Использование логарифмов в музыкознании

[commator]

Теория связана ли с практикой, вот в чем вопрос?

То есть логарифмы - это практика, а что же теория?

Музыкальная теория строится преимущественно в пространстве музыкальных ощущений, которое связано с пространством музыкальных стимулов через логарифмическую зависимость закона Вебера-Фехнера. Однако теория не может обходиться без обращения к пространству стимулов и в неё проникают логарифмические соотношения ощущений с порождающими стимулами.

Таким образом логарифмы скорее для теории свойственны, чем для практики.

Не секрет, что огромное количество практикующих музыкантов и слушателей пребывает в пространстве музыкальных ощущений ничего толком не зная о музыкальной теории и логарифмах, т. е. не интересуясь числовыми подробностями пространства музыкальных стимулов. Один достаточно известный англичанин писал (Бозанкет, Роберт Холфорд Макдоуoл. О теории деления октавы. Труды Королевского общества, No. 161, 1875, сс. 390-1):

<<...
В первоначальной статье, представленной автором Королевскому Обществу, как мера интервалов применялись логарифмы, поскольку они обычно используются другими. Больше преимуществ было найдено, однако, следуя от принятия за единицу интервала равномерно темперированного (Р. Т.) полутона, который является 1/12 октавы. Это единица наиболее знакома музыкантам, и была найдена, чтобы дать выражение теории циклических систем посредством формул самого простого вида

In the original paper presented by the writer to the Royal Society, logarithms were employed as the measure of intervals, as they have been commonly employed by others. Great advantages have been found, however, to result from the adoption of the equal temperament (E. T.) semitone, which is 1/12 of an octave, as the unit of interval. It is the unit most familiar to musicians, and has been found to admit of the expres­sion of the theory of cyclical systems by means of formulae of the simplest character

...>>

[Математик]

Мне очень нравятся многие Ваши метафоры, выданные в режиме “hard brainstorming mode”. Так что я не склонен преуменьшать их значение.

Недавно попалось видео с фольклором. Бабушка сначала напевала в рамках функционального обозначения высот, а потом запела вместе с хором и звуки искривились до неузнаваемости. Этот прием включения интонационного тока примечателен не только для фольклора. В живописи есть такое различие между предметом и структурой формы, которая еще называется композицией. Ложка, попадая в стакан воды, искривляется в ней. Вода в моей аналогии - интонационная среда, о которой я писал ранее. http://vcirkov.narod.ru/sreda.htm

Возможно, что в плане “искривления” поможет “риманова геометрия”.
(речь в данном случае, конечно, идет не о музыкально – теоретическом, а о геометрическом Римане)
Просмотрите, пожалуйста, оглавление классической книги:
Рашевский П.К.
Риманова геометрия и тензорный анализ.
3-е изд., М.: Наука, 1967.
http://www.px-pict.com/10/3/4/15/1.html

[Математик]

Спасибо, очень интересно, vcirkov.
Но вот возьмите сферу. У нее как раз два полюса: северный и южный. И применяется она очень широко в геометрии. Например, хотя бы в так называемой стереографической проекции:
http://www.px-pict.com/10/3/4/11/4/36.html

Я это к тому, что “римановой геометрии” не надо бояться. Нам понадобятся только достаточно элементарные конструкции, наподобие “сферы Римана”:
Все необходимые здесь конструкции могут быть представлены очень наглядно, что продемонстрировал, в частности, Давид Гильберт:
http://www.px-pict.com/10/3/4/11/4.html
http://www.px-pict.com/10/3/4/11/0.html

[vcirkov]

Я это к тому, что “римановой геометрии” не надо бояться. Нам понадобятся только достаточно элементарные конструкции, наподобие “сферы Римана”:

У меня была такая зрительная аналогия аккордов в виде новогодней гирлянды со снежинками из бумаги. Теперь будут сферы вместо снежинок. Звуки изображаем не точками, а кружочками (сферами), в которых ставим значки - (+ и -), что будет подобно ян и инь. Пустой кружок - звук-полюс, вокруг которого строятся прочие.

[Математик]

... несколько определений из статьи Lindley M., Turner-Smith R. “An Algebraic Approach to Mathematical Models of Scales”:
“Нашей отправной точкой является континуум питчей, который сам по себе не является какой-либо математической конструкцией, а является, скорее, некоторым интуитивным понятием, поскольку питч субъективен. (Питчи, в том виде как мы слышим их, не могут быть измерены, а могут только оцениваться.)”:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/15/1.html

Идея использования flogs'ов вместо logs'ов – хорошая.
“Используя логарифмы по основанию 2, можно легко определить сложение "логарифмов по модулю 1" (которые мы называем "flogs" или "флогсами") таким образом, чтобы эта сумма была бы приемлемой с музыкальной точки зрения в контексте процесса, при котором складываются друг с другом "флогсы" двух питч-классов отношений”.
(пункты [2] и [3] по указанной выше ссылке)

[Математик]

Какова причина использования логарифмов в музыкознании?
Это просто некоторый технический прием или же нечто большее?
Риман был большим другом логарифмов:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/3.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/4.html

Так Риман же был грамотный немец, искренне стремился разгадать секреты устройства музыки, и мог понимать скорее естествоведов, чем гуманитариев Гельмгольца и Эттингена.

Наше музыкознание с естественными науками и логарифмами, разве что до сталинских времён, могло слегка подружиться. Потом про логарифмы кое-что знать могли лишь инженеры фабрик музыкальных инструментов, да настройщики, которые музыковедами у нас и по сей день не числятся.

У меня такое ощущение, что постсоветское строго гуманитарное музыкознание с логарифмами не дружит. Как и британское во времена Римана. Российское дореволюционное в СПб дружить собиралось. В Москве, вероятно, нет.

Почти не сомневаюсь: большинство уважающих себя постсоветских музыковедов гордо заявит, что будучи дипломированными музыкантами, они всё слышат без всяких замшелых немцев, с их бесполезными логарифмами и теориями.

Феликс Клейн утверждал, что в школе не дают адекватного представления о логарифмах:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/8/3/1.html

[Математик]

Идея использования flogs'ов вместо logs'ов – хорошая.
“Используя логарифмы по основанию 2, можно легко определить сложение "логарифмов по модулю 1" (которые мы называем "flogs" или "флогсами") таким образом, чтобы эта сумма была бы приемлемой с музыкальной точки зрения в контексте процесса, при котором складываются друг с другом "флогсы" двух питч-классов отношений”.
(пункты [2] и [3] по указанной выше ссылке)

Феликс Клейн утверждал, что в школе не дают адекватного представления о логарифмах:

Было бы желательно дать чисто теоретико-музыкальное обоснование теории логарифмов. Думаю, что это вполне возможно, поскольку тот же Клейн указывает в качестве логарифмического предтечи немецкого математика XVI века шваба Михаэля Штифеля:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/8/3/1/2.html

В контексте теории музыки упомянутая Клейном книга сего шваба мелькает здесь:
Section 10.43
Next, to prepare for Zarlino’s arithmetic and harmonic divisions, we must also consider the work of Michael Stifel. In commentaries to his German translation of the Prima Parte and Seconda Parte of the Istitutioni harmoniche, Michael Fend gives the following description and translated excerpt from Stifel’s Arithmetica integra (1544):
http://www.chrysalis-foundation.org/...nd_Zarlino.htm

[commator]

теоретико-музыкальное обоснование теории логарифмов

По оси абсцисс откладывайте частоты, а по оси ординат соответствующие им номера клавиш пианино.

Должна получиться логарифмическая кривая.

[Математик]

Феликс Клейн утверждал, что в школе не дают адекватного представления о логарифмах:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/8/3/1.html

Углубленное и вместе с тем понятное изложение теории логарифмов для школьников дать пытаются:
И. Б. АБЕЛЬСОН. РОЖДЕНИЕ ЛОГАРИФМОВ.
огиз • гостехиздат • 1948 (html- версия книги)
http://www.oldskola.narod.ru/RozLog/rozlog00.htm

Но все же надо отметить, что одно из ключевых понятий здесь (понятие “геометрической прогрессии”, см. Главу III по указанной ссылке) первоначально возникло из задач теории музыки (под брэндом “непрерывной пропорции”):
http://www.px-pict.com/7/3/1/9/2/1/1.html

Также и появление “среднего геометрического”:
http://www.oldskola.narod.ru/RozLog/rozlog10.htm

(под брэндом “среднего пропорционального”):
http://www.px-pict.com/7/3/1/9/2/1/1/5.html

тоже, вроде бы, было навеяно именно теоретико-музыкальной проблематикой.

Было бы желательно дать чисто теоретико-музыкальное обоснование теории логарифмов. Думаю, что это вполне возможно...

---------------------------------------

По оси абсцисс откладывайте частоты...

Вы же знаете, что мне больше нравятся длины струн (вернее, отношения длин струн):
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1.html

[commator]

мне больше нравятся длины струн (вернее, отношения длин струн)

Ощущение высоты создают не струны, а периодические колебания воздействия окружающей среды на органы слуха.