обертоны с номерами mn (m — любое натуральное число).



(щёлкните для просмотра)


________
* Номера обертонов отсчитываются от основного тона, т. е. основной тон условно считается обертоном #1, октавный — обертоном № 2 и т. д.

[DJ Хруст]

Господа, цитаты ниже относятся уже, скорее, к области философии )

Но тут мы вторгаемся в более глубокую проблему-состоит ли реально звук струны из суперпозиции натуральных обертонов.
<...>
То,что реально-это сложная форма звуковой волны.А анализ Фурье-это способ более удобно сравнить одну сложную форму с другой.

Вопрос тогда сводится к тому, что есть реальность. Реальность — штука сложная Вопрос разницы между вещью в себе и вещью для нас не разрешён до сих пор.
Анализ Фурье сложной волны выявляет «реально существующие» обертоны или это лишь способ представления? — для меня как-то этот вопрос лишён противоречия. Что значит тогда «реально существующие»?
Поскольку в наше ухо встроен «анализатор Фурье» — орган Корти, то как «вещь для нас» обертоны «реально существуют». А уж «существуют» ли они «вообще» — по-моему, вопрос, скорее, для софистов.

Преобразование Фурье - разумеется, условность, которая работает. Примерно так же, как работают законы Ньютона. Это всё наглядно, но приблизительно (=неистинно). Искривлений Эйнштейна мы не видим, но они всё же есть.

Физика Эйнштейна не отменяет ньютоновскую, а, скорее, включает её в себя.
Все математические модели идеализированы (и, следовательно, по-вашему, «=неистинны»). Но они верны «в своём поле истины».

[DJ Хруст]

Уважаемый Filin, у Вас, на мой взгляд, наблюдается путаница между двумя разными явлениями — обертонами и комбинационными тонами.

Если кратко сформулировать традиционными словами то, что пытается сказать Кунин, то получится следующее:
— два или более отдельных тонов могут образовывать между собой комбинационные тоны (он их называет «интервальными унтер- и обертонами»),
— обертоны одного единственного тона, а также разных тонов тоже могут образовывать между собой комбинационные тоны.
— обертоны возникают не только в самом звуке, но и в результате нелинейности слуховой системы, которая каждой частоте добавляет «свои» обертоны и комбинационные тоны (что не одно и то же).


Попробуем разобраться.

Это Вы ещё более запутываете терминологию, не говоря уж о выражении "играть всеми красками"; это ещё что за зверь?

Дорогой Filin, я взял это выражение в кавычки; понятно же, что это просто литературная идиома. В данном случае это выражение просто означает «проявляются».

Взаимодействие между тонами может быть любым. Например, в коде "Знаков на белом" Денисова в коде беззвучно берётся хроматический кластер А₁-А. Это значит, что все звуки, начиная с малой октавы, непременно будут обертонами одного из беззвучно взятых и создадут эффект типа эха.

Здесь (как и в op. 11 Шёнберга, Kinderspiel Лахенмана и много где ещё) используется эффект резонанса на обертоне. С комбинационными тонами это явление не связано.
ОК. Но что же Вы пишете дальше —

Дмитрий совершенно правильно указал, что у Кунина речь идёт о созвучиях (любых), и с этой точки зрения кластер является точно таким же созвучием, как и трезвучие либо прочий аккорд...

А вот тут уже идёт речь о комбинационном тоне. Комбинационный тон не имеет отношения к резонансу, это просто другое явление. Тот пример резонирующих струн который Вы привели, не имеет отношение к комбинационным тонам (которые Кунин, напомню, к нашей общей путанице называет «интервальными унтер- и обертонами»). Ведь тут звуки этого беззвучного кластера вступают во взаимодействие не друг с другом, а с другими нотами, которые играет пианист, и, поскольку эти ноты оказываются октавным обертоном одной из нот этого кластера, резонирующая струна звучит обертоном, максимально близким к взятому звуку. То есть в каждом отдельном взятии звука участвуют две ноты — та, которая берётся и та, которая резонирует.

Из графика это следует прямо, и в данном случае всё равно, сложение это или умножение.

Вот, видимо, здесь собака и зарыта.
На самом деле при чистом сложении двух тонов никаких комбинационных тонов не возникает. То есть

F_(a(t)+b(t)) = F_(a(t)) + F_(b(t)),

где a(t), b(t) — два колебания, а F...— их преобразования Фурье.
Иными словами — если два колебания складываются, то их спектры тоже складываются.

Но поскольку наша слуховая система нелинейна, она не только «гармонизирует» синусоиду, но и вносит интермодуляционные искажения. Впрочем, модуляционные искажения могут возникнуть и в самом инструменте или другом вторичном резонаторе. Простейший пример модуляции — перемножение двух сигналов. Это происходит в кольцевом модуляторе, потобный процесс происходит при извлечении мультифоник на духовых и пр. При перемножении вступает в силу другой закон:

F_{(a(t) x (b(t))} = F_(a(t)) * F_(b(t)),

где знак * обозначает свёртку.
То есть, если два колебания перемножаются, их спектры сворачиваются.
Результатом этого служит то, что получающийся спектр содержит все частоты исходных спектров, а также все суммы и разности всех составляющих его частот. При других видах модуляции со спектрами двух сигналов происходят похожие вещи.
Но образование этих «боковых частот» (это и есть комбинационные тоны) никак не связан с явлением натурального звукоряда и обертонов. Это просто другое явление.

И описано оно, кстати, задолго до Кунина. Например, здесь:

Veale P., Steffen-Mahnkopf C.-S., Motz W., Hummel T. The Techniques of Oboe Playing. Die Spieltechnik der Oboe. Baerenreiter. Kassel
Benade A. Fundamentals of musical acoustics. London. Oxford 1976, p. 559-563
Backus J. Multiphonic in the woodwinds instruments. The Journal of the Acoustical Society of America, vol. 62, issue S1, p. S43
Schumacher R. T. Ab initio calculations of the oscillations of a clarinet. NY. The Journal of the Acoustical Society of America. 1981

Другое дело (чего не учитывает Дмитрий), что для Кунина и каждый звук является мини-созвучием и включает в себя собственные обертоны, которые взаимодействуют между собой, когда звучит комплекс звуков, и места их взаимодействия отмечены узлами.

Я, кстати, тупо никак не могу понять, что собственно так красиво изображено на этом графике?
Что означают лучи, расходящиеся от звуков квинты до–соль?


P. S. На валторне, переключённой в строй B, можно сыграть основные тоны B₁, A₁, As₁.