Физические вопросы для скрипичных мастеров

[murom]

Все бы видели, что колебания этого "маятника" (раскрашенного участка струны) очень похожи на колебания анкера и что никакой синусоидальности в его колебаниях нет.

Это смотря какой длины маятник рисовать. Например, если красная линия, показывающая маятник, будет короче самой маленькой гармоники, присутствующей в струне, то эта линия будет синусоидальной. А если больше, то меньшие моды самых маленьких гармоник искривят эту линию.
А про анкер и не пишите больше, т.к. он не имеет собственной частоты колебаний - чистой воды вынужденные колебания. И даже намека на автоколебания нет.
Анкер не имеет пружины, а значит его движения (а не колебание) полностью подчиняется колебанию кругового маятника, который и двигает анкер. Уберите круговой маятник и зубчатое колесо, оставьте только анкер и толкните его - он будет просто вращаться на своей центральной оси, как пропеллер. Никаких колебаний не предвидется. Струна же упруга и сама по себе вибрирует по внутренним законам, независимо от того, в какую систему она вовлечена: свободные колебания, автоколебания или вынужденные колебания.
Это я Вам как человек, который много ремонтировал часов с анкерным механизмом, говорю.

[Роман Н]

Это смотря какой длины маятник рисовать. Например, если красная линия, показывающая маятник, будет короче самой маленькой гармоники, присутствующей в струне, то эта линия будет синусоидальной.

А давайте отметим этот маятник не линией, которая "короче самой маленькой гармоники", а точкой - короче точки уж точно ничего нет. И ни одна гармоника, даже самая маленькая, не окажется "длиннее" точки. Правда в этом случае будет невозможно говорить о синусоидальности или несинусоидальности линии, зато появится возможность описать закон движения данного элементарного участка струны некоторой периодической функцией. Если эта функция будет иметь вид f(t)=Asin(wt+фи), то отдельно живущая гармоника находится в указанной Вами точке (середине струны). Но глядя на замедленное видео, я не нашел на струне ни одной точки, движение которой было бы синусоидальным.

А про анкер и не пишите больше, т.к. он не имеет собственной частоты колебаний

Я все таки напишу, поскольку имею небольшой опыт общения с часами. В некоторых моделях ходиков анкер жестко соединен с маятником в одно целое и говорить о том, что эта деталь не имеет собственной частоты колебаний, я бы не решился. А вот то, что колебания такой штуковины не являются синусоидальными, должно быть очевидно любому восьмикласснику.

[Walie]

Amateur & Роман H, про биения.
Тут нужен другой анкер.
Фирма "Тождество" выпускает неплохие тригонометрические анкеры. У них неплохой выбор и доступные, примерно одинаковые цены. Можно заказать, например, вот этот :
sin(a)+sin(b) = 2*cos((a-b)/2)*sin((a+b)/2),
создать ООО "Биение" и попользовать клиентуру нижеописанным способом.

Сформируем образ : несущая sin((a+b)/2) модулируется сигналом cos((a-b)/2).
Напишем случки во времени : a=ω1*t, b=ω2*t; ω=ω2, ω1=k*ω -> a=k*ω*t, b=ω*t,
и финальное порно : ∑ = [sin(k*ω*t) + sin(ω*t)]/2 = cos((k-1)/2*ω*t)*sin((k+1)/2*ω*t)
S1 = sin((k+1)/2*ω*t) - несущая
S2 = cos((k-1)/2*ω*t) - модулятор

Чтобы смотрелось ещё лучше, проведём небольшой евроремонт в виде нормировки к частоте модулятора :
Ω = (k-1)/2*ω
∑ = cos(Ω*t)*sin((Ω + ω)*t)
S1 = sin((Ω + ω)*t) - несущая
S2 = cos(Ω*t) - модулятор

Понятно, что при Ω, небольших по сравнению с ω, модуляция отлично интерпретируется биениями. Но такие фокусы делают все. Мы же привлечём покупателя дополнительных фишками.
Для конкретики посмотрим, что происходит при квинтовом отношении частот, где :
k = 1.5, а Ω = (k-1)/2*ω = 0.25*ω

Для удобства вновь нормируем к модулятору и даём небольшой сдвиг ∆ω, имея :
S1 = sin(5*Ω*t + ∆ω*t) - несущая
S2 = cos(Ω*t) - модулятор
Преобразуем несущую к виду, где наиболее низкая частота ∆ω представляет из себя новую модулирующую :
sin(5*Ω*t + ∆ω*t) = sin(∆ω*t)*cos(5*Ω*t) + cos(∆ω*t)*sin(5*Ω*t)
Домножаем на S2 и группируем в нужное. Чтобы меньше матюкаться латинскими буквами, напишу окончательный вид :
∑= cos(∆ω*t)*sin(4*Ω*t)
+ cos(∆ω*t)*sin(6*Ω*t)
+ sin(∆ω*t)*cos(4*Ω*t)
+ sin(∆ω*t)*cos(6*Ω*t),
откуда хорошо видно, что работают 4 модулятора.
Здесь 4Ω - например, опорное "Ля", 6Ω - чистая квинта "Ми", а ∆ω - отклонение от натурала.
Например, для нот выше, взятых в темперированном строе, частота биений будет :
660 - 440*2^(7/12) ≈ 0.745 Гц
Правда, модуляторы - смесь ортогональных пар. Поэтому общий результат будет неглубоким, и биения слышны куда хуже, чем в унисоне.
При отклонениях в интервалах k=4/3 - модуляция хуже, чем у квинты, 5/4 - ещё хуже, а 6/5 совсем дохло.
И для октавных "синусов" (k=2) кухня та же, но результат глубже, чем квинтовый - биения слышнее.
Но вообще, скорее всего, на такие биения внимание обращается только тогда, когда интервал хоть как-то плавает. Статика же должна быть гораздо менее бьющая на слух.
"Наши биения бьют аккуратно, но сильно".

[murom]

А давайте отметим этот маятник не линией, которая "короче самой маленькой гармоники", а точкой - короче точки уж точно ничего нет. И ни одна гармоника, даже самая маленькая, не окажется "длиннее" точки. Правда в этом случае будет невозможно говорить о синусоидальности или несинусоидальности линии, зато появится возможность описать закон движения данного элементарного участка струны некоторой периодической функцией. Если эта функция будет иметь вид f(t)=Asin(wt+фи), то отдельно живущая гармоника находится в указанной Вами точке (середине струны). Но глядя на замедленное видео, я не нашел на струне ни одной точки, движение которой было бы синусоидальным.

Роман, точку нельзя, т.к. нам нужно не движение точки в некотором пространстве, а поворот струны вокруг этой точки по принципу кругового маятника. Я приводил мультик с таким маятником. Вот про это я и говорил.

Я все таки напишу, поскольку имею небольшой опыт общения с часами. В некоторых моделях ходиков анкер жестко соединен с маятником в одно целое и говорить о том, что эта деталь не имеет собственной частоты колебаний, я бы не решился. А вот то, что колебания такой штуковины не являются синусоидальными, должно быть очевидно любому восьмикласснику.

Роман, в данном случае анкер - это просто часть маятника и я про такой тоже знаю. Но Аматор приводил другой вид анкера, который не связан крепко с маятником, а просто находился между маятником и колесом зубчатым. Вот в том случае про анкер и говорить нечего. В Вашем случае нужно разбирать не сам анкер, а именно маятник. Вот и всё. А маятник - это очень даже хороший пример для анализа. Кстати, в том случае, который привел нам Аматор, тоже нужно рабирать колебания маятника, приводящего в движенгие анкер, а не сам анкер. Вот такие вот пироги.

[murom]

То есть, по Вашему представлению в струне существуют отдельные участки, которые колеблются по синусу, каждый с частотой какой-либо гармоники?

Я бы говорил не про участки струны, а про некий круговой маятник, который находится в узле колебаний. А вот длину этого участка я бы даже не рассматривал - просто круговой маятник с некоторой энергией внутри (как пружина в реальном круговом маятнике). И вот это вращение маятника может быть синусоидально. А почему бы и нет? Но я бы не переводил здесь разговор именно на движение части струны - только про энергию в центре узла, угол поворота в нем (что-то типа амплитуды будет), и частоты таких поворотов в герцах.

[murom]

И для октавных "синусов" (k=2) кухня та же, но результат глубже, чем квинтовый - биения слышнее.
Но вообще, скорее всего, на такие биения внимание обращается только тогда, когда интервал хоть как-то плавает. Статика же должна быть гораздо менее бьющая на слух.
"Наши биения бьют аккуратно, но сильно".

При настройке ф-но, когда я слушаю биения в разных интервалах, они все бьют аккуратно и точно, независимо от интервала первых гармоник. Плавающие биения возможны только при игре на скрипке, когда скрипач вибрирует слегка двойные ноты, например: открытую струну и на другой струне пальцем. Но здесь бьют в ухо не только биения, но и изменение высоты тона одной их нот.

[Walie]

murom, да не... настройка музыкальных инстументов - это отслушивание биений, образованных сложным звуком. Там, разумеется, много чего слышно хорошо.
А выше я написал, как бьёт сумма просто чистых синусов, далёких от унисона. Вот это слышно гораздо менее ярко.

[murom]

murom, да не... настройка музыкальных инстументов - это отслушивание биений, образованных сложным звуком. Там, разумеется, много чего слышно хорошо.
А выше я написал, как бьёт сумма просто чистых синусов, далёких от унисона. Вот это слышно гораздо менее ярко.

На практике как-то принято отделять биения между расстроенным унисоном и разностным тоном между большими интервалами. Я считаю, что природа и первых, и вторых одна. Но вот где поставить границу между биениями и разностным тоном?

[murom]

Ваше объяснение не совсем понятное и я попозже попрошу прояснить некоторые момены. Но сначала два вопроса:
1. такие "круговые маятники" существуют отдельно для каждой гармонической составляющей в спектре струны или нет?
2. Сколько таких "маятников" существует для каждой гармоники? Например для 2,3,4,5 ... n.
Конечное количество можете выбрать сами. Только ответьте сразу на оба, чтобы мы не теряли время.

Аматор, я думал, что Вы запомнили мою анимашку:

Красный цвет - это маятник для второй гармоники, а зелёный - два маятника для третьей гармоники.
Если бы я нарисовал много гармоник, то поместил бы во всех узлах каждой гармоники по маятнику одного цвета, соответсвующему этой гармонике.
Итак, для 2-й гармоники 1 маятник;
для 3-й гармоники 2 маятника;
для 4-й гармоники 3 маятника;
для 5-й гармоники 4 маятника;
и т.д.
Более подробно свои идеи я изложил вот здесь:
http://www.forumklassika.ru/entry.php?b=3865

[murom]

Нет, я их не смотрю. Это Ваше представление вымышленного процесса, а сейчас мы обсуждаем представление реального колебания струны. В первом случае Ваша фантазия ничем не ограничена и мне не интересна (мне не интересны упражнения в графике), а во втором Вы не можете выйти за рамки опыта и уже существующих знаний.Вы вольны выбирать о чём говорить, но если Вы говорите не о точке на физическом теле, которую мы теоретически можем представить не имеющей размеры (хотя на практике и это не выполнимо), то всё превышающее по размеру точку будет иметь конечные размеры (участок струны). Поэтому обозначьте размеры такого маятника/участка? Иначе Ваши "круговые маятники" не имеют физического представления в колебаниях реальной струны.

Аматор, Вы противоречите сами себе. С одной стороны Вы спрашиваете мое мнение о колебаниях, с другой - не смотрите наглядные примеры моих объяснений. Это Ваше право - не смотреть и не принимать их во внимание. Но тогда и не задавайте мне вопросы, т.к. именно картинками я и люблю все объяснять. Выясняйте свои вопросы с кем-то другим, кто пользуется другими методами, которые Вам нравятся.
Что же касается вашего последнего вопроса о размере кругового маятника, то его нельзя назвать в миллиметрах. Это некая короткая линия, которая достаточна для того, чтобы говорить об угле разворота вокруг узловой точки. Схематичное объяснение принято в вопросах акустики. И Вы видели в интернете множество таких картинок, которые рисовали именно с преувеличением, чтобы было наглядно все видно.
Я даже в дневниках приводит пример, взятый с сайта одного универа, не совсем точного мультика по возбуждению струны симычком с последующим объяснением и другим рисунком. Так принято во всем мире и всем все понятно без особых уточнений в миллиметрах, ньютонах и килоджоулей.