Какова причина использования логарифмов в музыкознании?
Это просто некоторый технический прием или же нечто большее?
Риман был большим другом логарифмов:
Вид для печати
Какова причина использования логарифмов в музыкознании?
Это просто некоторый технический прием или же нечто большее?
Риман был большим другом логарифмов:
Так Риман же был грамотный немец, искренне стремился разгадать секреты устройства музыки, и мог понимать скорее естествоведов, чем гуманитариев Гельмгольца и Эттингена.Цитата:
Сообщение от Математик
Наше музыкознание с естественными науками и логарифмами, разве что до сталинских времён, могло слегка подружиться. Потом про логарифмы кое-что знать могли лишь инженеры фабрик музыкальных инструментов, да настройщики, которые музыковедами у нас и по сей день не числятся.
У меня такое ощущение, что постсоветское строго гуманитарное музыкознание с логарифмами не дружит. Как и британское во времена Римана. Российское дореволюционное в СПб дружить собиралось. В Москве, вероятно, нет.
Почти не сомневаюсь: большинство уважающих себя постсоветских музыковедов гордо заявит, что будучи дипломированными музыкантами, они всё слышат без всяких замшелых немцев, с их бесполезными логарифмами и теориями.
:-) :-) :-)Цитата:
Сообщение от commator
(меньше 3-х улыбок не пропустили. Слишком короткое, говорят, у вас сообщение. Увеличьте, говорят, до 10-ти символов :-))
- не открылось...
[/QUOTE] - не открылось.....
Действительно, открываться перестало...Цитата:
Сообщение от imina
Пробовал когда-то у самого академика Асафьева набраться ума. Открыл его труд какой-то, а там что-то невразумительное о нежных, как пух одуванчика, переливах мелодий. Закрыл навсегда.Цитата:
Сообщение от imina
Сейчас открывается.Цитата:
Сообщение от imina
- не открылось.....[/QUOTE]Цитата:
Сообщение от imina
Возможно, были какие-то временные неполадки на сервере. У меня сейчас все открывается.
Ради интереса набил в гугле название статьи “Musical Logarithms”:
( by Benjamin Wardhaugh)
и среди прочего нашел статью этого же автора: “Musical logarithms in the seventeenth century: Descartes, Mercator, Newton”
Abstract
This paper describes three previously little-studied sources from the 17th century, which reveal early uses of logarithms in the mathematical study of music. It describes the problem, which had existed since antiquity, of providing quantitative measures for the relationships between musical intervals when the latter were defined by identification with mathematical ratios; and it shows how this problem was solved by Descartes, Newton, and Nicolaus Mercator in the mid-17th century by using logarithms to provide “measures” of intervals, which could then be compared with one another. It discusses the composition and interrelationships of the manuscript sources for this work.
Статья, однако, платная ($ 31.50).
Кто бы объяснил, почему столь большое внимание уделяется совершено частному (и простому) математическому инструменту? Ну понятно, например, что в темперированном строе любой сдвиг на некоторый выбранный интервал соответствует фиксированному приращению логарифма частоты. Но точно так же он соответствует и умножению частоты на некоторый фиксированный множитель, поэтому с тем же основанием можно поставить вопрос об использовании умножения в музыкознании... :lol:
Так то оно так, быть может. Однако Вам любой грамотный музыкант подтвердит, что от сложения ч. квинты с ч. квартой получится ч. октава. Если у него же спросить, что будет если ч. квинту умножить на ч. кварту он может и не ответить.Цитата:
Сообщение от avg
Вы имеете в виду просто перемножение частотных отношений? :roll: То есть, грубо говоря, предлагаете привязать интервалы к логарифмам? Если это поможет -- хорошо, но "роль умножения" и объяснить нетрудно. По крайней мере, умножать все умеют, а вот чтобы вспомнить логарифмы, кое-кому, наверное, и напрячься придется. :-)Цитата:
Сообщение от commator
Ничего я не предлагаю.Цитата:
Сообщение от avg
Звуковысотные интервалы и действия с ними к логарифмам чисел и их сложению/вычитанию задолго до моего рождения привязаны. Привязку в явном виде фиксирует закон Вебера-Фехнера.
Звукочастотные интервалы вместе с действиями над ними ещё древнее. Там не логарифмы чисел, а сами по себе числа вместе с умножением/делением действуют.
Ну мы же тут говорим о приемах объяснения и рассуждения! Что они по сути своей связаны, растолковывать незачем. Я говорил о "гносеологической" привязке -- как о подходе к анализу.
Вот и возникает вопрос, что будет понятнее человеку, далекому от математики -- использование логарифмов или разговор об умножении.
Зачем далёкому от математки что-то понятно объяснять о музыкознании? Ему будет достаточно его слуха, трудов академика Асафьева и Библии, разумеется.
Кто действительно захочет понимать лучше, быстро догадается, что и логарифмы и умножение и другие математические штучки для этого хорошо подходят. Одно другому не мешает и каждый инструмент по своему необходим и незаменим.
Библия не нужна.Цитата:
Сообщение от commator
Нужна. Ведь далёкий от математики всё понимает через веру в свою богоизбранность. Без постоянного обращения к Библии у него вера иссякнет и рухнут все понятия.Цитата:
Сообщение от lerit
Хорошо. Мне не нужна. И понятия не рушатся.
Следует понимать, что Вы далёкий от Бога и математики музыковед с устойчивыми понятиями.Цитата:
Сообщение от lerit
Интересно, как бы Вы изложили своё понятие двойной доминанты. Почему она именно двойная, в частности?
Мне хватает "доминанта к доминанте".:-)Цитата:
Сообщение от commator
Вы никогда не говорите двойная доминанта или вторая доминанта?
ДД - говорю.
Цитата:
Сообщение от lerit
По своим нерушимым понятиям Вы пришли к ДД, когда я стал Вас расспрашивать о двойной доминанте или о функции, которая математически является суммой двух доминант. Лаконично и точно можно записать:Цитата:
Сообщение от lerit
ДД = Д + Д = 2Д.
Если так записать можно, то справедлива ещё одна запись:
ДД ≠ Д х Д ≠ Д^2.
Имеем лаконичную и математически точную запись утверждения: ДД не может быть перемножением двух доминант и потому квадратной доминантой не является. Вы с этим утверждением согласны?
А что такое, по Вашим понятиям, квадратная доминанта или перемножение двух доминант?
Не знаю и знать не хочу.
А если всё же узнаете, сами того не желая, устойчивость Ваших понятий не пострадает?
Не пострадает. Но не вижу, для чего мне такое знание.
Ну Вы же логарифмами в музыкознанании заинтересовались. Можете и про квадратную доминанту узнать ненароком.Цитата:
Сообщение от lerit
Не заинтересовался. Мне они ни к чему.
Теперь ясно, что реплики Ваши в этой теме праздные и замечать их не обязательно.Цитата:
Сообщение от lerit
Я токмо о Библии...Цитата:
Сообщение от commator
Я понял, понял. Вам пока хватает веры в то, что АсафьевДо Библии ешё не дошло:Цитата:
Сообщение от lerit
Цитата:
...
9 Ибо мы отчасти знаем, и отчасти пророчествуем;
10 когда же настанет совершенное, тогда то, что отчасти, прекратится.
...
Если мы хотим измерять интервалы при помощи центов, то нужно добавить метрику к проективной шкале:
Наиболее подходящей будет та, которая приводит к “гиперболической геометрии Лобачевского” в классификации, приводимой И. М. Ягломом:Цитата:
Сообщение от Математик
Уважаемый Математик, то, что Вы пишете, связывая проективную геометрию, геометрию Лобачевского и музыку, в высшей степени интересно. Но боюсь, что с точки зрения объяснения звуковысотной шкалы геометрические построения избыточны — достаточно лишь логарифмов : )
Но зато такие построения будят фантазию тех, кто хоть чего-нибудь в них понял. На мой взгляд, для музыкантов они могут сыграть скорее художественную роль, чем научную : )
Цитата:
Сообщение от DJ Хруст
Во всяком случае, когда-то (когда вся эта звуковысотность только начиналась) они не были избыточны. Достаточно посмотреть на Figure 10.11 и 10.12 у Форстера, где описываются построения в "Sectio Canonis" (“Division of the Canon” по английски), приписываемого Евклиду:
В принципе, мы могли бы и популярную книжку Н. М. Бескина “Деление отрезка в данном отношении” рассматривать как некоторую версию древнего "Sectio Canonis":
Нашим школьникам, обладающим хорошим математическим аппетитом, возможно, было бы интересно узнать о связях этой задачи с теорией музыки, из которой эта задача (опять-таки, возможно) и выросла.
----------------------------------------------------------------
В книжке Бескина мы находим популярное описание так называемого “сложного отношения”, фигурирующего в определении “гиперболической геометрии Лобачевского” (под названием “двойного отношения”):
Цитата:
Сообщение от Математик
У Бескина мы находим также популярно изложенную информацию о том, каким образом это самое “сложное отношение” связано с гармонической четверкой точек:
существование которой мы без труда диагностируем в тетраде:
------------------------------------------------------------------------------------------------
Н. М. Бескин: “Ни о каком разделе математики ни один человек не имеет сказать "я это полностью знаю". В самом элементарном вопросе скрываются неожиданные связи с другими вопросами, и этот процесс углубления не имеет конца. Можно снова и снова возвращаться к знакомому разделу и каждый раз (если хорошо подумать) узнавать что-нибудь новое”.
Что касается конкретно задачи о делении отрезка в данном отношении (которую можно интерпретировать и как деление струны в данном отношении), то можно без преувеличения сказать, что на ней основан большой кусок математики:
Математика уже давно “теория струн”. С 19 века. Во всяком случае та ее часть, которая именуется “наукой о числах и фигурах”. Для (элементарной) геометрии, например, фундаментальной конструкцией является конструкция “деление отрезка в данном отношении” (можно посмотреть в классическом учебнике Александрова:
Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968, cc. 23 — 25.
Но ведь это конструкция есть то же самое, что и монохорд древний. Описание монохорда у Римана:
На резонансном ящике, снабженном точным обозначением частей его меры по длине, натягивают струну через две неподвижные подставки, а между ними помещают третью подставку, подвижную, на которой струна также лежит плотно; это будет монохорд.
Следующая картинка из книги Клейна (черт. 113) поясняет общий ход мысли:Цитата:
Сообщение от Математик
“Гиперболическое мероопределение на прямой линии мы можем сделать наглядным, подобно тому как мы это сделали для эллиптического, следующим образом, пригодность которого легко установить аналитически. Мы проектируем точки гиперболы из центра М на прямую G и рассматриваем в качестве гиперболически измеренной длины отрезка PQ на прямой G евклидову площадь треугольника MP'Q'. При этом обе фундаментальные точки гиперболического мероопределения являются точками пересечения прямой G с асимптотами гиперболы.”
Нам бы только не промахнуться с выбором нужного конического сечения, уважаемый vcirkov.Цитата:
Сообщение от Математик
Хотелось бы соскочить уже с евклидовой плоскости и заняться рассмотрением более подходящей нам плоскости имени Минковского. На ней коническим сечением, относительно которого мы будем рассматривать полярные соответствия, будет равносторонняя гипербола, являющаяся, кстати говоря, графиком обратной пропорциональной зависимости:
Цитата:
Сообщение от Математик
Цитата:
Сообщение от vcirkov
Цитата:
Сообщение от Математик
Мне с этим трудно разобраться. Пойду от своей логики. Допустим, мы построим треугольник в горизонтальной плоскости, где от одной вершины будет соответственно построена вниз вертикаль тоникальной составляющей трезвучия (октава), вторая вершина будет смотреть на нас (квинта трезвучия внизу), а третья в сторону (акустическая терция). Все вершины соединены с нижней точкой (удвоение тоники внизу). Если к этому приложить гиперболу, возникает вопрос: как показать величину отступа звука в центах. Я предполагал, что нужно двигать точки, показывая сдвиг от нулевого значения. Как будет работать здесь гипербола мне не понятно. Видимо, точки (вершины треугольников) будут оставаться на месте, а отклонения изображаться изгибами линий.Цитата:
Сообщение от Математик
И ведь делают такие сравнения физики:Цитата:
Сообщение от Математик
“Вы должны уже знать, что такое прямая линия, если хотите приступить к изучению геометрии. Представьте себе угол дома или натянутую струну, отвлекитесь от вопроса, из чего это сделано, и вы получите прямую линию”
Борн М.
Эйнштейновская теория относительности.
2-е издание, исправленное. Пер. с англ., М.: Мир, 1972, с. 18.
На самом деле разобраться легко. Ведь Вы уже сделали первый шаг, признали важность обратной пропорциональности:Цитата:
Сообщение от vcirkov
Цитата:
Сообщение от Математик
Цитата:
Сообщение от vcirkov
Цитата:
Сообщение от Математик
В конце концов, я и сам на пятом курсе университета придумал один алгоритм для вычисления логарифмов:Цитата:
Сообщение от Математик
Его проще понять, если знать об упомянутом дуализме:
Цитата:
Сообщение от Математик
Делаю второй шаг. Обратные отношения для высоты - это обратная перспектива строя. Если подробнее, -диатоническая цепь звукоряда сжимается на больших интервалах и расширяется на малых. Это грубо, на самом деле здесь задействованы и все прочие (чистые) интервалы. Например, если построить от соль малой октавы б. сексту и квинту, получится тон. Его можно сжать относительно полюса "соль" с обеих сторон почти до полутона, при этом интервал останется в своем исходном функц. значении. В этом суть моего открытия, если коротко. Здесь встречаются, видимо, налагаясь друг на друга, субъективное ощущение и формальная объективная данность. Уравнение получается странным: большой интервал при определенных условиях - равен малому. Думаю, Вам удастся это правильно интерпретировать математически.Цитата:
Сообщение от Математик