Теория групп еще не сказала своего последнего слова в теории музыки

[commator]

Сегодня попалось интересное сочинение:

ТЕОРЕТИКО-ГРУППНОЕ ОПИСАНИЕ ЧИСТОЙ ИНТОНАЦИИ:

Эта ссылка испортилась, но есть другая:

https://staff.fnwi.uva.nl/a.k.honing...s/UCM_full.pdf

[Математик]

Одним из интересов по теме являются интересные для меня (и чисто с математической, и с теоретико-музыкальной точек зрения) бесконечные абелевы группы, каковыми являются в своей основе системы ЧИПp.

отдельно взятая система предела р ​- бесконечна?

Конечно!!!

И все они вложены по “матрешкиной схеме” вот в эту бесконечную абелеву группу:

Во всяком случае, та “свободная абелева группа G с бесконечным базисом”:

Вообще, ЧИП3, ЧИП5 и ЧИП7 -- все они просятся рассмотреть их с некоторой единой точки зрения. С точки зрения теории (бесконечных) абелевых групп:
“… если мы привлечем все положительные дроби, то увидим, что при композиции путем умножения положительные рациональные числа образуют абелеву группу G без кручения.

Единичным элементом этой группы служит число 1. Теорема об однозначной разложимости целых чисел на простые множители, очевидно, означает, что в группе G положительные простые числа образуют бесконечный базис.

Простейшими подгруппами группы G являются, например, совокупности всех рациональных чисел, для представления которых используются только определенные простые числа …"
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/2/8.html

Таким образом, просто вводим в рассмотрение (в зависимости от номера ЧИПа) то меньше, то больше простых чисел в качестве образующих соответствующей абелевой группы.

Но при этом желательно, все же, идти по этапам (от простого к сложному). То есть лучше начать, все же, с простейшего случая ЧИП3 (как бы “потренироваться на кошках”). И в этом плане сочинения “раннего” Оголевца являются бесценным основополагающим материалом.

Во всяком случае, та “свободная абелева группа G с бесконечным базисом”:
о которой пишет в своей книге “Лекции по теории алгебраических чисел” Э. Гекке,
была построена именно тогда (в своеобразном представлении):
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html

И, как мы видим, ее построение было мотивировано именно конструкциями теории музыки.

И не с тех ли пор пошла мода называть групповую операцию (в данном случае, это будет “операция составления отношений") "законом или правилом композиции"?

Так делает, например, тот же Э. Гекке при определении понятия группы:
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/2/5.html

Которая известна, по сути дела, с самого начала зарождения “теоретической арифметики” …
----------------------------------------------------------------

А у англоязычных действительно использование теоретико-групповых конструкций уже давно является обычным делом. См., например, в книге Дэвида Райта
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/7/5.html
(примеры в конце указанной страницы)

[commator]

А у англоязычных действительно использование теоретико-групповых конструкций уже давно является обычным делом. См., например, в книге Дэвида Райта
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/7/5.html
(примеры в конце указанной страницы)

А русскоязычные даже не чешутся в этом направлении.

Может быть англоязычные просто дураки и занимаются всякими глупостями потому что не удосужились перевести на английский труды Холопова?

[Математик]

Сегодня попалось интересное сочинение:

ТЕОРЕТИКО-ГРУППНОЕ ОПИСАНИЕ ЧИСТОЙ ИНТОНАЦИИ:

Эта ссылка испортилась, но есть другая:

https://staff.fnwi.uva.nl/a.k.honing...s/UCM_full.pdf

А вот расшифровка того, что означает аббревиатура "UCM":
UCM — Conference “Understanding and Creating Music”. Например:
UCM 2004 - Understanding and Creating Music - Caserta, Italia, November 2004, 23-27.
http://www.auditory.org/mhonarc/2004/msg00698.html

[Математик]

Сегодня попалось интересное сочинение:
ТЕОРЕТИКО-ГРУППНОЕ ОПИСАНИЕ ЧИСТОЙ ИНТОНАЦИИ:

Эта ссылка испортилась, но есть другая:
https://staff.fnwi.uva.nl/a.k.honing...s/UCM_full.pdf

А вот расшифровка того, что означает аббревиатура "UCM":
UCM — Conference “Understanding and Creating Music”. Например:
UCM 2004 - Understanding and Creating Music - Caserta, Italia, November 2004, 23-27.
http://www.auditory.org/mhonarc/2004/msg00698.html

Точная ссылка на эту работу:
Aline Honingh. Group Theoretic Description of Just Intonation.
In: Proceedings of UCM, Volume 3 , 2003

Другая интересная (и более поздняя) работа этого же автора:
Honingh, A.
A geometrical approach to find the preferred intonation of chords.
Report No.TR/2008/DOC/02).
City University, London, 2008.
http://openaccess.city.ac.uk/4123/1/...DOC_02_(1).pdf

[Математик]

Точная ссылка на эту работу:
Aline Honingh. Group Theoretic Description of Just Intonation.
In: Proceedings of UCM, Volume 3 , 2003

Хотя, конечно, это далеко не единственная работа по использованию теоретико-групповых методов в теории музыки. См., например:
Marcus Pearce.
The Group-theoretic Description of Musical Pitch Systems.
Music Cognition Lab
School of Electronic Engineering & Computer Science
Queen Mary, University of London.
http://px-pict.com/articles/groups/balzano.rar
(это заархивированный pdf - файл)

А у англоязычных действительно использование теоретико-групповых конструкций уже давно является обычным делом. См., например, в книге Дэвида Райта
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/7/5.html
(примеры в конце указанной страницы)

[Математик]

Приобщим к делу и эту страничку о применении теоретико-групповых методов в теории музыки:
Just intonation subgroups
A just intonation subgroup is a group generated by a finite set of positive rational numbers via arbitrary multiplications and divisions. Any such group will be contained in a p-limit group for some minimal choice of prime p, which is the prime limit of the subgroup.

It is only when the group in question is not the entire p-limit group that we have a just intonation subgroup in the strict sense. Such subgroups come in two flavors: finite index and infinite index, where intuitively speaking the index measures the relative size of the subgroup within the entire p-limit group. For example, the subgroups generated by 4 and 3, by 2 and 9, and by 4 and 6 all have index 2 in the full 3-limit (Pythagorean) group. Half of the 3-limit intervals will belong to any one of them, and half will not, and all three groups are distinct. On the other hand, the group generated by 2, 3, and 7 is of infinite index in the full 7-limit group, which is generated by 2, 3, 5 and 7. The index can be computed by taking the determinant of the matrix whose rows are the monzos of the generators.

A canonical naming system for just intonation subgroups is to give a normal interval list for the generators of the group, which will also show the rank of the group by the number of generators in the list. Below we give some of the more interesting subgroup systems. If a scale is given with the system, it means the subgroup is generated by the notes of the scale. Just intonation subgroups can be described by listing their generators with dots between them; the purpose of using dots is to flag the fact that it is a subgroup which is being referred to. This naming convention is employed below.
http://xenharmonic.wikispaces.com/Ju...tion+subgroups

[Математик]

Какие эксперименты нужно произвести, чтобы установить наличие в реальном геометрическом пространстве направленных отрезков?
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/2/2.html

Важны они для меня. Их можно без ущерба доабстрагировать до такой фундаментальной теоретико-множественной конструкции, как “упорядоченная пара”. Ну, а на определенных множествах упорядоченных пар естественным образом возникает структура “группоида Брандта” (предшественника групп в теоретико-музыкальном контексте).
О группоидах Брандта:
http://www.px-pict.com/9/5/2/7.html

Конкретно о группоидах Брандта, элементами которых являются упорядоченные пары (Pair Groupoids):
http://mathworld.wolfram.com/PairGroupoid.html

Мне все же хотелось бы подойти к применению теоретико-групповых методов в теории музыки со стороны так называемых “группоидов Брандта”:
http://www.px-pict.com/9/5/2/7/1/3.html

В принципе, группоиды Брандта являются “частичными группами”, т. е. группами, в которых операция композиции определена не для любой пары элементов.
Такой подход, как мне представляется, позволит развить наиболее фундаментальную теорию по приложению групповых методов в теории музыки.
------------------------------------------

Достаточно указать, например, что античная операция “непосредственного” составления упорядоченных пар натуральных величин:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html#2

естественным образом индуцирует на множестве всех таких пар структуру некоторого группоида Брандта.

[Математик]

Одним из интересов по теме являются интересные для меня (и чисто с математической, и с теоретико-музыкальной точек зрения) бесконечные абелевы группы, каковыми являются в своей основе системы ЧИПp.

Было бы крайне полезно сопроводить это утверждение какими-то изящными и наглядными примерами, чтобы даже ребёнок убедился: да, бесконечные абелевы группы встречаются и таковы системы ЧИПp, например.

Думаю, что решать такие проблемы не менее важно, чем преодолевать пороги понимания подобных абстракций в границах собственных размышлений.

К слову, ещё в 2007-м мною добавлено предложение в англоязычную Вики*:

It is possible to describe just intonation in terms of free abelian group.

С тех пор статья очень изменилась, но этого предложения сие не коснулось**.

В русскоязычной Вики сопоставимой статьи всё ещё нет.


*) http://en.wikipedia.org/w/index.php?...ldid=115566333
**) http://en.wikipedia.org/wiki/Music_a...cs#cite_ref-15

Отсюда можно начать чтение о группах:
http://www.px-pict.com/9/5/3/3/2.html

[commator]

Отсюда можно начать чтение о группах:
http://www.px-pict.com/9/5/3/3/2.html

Ну я-то читал такое ещё в 70-х, притом досталось мне тогда с большим трудом понимание написанного, хотя честно добытое высшее электротехническое образование у меня уже было.

До сих пор нет хороших идей для изложения всего этого как-то популярнее, что ли. И есть потому ощущение, что ценность сего всё ещё остаётся за пределами возможностей понимания подавляющего большинства музыкантов, считающих себя вполне образованными.

Между тем, куда в музтеории не ткнись, везде можно выявить очертания групп.