Дерево; его смысл и значение

[Математик]

Если надо, переход от формул к дробям, центам или зонам Гарбузова и обратно можно делать через логарифмический образ ДШБ, который я именую "сонантометрический диск".

Поясните, пожалуйста, сказанное Вами более подробно. Можно начать с более подробного пояснения следующей фразы:

...каждая формула оказывается логарифмическим образом взаимно-однозначно соответствующей дроби.

Можно даже начать с совсем для Вас, по-видимому, простого: уточните, пожалуйста, что Вы подразумеваете под “логарифмическим образом дроби”?
---------------------------

Алгебра тональных функций -- ни арифметика ни геометрия и моё имя ей сонантометрия, где каждая формула оказывается логарифмическим образом взаимно-однозначно соответствующей дроби.

А как Вы относитесь к известной цитате из Библии:

“Что было, то и будет; и что делалось, то и будет делаться,
и нет ничего нового под солнцем.
Бывает нечто, о чем говорят: "смотри, вот это новое",
но это было уже в веках, бывших прежде нас.
Нет памяти о прошлом; да и том, что будет,
не останется в памяти у тех, которые придут после.”

Экклезиаст, 1, 9 — 11

[Математик]

Имеет ли Дерево какое-либо отношение к теории музыки?
А если имеет, то какое?

Хорошенько подумал лет тридцать и нашёл наиболее удобным использование для анализа партитур собственных средств музыкальной теории, а именно формул тональных функций.

Алгебра тональных функций -- ни арифметика ни геометрия и моё имя ей сонантометрия, где каждая формула оказывается логарифмическим образом взаимно-однозначно соответствующей дроби.

Для нужд музыкального интерпретирования нотного текста достаточно лишь формул, без использования дробей и тем более векторов. Если надо, переход от формул к дробям, центам или зонам Гарбузова и обратно можно делать через логарифмический образ ДШБ, который я именую "сонантометрический диск".

Все же Вы не пересмотрели еще свой тезис о дружественности Дерева к музыке?

Выходит Сам Господь в Дробном Виде мне Явился. Спасибо за осведомление. Постараюсь и дальше идти тем путём, на котором Его встретил.

Тут не испуг, а нечто иное...

Когда я стал ниспадать с вершин институтской высшей математики к решению насущных проблем, то на обычном уровне удержаться не смог. Влетел в бездну математики низшей, но залетел не глубоко.

Потому что зацепился за понятие предиката, а рядом никого не было чтобы подсказать, где у него дружественность и как ею пользоваться. Пришлось самому разбираться, чтобы отцепиться для дальнейшего погружения. Лет пять ушло на предикатное зависание.

Другими словами Сам Господь не Страшен, а как Его намалевали жрецы я ещё не понял.

Вот о дружественности ДШБ к Музыке мне открылось понимание в полной мере. Нет сомнений, что вся естественная музыкальная гармония, как вертикальная, так и горизонтальная в нём упакована. Любая приятная музыка всегда обязана оказаться некоторым поддеревом ДШБ.

[Математик]

Хорошенько подумал лет тридцать и нашёл наиболее удобным использование для анализа партитур собственных средств музыкальной теории, а именно формул тональных функций.

Алгебра тональных функций -- ни арифметика ни геометрия и моё имя ей сонантометрия, где каждая формула оказывается логарифмическим образом взаимно-однозначно соответствующей дроби.

Для нужд музыкального интерпретирования нотного текста достаточно лишь формул, без использования дробей и тем более векторов. Если надо, переход от формул к дробям, центам или зонам Гарбузова и обратно можно делать через логарифмический образ ДШБ, который я именую "сонантометрический диск".

А помните, уважаемый commator, у нас с Вами была беседа о логарифмах и Дереве:

В плане дальнейшего постижения сути эпиморных отношений будет полезно следующее замечание:
Каждое рациональное отношение на Дереве может быть представлено в виде произведения эпиморных отношений.

Получить это представление легко, стартуя с корня дерева Штерна-Броко (ДШБ) (т. е. с отношения 1 / 1 ) и продвигаясь далее к выбранному рациональному отношению по синим и красным дугам Дерева:
http://www.px-pict.com/10/4/4.html#1

Движение по дуге (красной или синей) может быть ассоциировано с элементарной эпиморной трансформацией, т. е. с умножением (или делением) отношения, из которого исходит дуга на вполне определенное эпиморное отношение. Это следует из более раннего замечания:


Например, для отношения 5 / 7 имеем следующее представление в виде произведения эпиморных отношений:
( 1 / 1 ) * ( 1 / 2 ) * ( 4 / 3 ) * ( 9 / 8 ) * ( 20 / 21 ) = ( 5 / 7 )

Логарифмируя обе части равенств, подобных приведенному, приходим к выводу, что центовое значение любого интервала равно сумме центовых значений составляющих его эпиморных интервалов.
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/6.html
--------------------------------------

Мы также получаем следующее утверждение: любое рациональное отношение может быть развернуто из отношения равенства при помощи некоторой последовательности элементарных эпиморных трансформаций.

Если я всё правильно понял, то не может быть рациональных отношений, которые не на Дереве. Или я ошибаюсь?

Разумеется, Вы не ошибаетесь. Я употребил термин “рациональное отношение” вместо термина “рациональное число” для того, чтобы держаться ближе к античной традиции. В те времена, как известно, не существовало понятий рационального или иррационального числа, но существовало понятие рационального или иррационального отношения:
http://www.px-pict.com/7/3/1/13.html

Музыкальные интервалы связывались с рациональными отношениями. Б. Л. ван дер Варден:
Исходя из упомянутых ... повседневных наблюдений о влиянии на высоту тона натяжения, длины струны или звучащего столба воздуха, а может быть также и под влиянием вавилонских теорий, Пифагор пришел к мысли о сопоставлении тонов с числами, а консонансов — с числовыми отношениями.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html

Если такая композиция уникальна для каждого рац. отношения, то она напоминает уникальность канонической композиции простых чисел для каждого натурального числа.

Мы можем назвать указанное выше разложение произвольного рационального отношения в произведение эпиморных отношений каноническим. Оно уникально в том смысле, что на Дереве существует ровно один путь, ведущий от его корня (помеченного отношением равенства) к его узлу, помеченному данным рациональным отношением.

Правда, тогда Вы о "сонантометрическом диске" ничего не говорили.

[commator]

А помните, уважаемый commator, у нас с Вами была беседа о логарифмах и Дереве:

Правда, тогда Вы о "сонантометрическом диске" ничего не говорили.

Это было около двух лет назад, а сонантометрическому диску нет ещё и года.

[commator]

Алгебра тональных функций -- ни арифметика ни геометрия и моё имя ей сонантометрия, где каждая формула оказывается логарифмическим образом взаимно-однозначно соответствующей дроби

А как Вы относитесь к известной цитате из Библии:

“Что было, то и будет; и что делалось, то и будет делаться,
и нет ничего нового под солнцем.
Бывает нечто, о чем говорят: "смотри, вот это новое",
но это было уже в веках, бывших прежде нас.
Нет памяти о прошлом; да и том, что будет,
не останется в памяти у тех, которые придут после.”

Экклезиаст, 1, 9 — 11

Если я напишу википедийную статью Сонантометрия, то пара-тройка заядлых энтузиастов её удаления мне известна. Возопят что о новом там писать нельзя. С другой стороны мне позволили сделать о сонантометрии доклады на международном симпозиуме и всемирном конгрессе, где было нельзя докладывать о чём-то без признаков нового.

С библейской точки зрения понимаю: пифагорова теорема была всегда. Пифагор лишь первый из нам известных, кто на неё указал. Осознаю, что и сонантометрия была всегда, а я лишь первый пока, кто показал, где она лежит.

[commator]

уточните, пожалуйста, что Вы подразумеваете под “логарифмическим образом дроби”?

Нашлась на Сети подходящая картинка для удовлетворения Вашего любопытства:

Следует лишь понимать a как дробь ^a/₁. Тогда 1 и -1 на оси y есть образы дробей с оси x, а именно ^a/₁ и ¹/_а , соответственно.

Отображения с оси x на ось y увязаны с логарифмической кривой и в этом случае можно говорить о логарифмических образах дробей.

[commator]

Все же Вы не пересмотрели еще свой тезис о дружественности Дерева к музыке?​

Вот о дружественности ДШБ к Музыке мне открылось понимание в полной мере. Нет сомнений, что вся естественная музыкальная гармония, как вертикальная, так и горизонтальная в нём упакована. Любая приятная музыка всегда обязана оказаться некоторым поддеревом ДШБ.

Ну, если хотите, из ДШБ можно и неприятную музыку извлечь, как можно лишить жизни водой, без которой жизни нет.

Ещё не пересматривал дружественность ДШБ к Музыке. Пока увлечён её рассматриванием.

[Математик]

А помните, уважаемый commator, у нас с Вами была беседа о логарифмах и Дереве:
Правда, тогда Вы о "сонантометрическом диске" ничего не говорили.

Это было около двух лет назад, а сонантометрическому диску нет ещё и года.

Ну, а те логарифмы, которые были два года назад?
Они все еще есть, или после открытия (переоткрытия) "сонантометрического диска" их уже нет?

[Математик]

Ещё не пересматривал дружественность ДШБ к Музыке. Пока увлечён её рассматриванием.

Хочу еще раз напомнить Вам, что если мы желаем говорить о Дереве в контексте теории музыки, то должны интерпретировать метки его узлов как отношения, а не как дроби. Именно отношения, а не дроби находили применение в теории музыки в то время, когда и Дерево, по-видимому, было уже известно.
"... Разгадка этой математической несуразности заключается в том, что практическое приложение теории отношений имело место в построении теории музыки".
http://www.px-pict.com/7/4/2/2/1.html

[Математик]

Я не пользуюсь для выращивания ДШБ тремя ранее построенными величинами для нахождения четвёртой гармонической.

Просто суммирую раздельно числители и знаменатели двух ранее построенных величин для нахождения третьей.

Вы можете объяснить, почему так делаете?

Потому что так делать посоветовали другие:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Дерево_Штерна_—_Броко

Нахожу, что так выращивать ДШБ проще всего.

Хочу обратить Ваше внимание, что диаграмма в книге
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О.
Конкретная математика. Основание информатики.
М.: Мир, 1998, сc. 139 — 141.
http://www.px-pict.com/10/4/4/13.html

на которую обычно ссылаются, не является деревом из-за пририсованных там вершин с метками 0 / 1 и 1 / 0 .
Эти вершины, однако, являются существенными, если растить Дерево с помощью операции медианты.

Подлинно древесными операциями будут унарные операции (т. е. операции от одного аргумента) L, R и V, H , некоторое исследование которых я предпринял в свое время здесь:
http://www.px-pict.com/copies/arbuz/tree/1.html
http://www.px-pict.com/copies/arbuz/tree/2.html
http://www.px-pict.com/copies/arbuz/tree/3.html