Дерево; его смысл и значение

[Математик]

Хочу еще раз напомнить Вам, что если мы желаем говорить о Дереве в контексте теории музыки, то должны интерпретировать метки его узлов как отношения, а не как дроби. Именно отношения, а не дроби находили применение в теории музыки в то время, когда и Дерево, по-видимому, было уже известно.
"... Разгадка этой математической несуразности заключается в том, что практическое приложение теории отношений имело место в построении теории музыки".
http://www.px-pict.com/7/4/2/2/1.html

Маленькая добавка к сведениям о дробях и отношениях в античной арифметической и музыкальной теории:
“Итак, поскольку дроби были изгнаны из чистой теории чисел, то естественно встал вопрос, нельзя ли создать для понятия дроби математический эквивалент и таким образом чисто теоретически обосновать вычисления с дробями. Конечно, таким эквивалентом является числовое отношение.”
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0/2.html

Из замечательной книги Б. Л. ван дер Вардена “Пробуждающаяся наука”, оглавление которой я выложил здесь:
http://www.px-pict.com/7/3/1/14.html
----------------------------------------------------------------

В античности строго различались “теоретическая” и “практическая” математики:
“Пифагорейцы первыми возвысили математику до ранее неведомого ей ранга: числа и числовые отношения они стали рассматривать как ключ к пониманию вселенной и ее структуры. Они впервые пришли к убеждению, что "книга природы написана на языке математики", как спустя почти два тысячелетия выразил эту мысль Галилей.”
http://www.px-pict.com/7/3/1/2.html

Именно конструкции “теоретической математики” были во многом мотивированы задачами теории музыки:
“С большой степенью вероятности можно утверждать, что интерес к математике наличествовал в пифагорейской школе с самого ее основания и что положение "все есть число" принадлежит самому Пифагору. Как и в других теориях ранних греческих мыслителей, это положение явилось обобщением очень небольшого числа наблюдений. Не только древние свидетельства, но и ранняя математическая терминология указывают на связь этих наблюдений с музыкой.”
http://www.px-pict.com/7/3/1/1/1/3.html

См. также в арифметических исследованиях Архита и Никомаха:
“В принадлежащей Архиту теории музыки главную роль играют два следующих теоретико-числовых предложения...”
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0.html
------------------------------------------------------------------

Так что нет ничего удивительного в том, что музыкально-теоретические конструкции в конце концов вновь явственно проявились на Дереве.

[commator]

Ну, а те логарифмы, которые были два года назад?
Они все еще есть, или после открытия (переоткрытия) "сонантометрического диска" их уже нет?

Без участия логарифмов диск выглядит так:

Это логотип XENHARMONIC WIKI

После добавления логарифмов получается не открытие, а лишь заявка на изобретение, мною названное:

сонантометрический диск <...>:

[commator]

Хочу еще раз напомнить Вам, что если мы желаем говорить о Дереве в контексте теории музыки, то должны интерпретировать метки его узлов как отношения, а не как дроби. Именно отношения, а не дроби находили применение в теории музыки в то время, когда и Дерево, по-видимому, было уже известно.
"... Разгадка этой математической несуразности заключается в том, что практическое приложение теории отношений имело место в построении теории музыки".
http://www.px-pict.com/7/4/2/2/1.html

В контексте теории музыки я метки узлов дерева интерпретирую как сонанты. Вместо 15/8 употребляю :MD3t, а вместо 5/7 пишу :Mq. Мне именно так удобнее всего выяснять (из своих сонантометрических представлений) какие в подвергаемой анализу партитуре получаются дроби.

Если я попрошу свою девятилетнюю внучку, уже умеющую ноты читать и писать, изобразить дробь, она меня поймёт и напишет два целых числа, разделяя горизонтальной или косой палочкой. О том, что дробь есть частный случай отношения, ей толковать ещё рано, думаю.

Не помню, толковали мне такое, или нет, пока я учился. Позже сам об этом узнал, а за пару последних лет уверился, что в контексте теории музыки дробь, обозначающую относительную частоту звучащего тела, лучше всего интерпретировать как соотношение номера обертона (числитель) и номера унтертона (знаменатель) и первым обертоном первого унтертона (¹/₁) считать основной тон ноты До₀ (до большой октавы).

Такая музыкально-теоретическая интерпретация всякого тона явно указывет его дуальный адрес, а имено определённый числителем номер обертона в натуральной скале (НС), порождённой унтертоном с номером в унтеральной скале (УС), определённым знаменателем.



Выясняя без диска нотацию соотношения ^m/_n можно сначала в НС от До₀ [¹/₁] найти высоту обертона m и в УС от найденной ноты [^m/₁] выделить унтертон n, что окажется искомой нотой [^m/_n]. Иначе в УС от До₀ [¹/₁] можно найти унтертон n и в НС от найденной ноты [¹/n] выделить обертон m, что также окажется искомой нотой [^m/_n]. Так я поступаю с малоисследованными сонантами. Нотацию лучше известных определяю быстрее. Например понимая, что нота [⁵/₃=1.(6)] есть :Md (медиант субдоминанта), определяю в уме что это дидимова, большая терция от ноты из класса Фа между первым и вторым обертонами НС от До₀ [¹/₁] (¹/₁<1.(6)<²/₁), чем является пониженная на дидимову комму пифагорейская нота Ля₀-бекар. Для себя нотирую <Ля₀-бекар:Md, а для облегчения понимания другими желающими -- <Ля₀-бекар:Md [⁵/₃].

С диском интерпретировать и нотировать получается ещё быстрее, а способ один и тот же для лучше/хуже изученных сонантов.

[commator]

Ну, а те логарифмы, которые были два года назад?
Они все еще есть, или после открытия (переоткрытия) "сонантометрического диска" их уже нет?

Без участия логарифмов диск выглядит так:

Это логотип XENHARMONIC WIKI

После добавления логарифмов получается не открытие, а лишь заявка на изобретение, мною названное:

сонантометрический диск <...>:

Уважаемый bntr показал свою версию диска, что впечатляет:



Мне нравится, что к центовому лимбу изнутри примыкает пространство, где штрихами чётко выявляется затронутый в обсуждении индийской монографии о шрути факт:

Картинка со стр. 25

Картинку расчитали и построили исходя из психоакустических соображений.

По поводу этой картинки очень любопытное наблюдение зафиксировано на стр. 24:

<<... Один интересный пункт на заметку из рисунка есть то, что, в общем, не только делаются соотношения, представляющее двенадцать нот [что] имеют МА больше, чем их окружающие, но они также показываются с некоторым свободным пространством с обеих сторон. Они, видятся, чтобы стоять четко отдельно ...>>

Этот факт порождает мысль, что MA можно попытаться поставить в зависимость от ширины свободного пространства вокруг ноты. В первом приближении представляется, что чем шире пространство, тем выше уровень приемлемости.

Может быть эта теория, или ДШБ, или их сочетание способны дать возможность автоматически выстраивать в заданной окрестности вокруг произвольной точки на числовой оси все рациональные числа с заданным верхним пределом значений числителя/знаменателя?

Учитывая в центах ширину свободного пространства в окрестности обособленных высотных штрихов, соответствующие им сонанты можно выстроить в следующем порядке обособленности:

1. Оригинант суборигинанта ↔ :Фф [¹/₁] ~ 46 ц.
2. Тонант суборигинанта ↔ :Tф [²/₁] ~ 24 ц.
3. Доминант субтонанта ↔ :Dt [³/₂] ~ 15 ц.
4. Дватонант субдоминанта ↔ :2Td [⁴/₃] ~ 12 ц.
5. Медиант двасубтонанта ↔ :M2t [⁵/₄] ~ 10 ц.
6. Медиант субдоминанта ↔ :Md [⁵/₃] ~ 9 ц.
7. Доминантонант субмедианта ↔ :DTm [⁶/₅] ~ 8 ц.
8. Квартант субмедианта ↔ :Qm [⁷/₅] ~ 7 ц.
9. Квартант субдоминантонанта ↔ :Qdt [⁷/₆] ~ 7 ц.
10. Квартант двасубтонанта ↔ :Q2t [⁷/₄] ~ 6 ц.
11. Тритонант субмедианта ↔ :3Tm [⁸/₅] ~ 6 ц.
12. Тритонант субквартанта ↔ :3Tq [⁸/₇] ~ 6 ц.
13. Двадоминант субмедианта ↔ :2Dm [⁹/₅] ~ 5 ц.
14. Медиантонант субквартанта ↔ :MTq [¹⁰/₇] ~ 5 ц.
15. Двадоминант субтритонанта ↔ :2D3t [⁹/₈] ~ 5 ц.
16. Двадоминант субквартанта ↔ :2Dq [⁹/₇] ~ 5 ц.
17. Медиантонант двасубдоминанта ↔ :MT2d [¹⁰/₉] ~ 5 ц.
18. Ундецимант медиантонанта ↔ :Nmt [¹¹/₁₀] ~ 4 ц.
19. Ундецимант трисубтонанта ↔ :N3t [¹¹/₈] ~ 4 ц.
20. Ундецимант субквартанта ↔ :Nq [¹¹/₇] ~ 4 ц.
21. Ундецимант субдоминантонанта ↔ :Ndt [¹¹/₆] ~ 4 ц.
22. Доминандватонант субундециманта ↔ :D2Tn [¹²/₁₁] ~ 4 ц.
23. ...

[commator]

Вчера впервые увидел фрагмент ДШБ на интресном чертеже уважаемого bntr, где 1, 2, 3, ... в нижней строке следует понимать как ¹/₁, ²/₁, ³/₁, ... и нет соотношений меньше ¹/₁:



В моём похожем чертеже (сделан до знакомства с работой ув. bntr) есть и соотношения меньше ¹/₁:

[commator]

К ранее изготовленному диску диапазона ¹/₁..²/_1, ув. bntr добавил ещё два -- для диапазонов ²/₁..⁴/₁ и ¹/₂..¹/₁.
Теперь их можно сравнивать между собой







и с диаграммами шероховатости интервалов Гельмгольца со страниц 193 и 333 всемирно известного эллисова перевода на английский его знаменитой книги (где-то на этом Форуме ув. zesapel давал связь на ON THE SENSATIONS OF TONE):

[commator]

Сегодня мне показали как настоящие живые деревья могут влиять на человечество через музыкальную логику



От восхищения нет слов...

[Математик]

Если я попрошу свою девятилетнюю внучку, уже умеющую ноты читать и писать, изобразить дробь, она меня поймёт и напишет два целых числа, разделяя горизонтальной или косой палочкой. О том, что дробь есть частный случай отношения, ей толковать ещё рано, думаю.

Не помню, толковали мне такое, или нет, пока я учился. Позже сам об этом узнал, а за пару последних лет уверился, что в контексте теории музыки дробь, обозначающую относительную частоту звучащего тела, лучше всего интерпретировать как соотношение номера обертона (числитель) и номера унтертона (знаменатель) и первым обертоном первого унтертона (¹/₁) считать основной тон ноты До₀ (до большой октавы).

Быть может, идея школьной тетрадки в клеточку будет еще проще даже и для девятилетней внучки.
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2/3.html

[Математик]

Ещё не пересматривал дружественность ДШБ к Музыке. Пока увлечён её рассматриванием.

Давайте по пунктам. Вы согласны с моим утверждением о том, что:

... что диаграмма в книге
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О.
Конкретная математика. Основание информатики.
М.: Мир, 1998, сc. 139 — 141.
http://www.px-pict.com/10/4/4/13.html

на которую обычно ссылаются, не является деревом из-за пририсованных там вершин с метками 0 / 1 и 1 / 0 .

[commator]

Быть может, идея школьной тетрадки в клеточку будет еще проще даже и для девятилетней внучки.
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2/3.html

Да писал же я Вам где-то раньше на этом Форуме, что поиск наилучших приближений через вытягивание носов не годится для

решения практических задач детемперации/перенастройки музыкальных произведений, зафиксированных в системах 24/12РДО.

Подходят не арифметические, а логические наилучшие приближения, которые арифметически могут быть хоть наихудшими. Годится полосовое выращивание ДШБ, например по всей ширине зоны Гарбузова для пифагорейской большой терции

петь настоящую мерзкую пифагорейскую терцию 408 центов (81/64) так же нелегко, как и темперированную 400 центов (2^4/12). Даже в очень узкой зоне вокруг неё есть интервалы (не обязательно терции, могут быть и кварты альтерированные) которые и покрасивее будут и петься должны физиологичнее.

498.0449991346124ц.(4/3)
435.0840952616501ц.~(9/7)
417.5079641043681ц.~~(14/11)
412.7452814608334ц.~~~~(33/26)
409.2443014020803ц.~~~(19/15)
407.8200034615497ц.~~~~~~~(81/64)
407.3837595260005ц.~~~~~~(62/49)
406.5622961421101ц.~~~~~(43/34)
404.4419847330848
406.5622961421101ц.~~~~(24/19)
386.3137138648348ц.(5/4)

Свалятся, например, в пение более приятного по Гельмгольцу интервала 409 центов (19/15), так это скорее одна из версий ум. кварты, чем широкая б. терция. Да и темперированную терцию того и гляди споют, трудную, но всюду звучащую и оттого более привычную. А скажут без всякого лукавства, что пифагорейскую пели. И та и другая шире естественной 386 центов (5/4), но ведь широкая б. терция по расхожей недоосведомлённости не иначе как пифагорейская.

однако

Мой скромный опыт этого рода потребовал не только выращивания ДШБ, но и преобразования его в

сонантометрический диск <...>: