Идея баланса

[Математик]

В таком случае ребенок, по идее, должен быть в состоянии уловить и суть понятия гармонической сопряженности – простейшего и фундаментальнейшего инварианта проективной геометрии.
“Гораздо более интересным представляется еще одно важное ... для всей операциональной концепции понятие -- понятие инварианта. Согласно Пиаже, развитие познания есть процесс возрастания инвариантности знания субъекта об объекте, т. е. возрастания его устойчивости по отношению к изменяющимся условиям опыта и к изменению позиции субъекта относительно объекта. Привлекая аппарат математической теории групп и рассматривая познавательные структуры как разные виды математических структур, Пиаже формулирует вывод, что инвариант группы преобразований в интеллектуальной структуре является знанием о самом объекте, т. е. объективным знанием”.
http://www.px-pict.com/4/11/1/3.html
------------------------------------------------------

Отметим, однако, что Дезарг, который был вроде первым, кто нашел и осознал этот инвариант, не был ребенком.
“... Дезарг не только ввел в рассмотрение проективное пространство, но сделал и следующий важный шаг: он нашел простейшую величину, которая сохраняется при проектировании и является таким же основным понятием проективной геометрии, как расстояние между двумя точками в геометрии Евклида, -- так называемое сложное отношение”.

Да и понимания среди современников не нашел тоже.
“Идеи Дезарга были настолько новы и оригинальны, что большинство его современников оказалось не в состоянии их воспринять, а судьба "Чернового наброска ...", как и других сочинений Дезарга, была печальна. Не понятая современниками, не принесшая ни успеха, ни хоть малой известности автору, брошюра, изданная всего в пятидесяти экземплярах, исчезла. Лишь через два столетия французский геометр и историк геометрии М. Шаль нашел ее копию. Только тогда Дезарга стали называть создателем новой геометрии, творцом проективной геометрии, великим геометром”.
http://www.px-pict.com/10/3/3/3/2.html

Часто открытие неожиданной “двойственности” в системе помогает увидеть ее в новом свете. Можно привести пример с проективной геометрией:
http://px-pict.com/10/3/4/6/11.html
http://px-pict.com/10/3/4/5/1/6c.html

Гармоническую сопряженность в тетраде проще будет уловить в дуальной конструкции: пучке прямых:
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/4.html

а не в прямолинейном ряде точек, как предлагалось ранее:
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/3.html

[Математик]

Гармоническую сопряженность в тетраде проще будет уловить ....

В смысле представить ее как некоторую разновидность “баланса”:

Даже самый элементарный звукоряд сбалансирован. Речь идет о тетраде:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/4.html

--------------------------------------

Гармоническую сопряженность в тетраде проще будет уловить в дуальной конструкции: пучке прямых:
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/4.html

Здесь мы можем использовать все возможности “звездного неба” Клейна:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/1/2.html

У меня на рисунке:
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/4.html

отдельные нужные нам звезды изображены точками голубого цвета.

[Математик]

Нам понадобятся некоторые базовые сведения о так называемых “правых декартовых системах координат” на евклидовой плоскости и в евклидовом пространстве. Эти сведения я для справки привел здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/6/1/1.html

Все, что нам нужно, можно будет проиллюстрировать на простых картинках.

Я уже пробовал представить аккорды в трехмерном пространстве геометрии, но там у меня нет кубов, поскольку трезвучие в геометрии - треугольник, объем которого хуже читается. #25
Сначала нужно определиться с чистыми аккордами без связок, чтобы иметь базу для моделей аккордов. Потом общий звук будем мыслить как точку пересечения, то есть связку, вокруг которой будет возникать поле дополнительных проекций. Давайте исходить от того, что вертикальная ось - некая тоника "до", горизонтальная ось, образующая крест - квинтовая спираль, представленная как минимум двумя точками "соль-ре". Далее следует определиться относительно трехмерности. Она гипотетически может возникать как новый вектор из точки пересечения креста "ми", а заполнение пространства модели аккорда может осуществляться за счет удвоения звуков. проблема в том, что для конкретного перехода нужно представлять для аккорда в который общий звук будет связкой. Для начала - Т и D, общий звук "соль".

Сбалансированность трезвучия ЧС нулевая, это исходный фрагмент баланса, который берется за основу, как всякие прочие акустические чистые интервалы-консонансы.

Не могли бы Вы объяснить, как связан куб с трезвучием, об этом написано здесь:
ttp://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6/2.html

Прежде всего заметим, что там изображен не куб, а фигура, именуемая “прямоугольным параллелепипедом”. (Единичный) куб получился бы, если бы мы провели соответствующие плоскости через единичные отметки на осях координат (я отметил их красным цветом):
http://www.px-pict.com/10/3/6/1/1/1.html

Чем больше мыслей и интуиций, тем лучше.
Для меня перспектива ценна тем, что позволяет понять роль и значение отношения гармонической сопряженности в “визуальном мире”. Так было и исторически:
“Художники эпохи Возрождения не могли даже и догадываться о том, сколь общи и значительны идеи и закономерности, заложенные в учении о перспективе. Понять значительность этих идей, подвергнуть эти закономерности более глубокому анализу должен был человек, который сумел бы сочетать в себе инженерные знания с талантом математика и способностью к смелым обобщениям, способностью отказаться от традиционных представлений, способностью выступить с идеями, противоречащими традициям”:
http://www.px-pict.com/10/3/3/3/1.html

И в конце концов подружить между собой полюс геометрический:
http://www.px-pict.com/10/3/3/3/2.html

и полюс музыкальный (о котором говорите Вы).

Возможно здесь есть что-то от эзотерической (сакральной) геометрии? Две линии случайно пересекаются в пространстве, возникает плоскость. Здесь нет ничего сакрального. Но пересечение трех линий в одной точке случайностью трудно назвать. Это место некой сущности, которая может сама манипулировать осями координат. Собственно, это манипулирование есть часть жизни этой сущности. Баланс же состоит в том, что сдвиг одной оси приводит к нарушению баланса, который восстанавливается при помощи другой оси. Иначе, если мы не соблюдаем это правило, центр пересечения трех осей нарушается и жизнь сущности прекращается. Мы же коллекционируем мумии этих сущностей в шаблонах гарм. аккордов и выдаем их за живые.

Вы обещали рассказать про куб.

Мне кажется, что Вы совершенно напрасно мистифицировали куб.
Куб он и в Африке куб (так и хочется в этой связи сказать).
Единственная цель, с которой он был приведен – это проиллюстрировать идею декартовых прямоугольных координат, “школьное” определение которых можно посмотреть здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/4/1/2.html

Но вот что для нас ценно, так это то, что декартовы координаты могут быть рассмотрены как частный случай барицентрических кооординат, которые могут быть связаны с идеей некоторого баланса.

[Математик]

Но вот что для нас ценно, так это то, что декартовы координаты могут быть рассмотрены как частный случай барицентрических кооординат, которые могут быть связаны с идеей некоторого баланса.

А барицентрические координаты, в свою очередь, могут быть легко определены через отношения гармонической сопряженности, как об этом написано у Клейна:
http://www.px-pict.com/10/3/4/5/1/7/3.html
(там говорится о так называемых “двойных отношениях”, но на самом деле все это можно свести к отношениям гармонической сопряженности)

А интересны мне системы, которые можно было бы назвать “гармоническими”, т. е. системы вида:

S = < D, H, … >,

где D есть носитель системы;
H есть 4-арное отношение на множестве D , интуитивно соответствующее отношению гармонической сопряженности;
многоточие соответствует некоторым дополнительным “прибамбасам”.

[Математик]

Мне кажется, что Вы совершенно напрасно мистифицировали куб.

Впрочем, иное течение мыслей относительно куба может быть плодотворным в плане приближения к идее геометрического полюса (который мы хотим подружить с полюсом музыкальным).

Для меня перспектива ценна тем, что позволяет понять роль и значение отношения гармонической сопряженности в “визуальном мире”. И в конце концов подружить между собой полюс геометрический:
http://www.px-pict.com/10/3/3/3/2.html

и полюс музыкальный (о котором говорите Вы).

Примерно так оно и было исторически:
"Изучение конических сечений восходит к 430 г. до нашей эры, когда афиняне, страдая от чумы, обратились к делосскому оракулу, который потребовал, чтобы для избавления от постигшего их бедствия был увеличен вдвое объем кубического алтаря Аполлона (без изменения его формы)"
http://www.px-pict.com/10/3/4/7/6.html

"Дальнейшее развитие теории конических сечений связано с именами швейцарца Штейнера и немца Штаудта... Намеки на полярное соответствие, порождаемое коническим сечением, встречались уже в некоторых работах Аполлония, но отчетливое представление о нем было дано Ла-Гиром (1640 -- 1718 ) "

[vcirkov]

Впрочем, иное течение мыслей относительно куба может быть плодотворным в плане приближения к идее геометрического полюса (который мы хотим подружить с полюсом музыкальным).

Меня интересует именно мистическая сторона идеи куба. Это я не связываю с балансом. Идея же баланса мне представляется неполной в том смысле, как мы ее до сих пор обсуждали. Просто пока не выбран метод отображения баланса, разговор мне казался преждевременным. Идея баланса - это не только формальное равновесие. Здесь есть выражение закона, который мы не относим к науке, это закон выживания. Например, так поддерживается баланс в природе. В интонировании примерно похожая ситуация, если рассматривать этот процесс в живом естестве, а не в стерильной мертвой среде, где процесс борьбы за удержание высоты далек от естества.

[vcirkov]

Впрочем, иное течение мыслей относительно куба может быть плодотворным в плане приближения к идее геометрического полюса (который мы хотим подружить с полюсом музыкальным).

На шести сторонах куба - 12 возможных диагоналей, которые мыслим квинтами. Вот и замкнутый квинтовый круг.

[vcirkov]

Чем примечательны певческие позиции? Их бинарность - суть баланса. Это выражается в том, что вся система вертикального и горизонтального голосоведения выстраивается почти автоматически. Позиция - создает в одном месте напряжение, в другом - обеспечивает подстройку. Все звуки находятся во взаимном согласовании. Но это далеко не все преимущества позиционного пения. Позиция обеспечивает совершенную интонационную среду, перемещая звуки из функционального поля в поле интонационное. Исполнитель может быть вовсе не озабочен тем, понимает ли он то, что исполняет функционально. Ясно, что спонтанное функциональное действо не содержит изначально умной логики. В одном и другом нет противоречия, поскольку позиция обеспечивает правильный интонационный вектор, который связан с логикой только косвенно. Что это значит? Только то, что логика интонирования (строй) и функциональная логика не вторят друг другу. Вам не нужно думать как петь звук, высоко или низко, поскольку позиция сама определяет вектор и степень отклонения.

[Математик]

Меня интересует именно мистическая сторона идеи куба...

И все же демистификацию куба я продолжаю считаю более важной идеей.
Ведь тогда мы окажемся в состоянии постигнуть истоки конических сечений, к каковым относится и гипербола.

Естественно, что после этого я стал напряженно искать у Делоне то место, где была бы изображена гипербола, в контексте которой и объясняется понятие “гиперболического поворота”:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/4/1.html

И достаточно быстро нашел это место:
http://www.px-pict.com/9/6/5/5/1/03/4/5.html

Истоки эти связаны с Древней Грецией, Аполлоном (Аполлонием) и чумой:
http://www.px-pict.com/7/3/1/12/4/1.html

[vcirkov]

И все же демистификацию куба я продолжаю считаю более важной идеей.
Ведь тогда мы окажемся в состоянии постигнуть истоки конических сечений, к каковым относится и гипербола.

Извините, я не понимаю связи куба и гиперболы. То есть, когда нужно было создать объем двойного куба, пришлось внедрить в описание вычислений окружность?