Моделирование скрипичных форм: циклоиды, клотоиды или кривые Безье?

[Искатель]

К вопросу о том, почему циклоидный и клотоидный методы геометрического объяснения форм Страдивари не пригодны для геометрического моделирования новых форм и почему для подготовки новых форм важен только сегментный метод Безье.
Вашему вниманию представляются три иллюстрации:
1 – Антонио Багателла. Падуя, 1786.
2 – Симоне Фердинандо Саккони. Кремона, 1972.
3 – Сергей Витальевич Муратов. Сидней, 2000.

[Искатель]

В первых двух случаях (см. Миниатюры) использована циклоида
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D6%E8%EA%EB%EE%E8%E4%E0
В третьем (см. Изображение) – клотоида
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EB%EE%F2%EE%E8%E4%E0
Оба метода имеют сходство – чрезмерно усложненное геометрическое построение. Так как названные схемы построения смоделированы под конкретное описание тех или иных форм А.Страдивари, то к построению новых форм это относится лишь отчасти: метод Багателла и Саккони – через изменение масштаба изображения, а метод Муратова – изменение опорных точек компьютерного построения клотоидами. Первый метод натурален (циркуль и линейка), но ограничен (жесткая не меняющаяся схема). Второй метод почти не ограничен (изменения опорных точек можно менять почти как угодно), но ненатурален (виртуальное построение в киберпространстве). С.В.Муратов: «однозначно можно сказать, что ни А.Страдивари, ни другие мастера не использовали клотоиду тем способом, которым пользовался я. Они просто не могли ее начертить». Таким образом, клотоидный метод пригоден только для геометрического объяснения форм А.Страдивари, но непригоден ни для корректной реконструкции контура этих форм (без компьютерных программ метод не работает), ни для построения новых форм, отличающихся от форм А.Страдивари (последнее замечание относится и к циклоидным схемам).
С.В.Муратов: «Используя метод, который я применил при анализе скрипок итальянских мастеров, мы построим собственную модель, которая будет отличаться от уже известных нам инструментов, но сохранит основной принцип моделирования». Итог такого построения – почти точная копия формы PG 1689, чем доказывается непригодность клотоидного метода для проектирования новых скрипичных форм.

[Искатель]

Циклоида и клотоида представляют собой частные случаи кривых Безье (в отечественной традиции – поликлотоиды) – линии, которые принимает изогнутая струна
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%F0%...C1%E5%E7%FC%E5
Сегментный метод Безье не столь геометрически строг, как рассмотренные выше, но полностью соответствует теории о выстройке. Кривая Безье (струнная линия) может пройти через две точки бесконечным числом возможных вариантов, поэтому выбор конкретного решения осуществляется по художественному усмотрению лютьера (этим, в частности, обусловлено различие верхнего овала форм S 1703 и P 1705 – при разной длине выстроечной линии – кривой Безье – получается разная геометрия контура). Таким образом, аутентичным способом проектирования скрипичных форм следует признать струнно-сегментный метод Безье. При его использовании важны опорные точки и степень кривизны выстроечной линии. Общий смысл – подбор нужной кривизны (по усмотрению мастера) между опорными точками.
Пример использования струнно-сегментного метода Безье приведен в книге С.В.Муратова (правда, без указания опорных точек) – см. иллюстрацию.

[Искатель]

Сколько опорных точек нужно для скрипичного контура? Сколько сегментов кривых Безье следует использовать?
По методу Саккони нужны 24 дуги, по методу Муратова – 14 клотоид. Рассмотрим обе схемы более детально с позиции определения опорных точек контура.
Верхний овал формы с клёцем до верхних уголков. У Саккони 5 дуг, у Муратова 3 клотоиды. Объективно необходимо наличие 5 опорных точек контура – верхняя точка оси, две точки максимальной ширины овала, две точки верхней линии верхних уголков. Однако в построении Саккони и Муратова использованы ещё две точки в районе краев верхнего клёца (сопряжение дуг или клотоид) – эти точки в разных построениях почти совпадают, координаты этих точек не ясны.
Нижний овал формы с клёцем до нижних уголков. У Саккони 5 дуг, у Муратова 3 клотоиды. Объективно необходимо наличие 5 опорных точек контура – нижняя точка оси, две точки максимальной ширины овала, две точки нижней линии нижних уголков. Однако в построении Саккони и Муратова использованы ещё две точки (сопряжение дуг или клотоид) – эти точки в разных построениях занимают разное положение, координаты этих точек не ясны.
Каждый эс формы (между уголками) у Саккони вмещает 3 дуги, у Муратова 2 клотоиды. Объективно необходимо наличие 3 опорных точек контура – на линии минимальной ширины талии, линии низа верхних уголков, линии верха нижних уголков. У Муратова сопряжение клотоид в районе линии минимальной ширины талии, у Саккони – в других точках, координаты которых не ясны.
Моделирование уголков в обоих методах осуществляется с помощью двух дуг/клотоид на один уголок, при этом дуги/клотоиды из-за малой величины практически совпадают. Для моделирования объективно необходимы точки углов.
Таким образом, в обоих методах есть важные не проясненные моменты – координаты опорных точек контура на сопряжении кривых.
При использовании струнно-сегментного метода Безье по мнению Искателя вполне возможно ограничиться объективно необходимым количеством точек – 20 точек для полного контура, из них 16 точек формы.

[Денис Шульман]

Я пробовал гнуть ивовую веточку над патроном с клотоидами Муратова, кривая очень похожа. Напряжение можно менять в зависимости от толщины, я думаю так Страдивари и делал.

[Искатель]

Итак, по 20 опорным точкам полного контура формы (формы с вложенными к нее шаблонами уголков и клёцев) можно установить геометрический каркас формы. На последующем этапе моделирования останется только соединить эти 20 точек сегментами кривых Безье (изогнутыми в определенной степени струнами).

[Искатель]

Я пробовал гнуть ивовую веточку над патроном с клотоидами Муратова, кривая очень похожа. Напряжение можно менять в зависимости от толщины, я думаю так Страдивари и делал.

А можно гнуть не веточку, а струну (например, скрипичную Ре), и это будет кривая Безье. Я тоже думаю, что Страдивари так и делал. Максимально простой и художественный метод. Да, эти линии похожи на клотоиды, но это не клотоиды по той простой причине, что для того, чтобы описать такую линию, нужны фрагменты нескольких клотоид. Например, от верхней точки оси до максимальной ширины верхнего овала (две точки) можно проложить одну струнную дугу. По Саккони для этого отрезка надо две дуги циркуля, по Сергею Витальевичу - две клотоиды. По Безье хватает одной дуги изогнутой струны.

[murom]

К вопросу о том, почему циклоидный и клотоидный методы геометрического объяснения форм Страдивари не пригодны для геометрического моделирования новых форм и почему для подготовки новых форм важен только сегментный метод Безье.

Если струна - это наиболее вероятный инструмент при моделировании скрипки Страдивари, то сегодня, при наличии компьютера, легче все делать клотоидами. А клотоиды можно менять и по размерам, и по разворотам, чтобы чертить скрипки. Можно и опорные точки менять и многое другое, что на компьютере очень легко. А вот чертить циркулем можно только для копирования уже известной формы. Когда еще можно использовать циркуль, например: мастер от руки начертил скрипку, но линии получились не очень хорошие. Тогда можно взять циркуль, эмпирически найти подходящую точку и прочертить эти кривые красивее.
Но это не серьезное занятие.
Я предпочитаю или древний способ всех мебельщиков (включая лютьеров) - струну гнуть, или современный способ: на компьютере действовать клотоидой. Кому что ближе и интересней. Нельзя отвергать оба способа.

[Искатель]

Если струна - это наиболее вероятный инструмент при моделировании скрипки Страдивари

Ну так а мы чем занимаемся? Мы ведь все – ученики этого великого мастера

сегодня, при наличии компьютера, легче все делать клотоидами… на компьютере очень легко… современный способ: на компьютере действовать клотоидой

Ну современно всё, хорошо. Каков итог этого метода? Сгенерированная на компьютере форма очень похожа на PG 1689. Значит, не сильно отличается эта модель от классического образца А.Страдивари. А новые формы моделировать сложно – тут не компьютер нужен. Точнее, компьютер совсем не нужен

А вот чертить циркулем можно только для копирования уже известной формы.

Ну так и клотоиды так же – для копирования форм А.Страдивари, для объяснения их, а новую – чтобы сильно отличалась (но в классических традициях) – как клотоидный компьютерный метод поможет?

мастер от руки начертил скрипку, но линии получились не очень хорошие. Тогда можно взять циркуль, эмпирически найти подходящую точку и прочертить эти кривые красивее. Но это не серьезное занятие.

Совершенно не серьёзное. Нельзя так делать

Я предпочитаю или древний способ всех мебельщиков (включая лютьеров) - струну гнуть

Самый лучший метод! Лучше струнно-сегментного метода моделирования кривыми Безье ничего не придумано. Натуральный, древний, проверенный, классический

[murom]

Сгенерированная на компьютере форма очень похожа на PG 1689. Значит, не сильно отличается эта модель от классического образца А.Страдивари. А новые формы моделировать сложно – тут не компьютер нужен. Точнее, компьютер совсем не нужен
Ну так и клотоиды так же – для копирования форм А.Страдивари, для объяснения их, а новую – чтобы сильно отличалась (но в классических традициях) – как клотоидный компьютерный метод поможет?

Я знаю, т.к. делал много разных форм, прежде чем что-то публиковать. Это легко. Гораздо легче, чем со струной. И можно так сделать, что ничего похожего не будет ни на одну скрипку известную.
Если я могу рисовать клотоидой страды, гварнери, маджини, штайнеры, т.е. любые формы, то могу нарисовать и то, чего нет. Если знаешь КАК, то все легко.