Дерево; его смысл и значение

[commator]

Выявленные при детемперации музыкального произведения интервалы ЧИ - они подразумевались композитором или являются своего рода вариантом интерпретации этого произведения?

Понятно, что ЧИП5 композиторами подразумевается (для этого, в т.ч., знаки альтерации). А ЧИП7 ?
Может ли композитор подразумевать, например, 19/15 ("скорее одна из версий ум. кварты") - это же как минимум ЧИП19.

Композитор может не знать про существование разновидностей высотной выразительности и связь их с пределами ЧИ. Но он вкладывает в произведение некоторую понятную слушателю логику развития музыкальной идеи, которую западный композитор, например, с той или иной уверенностью фиксирует в грубых системах 24/12РДО.

Сонантометрический анализ партитуры позволяет эту логику уточнить формулами, а детемперация по формулам и прослушивание результата либо испортит эту логику, либо нет. Когда формулы отображают не портящий логику развития пьесы результат, нам по формулам становится ясно, какие пределы ЧИ привлечены композитором (интуитивно или преднамренно) для реализации замысла.

Год назад в Сети появился видеоматериал:



В комментарии сказано:

<< Здесь интерпретация Прелюдии C мажор Баха и фуги (начало) играна в чистой интонации на клавиатуре Tonal Plexus. Очевидно, что Бах не писал эту музыку, чтобы играть в чистой интонации (часть "Хорошо темперированный" в "Хорошо темперированном клавире" имеет своеобразный смысл для настройки), так что это экспериментальное исполнение, которое использует чистые 3ции и 5ты, натуральные 7мы в доминантовых аккордах, и гармоники достигающие предела 17 в уменьшённых аккордах. В нескольких местах, общий тон можно услышать с 'изгибом' от одного аккорда к следующему (как правило, в ii-V последовательностях), где высота должна двигаться по септимальной комме; высота меняется в режиме реального времени шагами JND. Это одиночное мнение. Я играл только начало фуги, очень медленно ; ) Это по двум причинам. Во-первых, так мои пальцы будут послушными и играть правильные клавиши, а во-вторых, так звуками чистой интонации можно малость понаслаждаться. Узнайте больше о Tonal Plexus на http://www.h-pi.com >>

Я ответил сегодня на этот комментарий так:

<< Интересный эксперимент.

Он доказывает мне, что ЧИ предела 17 может не подходить для этой музыки. Я предполагал ранее, и теперь уверен, что неосторожное использование ЧИ выше чем предела 5 способно исказить восприятие этого произведения. >>

Сам я попробовал моделировать близкое к ЧИ звучание прелюдии с привлечением кое-где предела 7 в системах 53РДО:



и 31РДО:



Для сравнения есть модель звучания в обычной системе 12РДО:

Такие исследования могут накопить неплохой материал для изучения механизмов создания-передачи-восприятия-осмысления сообщений через музыкальную логику над нечёткими множествами, которая оказывается многоуровневой в отличие от широко теперь известной двухуровневой над множеством {0, 1}.

[bntr]

Уважаемый commator, в Вашем комментарии вижу

Интересный эксперимент. Он доказывает мне, что ЧИ предела 17 может не подходить для этой музыки.

но, пожалуйста, уточните своё отношение к подобным "изгибам" в Чистой Интонации (разве "изгибы" не отменяют чистоту?):

В нескольких местах, общий тон можно услышать с 'изгибом' от одного аккорда к следующему (как правило, в ii-V последовательностях), где высота должна двигаться по септимальной комме; высота меняется в режиме реального времени шагами JND.

Также прошу проверить, верно ли я понял следующее:

• Каждый сонант можно однозначно обозначить (не используя сонантометрических кодировки и терминологии) набором степеней нечетных простых чисел, например 3^-15¹ (или :Md и :dM (Медант и даМент) всё же разные сонанты?)
• Детемперация музыкального произведения есть поиск соответствующих нотам произведения сонантов (наборов степеней).

[Математик]

Почему даже? Это что - общеизвестная аксиома?
Чем же отличаются пифагорейские знаки альтерации от непифагорейских?

Вы все - таки поясните, что Вы имели в виду, когда спрашивали:

Какой из полутонов больше, а какой - меньше?

[Математик]

Композитор может не знать про существование разновидностей высотной выразительности и связь их с пределами ЧИ. Но он вкладывает в произведение некоторую понятную слушателю логику развития музыкальной идеи, которую западный композитор, например, с той или иной уверенностью фиксирует в грубых системах 24/12РДО.

Возможно, что такого рода "логик" может быть не одна, а несколько. Например, "строго тональная логика", о которой упоминает Риман:

“Старое правило Римана”, которое по мнению самого Римана следует из строго тональной логики, следующим образом согласовано со структурой “тональной системы Оголевца”:
Если из некоторого звука “тональной системы Оголевца” существует ход на пифагорейский хроматический полутон, то следующим ходом в том же направлении может быть (и всегда будет!) только ход на пифагорейский диатонический полутон.
Это есть просто формальное свойство “тональной системы”, рассматриваемой как “граф” указанного вида; оно может быть оформлено в виде математической теоремы.

[vcirkov]

Вы все - таки поясните, что Вы имели в виду, когда спрашивали:

Если для функциональных отличий интервалов мы прибегаем к понятиям, - малый, большой, чистый, - для определения фактической высоты должны были бы пользоваться понятиями, - тон, двутон, полутон и проч. Вот и выходит, что по этой версии полутоны присутствуют исключительно только в ТС. Иначе, диатоника любой другой версии строя состоит не из тонов и полутонов. На практике же мы определяем диатонику понятиями строя, - тон - полутон. Возможно, это уже и не диатоника?

[commator]

верно ли я понял следующее:

• Каждый сонант можно однозначно обозначить (не используя сонантометрических кодировки и терминологии) набором степеней нечетных простых чисел, например 3^-15¹ (или :Md и :dM (Медант и даМент) всё же разные сонанты?)

В последнее время мне стало ясно, что для вычисления ЧИ тональной музыки важно знать обертоново-унтертоновое происхождение каждой участвующей высоты. Разложение на сомножители и дроби в обращении не удобны. Пользуюсь сонантами, которые взаимно-однозначно соответствуют разложению на множители, но показатели степеней в разложении становятся в сонантометрии коэффициентами, а знаки показателей отображаются размером букв сонантов.

Чтобы легко ориентироваться и в сонантах и в дробях, предпочитаю теперь в начале сонанта собирать его большебуквенные элементы, а в конце -- малобуквенные. Например, для тона выше оригинанта на дидимову комму теперь сонант опишу так:

>До₀=:4Dm4t [⁸¹/₈₀] ↔ 3⁴·5^-1·2^-4= ⁸¹/₈₀

и не стану описывать так:

>До₀=:m4t4D [/₈₀⁸¹/] ↔ 5^-1·2^-4·3⁴= /₈₀⁸¹/.

Другими словами четыреДент мачетыретанта я употреблю, а мачетыретант четыреДента не привлеку, как неудобный, хотя и математически возможный.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется, но в контекстах разных тональностей одна и та же высота меняет свой логический смысл и будет описана разными сонантами, что и окажется явным признаком присутствия одной и той же высоты в разных тональностях. Например:
Дент Детанта, или доминант в Соль-мажоре (=ре₁=:DDt [^3·3/₂] ↔ 3¹·3¹·2^-1= 3·3/₂)
окажется
дваТентом дваДетританта или вторым тонантом в Ре-мажоре (=ре₁=:2T2D3t [^4·9/₈] ↔ 2²·3²·2^-3= ^4·9/₈).

...

• Детемперация музыкального произведения есть поиск соответствующих нотам произведения сонантов (наборов степеней).

Да, это так, но в связи с тем, что Вы написали в скобках, уточню: стараюсь всегда помнить, что высота и её сонант существуют в пространстве ощущений, порождённых стимулами из пространства частот.

Ощущения -- по закону Вебера-Фехнера -- в логарифмической зависимости от стимулов, поэтому операции произведения и возведения в степень из пространства стимулов-частот отображаются в пространство ощущений-высот как сложение и умножение на коэффициент соответственно.

[bntr]

Уважаемый commator, из этого абзаца

..это экспериментальное исполнение, которое использует чистые 3ции и 5ты, натуральные 7мы в доминантовых аккордах, и гармоники достигающие предела 17 в уменьшённых аккордах.

понимаю, что иногда мы можем детемперировать септаккорд в ЧИП7, предполагая, что композитор привлёк "натуральную септиму" 7/4.

Пожалуйста, объясните (или направьте), исходя из чего - из каких "натуральных" интервалов или каких правил "логики развития музыкальной идеи" - мы можем предположить, что композитор привлёк ЧИ предела более 7?
К сожалению, не понимаю, с какой стати предполагают "гармоники достигающие предела 17 в уменьшённых аккордах".

[Математик]

Давайте по пунктам. Вы согласны с моим утверждением о том, что:

... диаграмма в книге
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О.
Конкретная математика. Основание информатики.
М.: Мир, 1998, сc. 139 — 141.
http://www.px-pict.com/10/4/4/13.html

на которую обычно ссылаются, не является деревом из-за пририсованных там вершин с метками 0 / 1 и 1 / 0 .
Эти вершины, однако, являются существенными, если растить Дерево с помощью операции медианты.

Не согласен.

Где-то читал: {⁰/₁, ¹/₀} называется корневище, ¹/₁ есть ствол, а всё остальное именуется крона.

Дерево без корневища есть обрубок и в полном объёме не растёт.

Не так уж сложно открыть любой стандартный учебник по информатике и прочитать в нем определение “дерева”.
Прочитать определения того, что называется “деревом”, “двоичным (бинарным) деревом”, “полным бинарным деревом”:
http://www.px-pict.com/9/7/1/2/4.html

Все давно и хорошо известно.
Нет оснований заниматься какими – либо фантазиями:

Где-то читал: {⁰/₁, ¹/₀} называется корневище, ¹/₁ есть ствол, а всё остальное именуется крона.

Дерево без корневища есть обрубок и в полном объёме не растёт.

[Математик]

Нет оснований заниматься какими – либо фантазиями:

Где-то читал: {⁰/₁, ¹/₀} называется корневище, ¹/₁ есть ствол, а всё остальное именуется крона.

Дерево без корневища есть обрубок и в полном объёме не растёт.

Возможно, Вам будет полезно посмотреть на изображение Дерева на сайте mathworld:
http://mathworld.wolfram.com/Stern-BrocotTree.html

А также, на изображение других бинарных деревьев:
http://mathworld.wolfram.com/BinaryTree.html

[bntr]

К сожалению, не понимаю, с какой стати предполагают "гармоники достигающие предела 17 в уменьшённых аккордах".

(К сожалению, не сразу) догадался до ответа сам: с той стати, что предполагают, будто в уменьшённых аккордах композитор привлёк 17/16 вместо 27/25 (подобно 7/4 вместо 9/5, и 5/4 вместо 81/64).

Если так, уважаемый commator, скажите, есть ли в сети произведения, на Ваш взгляд, оправданно детемперированные (или изначально написаные) в ЧИ предела более 7?