Дерево; его смысл и значение

Имеет ли Дерево какое-либо отношение к теории музыки?
А если имеет, то какое?

Цитата:

---

Сообщение от commator

Знакомлюсь с Деревом.

---

Цитата:

---

Сообщение от commator

Впечатляющая картинка для иллюстрации концепции чистой интонации. С каждым новым рядом ветвлений ЧИ разрастается до своего очередного предела, начиная с ЧИП0!

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Цитата:

---

Сообщение от commator

Я не пользуюсь для выращивания ДШБ тремя ранее построенными величинами для нахождения четвёртой гармонической.

Просто суммирую раздельно числители и знаменатели двух ранее построенных величин для нахождения третьей.

---

Вы можете объяснить, почему так делаете?

---

Потому что так делать посоветовали другие:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Дерево_Штерна_—_Броко

Нахожу, что так выращивать ДШБ проще всего.

Цитата:

---

Сообщение от commator

Потому что так делать посоветовали другие:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Дерево_Штерна_—_Броко

Нахожу, что так выращивать ДШБ проще всего.

---

Ну, а смысл такого “выращивания” в чем?
И зачем ДШБ вообще нужно выращивать?

Цитата:

---

Сообщение от commator

Потому что так делать посоветовали другие:

---

“В каждом узле дерева Штерна — Броко ... стоит медианта ...”
http://ru.wikipedia.org/wiki/Дерево_Штерна_—_Броко

За термином “медианта” скрывается операция сложения векторов в векторном пространстве вектор – столбцов высоты 2 (или вектор – строк длины 2, как знать):
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/6/2/1.html

Но ведь Вы неоднократно декларировали свое скептическое отношение к векторам:

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Я уже пытался поднять ранее “точечно – векторную” тему:
Однако тогда Вы об этом молчали:
Более того, выражали определенный скептицизм по поводу использования векторов:

---

Цитата:

---

Сообщение от commator

На этот счёт я и сейчас помалкиваю скептически. Говорят про векторы vcirkov, Джо Монзо, ну и Вы, понятное дело.

---

А теперь выясняется, что сами их используете.
Где же логика?

Цитата:

---

Сообщение от Математик

зачем ДШБ вообще нужно выращивать?

---

Этот вопрос (если он без подвоха) указывает на отсутствие у Вас опыта решения практических задач детемперации/перенастройки музыкальных произведений, зафиксированных в системах 24/12РДО.

Мой скромный опыт этого рода потребовал не только выращивания ДШБ, но и преобразования его в

Цитата:

---

Сообщение от commator

сонантометрический диск <...>:

https://lh6.googleusercontent.com/-5...-dur_G-dur.jpg

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

За термином “медианта” скрывается операция сложения векторов <...>
Но ведь Вы неоднократно декларировали свое скептическое отношение к векторам:
А теперь выясняется, что сами их используете.
Где же логика?

---

Если не конструировать софизмы, логика не пропадает. В народной статье Медианта пока только о дробях речь, а о векторах ещё ни слова. И я пока пользуюсь только дробями, а к векторам всё ещё не расположен.

Цитата:

---

Сообщение от commator

Потому что так делать посоветовали другие:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Дерево_Штерна_—_Броко

Нахожу, что так выращивать ДШБ проще всего.

---

Цитата:

---

Сообщение от commator

В народной статье Медианта пока только о дробях речь, а о векторах ещё ни слова. И я пока пользуюсь только дробями, а к векторам всё ещё не расположен.

---

И, все же, если хорошенько подумать?
Тогда и получается, что указанная Вами операция становится осмысленной только в контексте некоторой системы, а именно в контексте той системы, которую я указал:

Цитата:

---

Сообщение от Математик

За термином “медианта” скрывается операция сложения векторов в векторном пространстве вектор – столбцов высоты 2 (или вектор – строк длины 2, как знать):
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/6/2/1.html

---

Смысл использования этой операции на Дереве проясняется конструкцией, описанной, например, у Александрова:
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/1/21/7.html

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Смысл использования этой операции на Дереве проясняется конструкцией, описанной, например, у Александрова:
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/1/21/7.html

---

Все это может быть проинтерпретировано в духе “геометрии чисел”:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2/3.html

Как мы помним, в теории цепных дробей тоже используется понятие “медианты”:
http://www.px-pict.com/7/4/4/10/7/1.html

Которая в “геометрии чисел” моделируется именно операцией сложения векторов.

Цитата:

---

Сообщение от commator

В народной статье Медианта пока только о дробях речь, а о векторах ещё ни слова. И я пока пользуюсь только дробями, а к векторам всё ещё не расположен.

---

Объекты определяются свойствами действующих на множестве объектов операций, как об этом хорошо метафорически описано у Гудстейна:
http://www.px-pict.com/9/6/4/8/4/4.html

Дроби под действием операции медианты “ходят” как векторы, поэтому они и неотличимы от векторов (в контексте операции медианты).

Цитата:

---

Сообщение от Математик

И, все же, если хорошенько подумать?

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Все это может быть проинтерпретировано в духе “геометрии чисел”

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Дроби под действием операции медианты “ходят” как векторы

---

Хорошенько подумал лет тридцать и нашёл наиболее удобным использование для анализа партитур порождённых музыкальной теорией средств, а именно формул тональных функций.

Алгебра тональных функций -- ни арифметика ни геометрия и моё имя ей сонантометрия, где каждая формула оказывается логарифмическим образом взаимно-однозначно соответствующей дроби.

Для нужд музыкального интерпретирования нотного текста достаточно лишь формул, без использования дробей и тем более векторов. Если надо, переход от формул к дробям, центам или зонам Гарбузова и обратно можно делать через логарифмический образ ДШБ, который я именую

Цитата:

---

Сообщение от commator

сонантометрический диск <...>:

https://lh6.googleusercontent.com/-5...-dur_G-dur.jpg

---

Цитата:

---

Сообщение от commator

Если надо, переход от формул к дробям, центам или зонам Гарбузова и обратно можно делать через логарифмический образ ДШБ, который я именую "сонантометрический диск".

---

Поясните, пожалуйста, сказанное Вами более подробно. Можно начать с более подробного пояснения следующей фразы:

Цитата:

---

Сообщение от commator

...каждая формула оказывается логарифмическим образом взаимно-однозначно соответствующей дроби.

---

Можно даже начать с совсем для Вас, по-видимому, простого: уточните, пожалуйста, что Вы подразумеваете под “логарифмическим образом дроби”?
---------------------------

Цитата:

---

Сообщение от commator

Алгебра тональных функций -- ни арифметика ни геометрия и моё имя ей сонантометрия, где каждая формула оказывается логарифмическим образом взаимно-однозначно соответствующей дроби.

---

А как Вы относитесь к известной цитате из Библии:

“Что было, то и будет; и что делалось, то и будет делаться,
и нет ничего нового под солнцем.
Бывает нечто, о чем говорят: "смотри, вот это новое",
но это было уже в веках, бывших прежде нас.
Нет памяти о прошлом; да и том, что будет,
не останется в памяти у тех, которые придут после.”

Экклезиаст, 1, 9 — 11

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Имеет ли Дерево какое-либо отношение к теории музыки?
А если имеет, то какое?

---

Цитата:

---

Сообщение от commator

Хорошенько подумал лет тридцать и нашёл наиболее удобным использование для анализа партитур собственных средств музыкальной теории, а именно формул тональных функций.

Алгебра тональных функций -- ни арифметика ни геометрия и моё имя ей сонантометрия, где каждая формула оказывается логарифмическим образом взаимно-однозначно соответствующей дроби.

Для нужд музыкального интерпретирования нотного текста достаточно лишь формул, без использования дробей и тем более векторов. Если надо, переход от формул к дробям, центам или зонам Гарбузова и обратно можно делать через логарифмический образ ДШБ, который я именую "сонантометрический диск".

---

Все же Вы не пересмотрели еще свой тезис о дружественности Дерева к музыке?

Цитата:

---

Сообщение от commator

Выходит Сам Господь в Дробном Виде мне Явился. Спасибо за осведомление. Постараюсь и дальше идти тем путём, на котором Его встретил.

Тут не испуг, а нечто иное...

Когда я стал ниспадать с вершин институтской высшей математики к решению насущных проблем, то на обычном уровне удержаться не смог. Влетел в бездну математики низшей, но залетел не глубоко.

Потому что зацепился за понятие предиката, а рядом никого не было чтобы подсказать, где у него дружественность и как ею пользоваться. Пришлось самому разбираться, чтобы отцепиться для дальнейшего погружения. Лет пять ушло на предикатное зависание.

Другими словами Сам Господь не Страшен, а как Его намалевали жрецы я ещё не понял.

Вот о дружественности ДШБ к Музыке мне открылось понимание в полной мере. Нет сомнений, что вся естественная музыкальная гармония, как вертикальная, так и горизонтальная в нём упакована. Любая приятная музыка всегда обязана оказаться некоторым поддеревом ДШБ.

---

Цитата:

---

Сообщение от commator

Хорошенько подумал лет тридцать и нашёл наиболее удобным использование для анализа партитур собственных средств музыкальной теории, а именно формул тональных функций.

Алгебра тональных функций -- ни арифметика ни геометрия и моё имя ей сонантометрия, где каждая формула оказывается логарифмическим образом взаимно-однозначно соответствующей дроби.

Для нужд музыкального интерпретирования нотного текста достаточно лишь формул, без использования дробей и тем более векторов. Если надо, переход от формул к дробям, центам или зонам Гарбузова и обратно можно делать через логарифмический образ ДШБ, который я именую "сонантометрический диск".

---

А помните, уважаемый commator, у нас с Вами была беседа о логарифмах и Дереве:

Цитата:

---

Сообщение от Математик

В плане дальнейшего постижения сути эпиморных отношений будет полезно следующее замечание:
Каждое рациональное отношение на Дереве может быть представлено в виде произведения эпиморных отношений.

Получить это представление легко, стартуя с корня дерева Штерна-Броко (ДШБ) (т. е. с отношения 1 / 1 ) и продвигаясь далее к выбранному рациональному отношению по синим и красным дугам Дерева:
http://www.px-pict.com/10/4/4.html#1

Движение по дуге (красной или синей) может быть ассоциировано с элементарной эпиморной трансформацией, т. е. с умножением (или делением) отношения, из которого исходит дуга на вполне определенное эпиморное отношение. Это следует из более раннего замечания:


Например, для отношения 5 / 7 имеем следующее представление в виде произведения эпиморных отношений:
( 1 / 1 ) * ( 1 / 2 ) * ( 4 / 3 ) * ( 9 / 8 ) * ( 20 / 21 ) = ( 5 / 7 )

Логарифмируя обе части равенств, подобных приведенному, приходим к выводу, что центовое значение любого интервала равно сумме центовых значений составляющих его эпиморных интервалов.
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/6.html
--------------------------------------

Мы также получаем следующее утверждение: любое рациональное отношение может быть развернуто из отношения равенства при помощи некоторой последовательности элементарных эпиморных трансформаций.

---

Цитата:

---

Сообщение от commator

Если я всё правильно понял, то не может быть рациональных отношений, которые не на Дереве. Или я ошибаюсь?

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Разумеется, Вы не ошибаетесь. Я употребил термин “рациональное отношение” вместо термина “рациональное число” для того, чтобы держаться ближе к античной традиции. В те времена, как известно, не существовало понятий рационального или иррационального числа, но существовало понятие рационального или иррационального отношения:
http://www.px-pict.com/7/3/1/13.html

Музыкальные интервалы связывались с рациональными отношениями. Б. Л. ван дер Варден:
Исходя из упомянутых ... повседневных наблюдений о влиянии на высоту тона натяжения, длины струны или звучащего столба воздуха, а может быть также и под влиянием вавилонских теорий, Пифагор пришел к мысли о сопоставлении тонов с числами, а консонансов — с числовыми отношениями.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html

---

Цитата:

---

Сообщение от commator

Если такая композиция уникальна для каждого рац. отношения, то она напоминает уникальность канонической композиции простых чисел для каждого натурального числа.

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Мы можем назвать указанное выше разложение произвольного рационального отношения в произведение эпиморных отношений каноническим. Оно уникально в том смысле, что на Дереве существует ровно один путь, ведущий от его корня (помеченного отношением равенства) к его узлу, помеченному данным рациональным отношением.

---

Правда, тогда Вы о "сонантометрическом диске" ничего не говорили.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

А помните, уважаемый commator, у нас с Вами была беседа о логарифмах и Дереве:

Правда, тогда Вы о "сонантометрическом диске" ничего не говорили.

---

Это было около двух лет назад, а сонантометрическому диску нет ещё и года.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Цитата:

---

Сообщение от commator

Алгебра тональных функций -- ни арифметика ни геометрия и моё имя ей сонантометрия, где каждая формула оказывается логарифмическим образом взаимно-однозначно соответствующей дроби

---

А как Вы относитесь к известной цитате из Библии:

“Что было, то и будет; и что делалось, то и будет делаться,
и нет ничего нового под солнцем.
Бывает нечто, о чем говорят: "смотри, вот это новое",
но это было уже в веках, бывших прежде нас.
Нет памяти о прошлом; да и том, что будет,
не останется в памяти у тех, которые придут после.”

Экклезиаст, 1, 9 — 11

---

Если я напишу википедийную статью Сонантометрия, то пара-тройка заядлых энтузиастов её удаления мне известна. Возопят что о новом там писать нельзя. С другой стороны мне позволили сделать о сонантометрии доклады на международном симпозиуме и всемирном конгрессе, где было нельзя докладывать о чём-то без признаков нового.

С библейской точки зрения понимаю: пифагорова теорема была всегда. Пифагор лишь первый из нам известных, кто на неё указал. Осознаю, что и сонантометрия была всегда, а я лишь первый пока, кто показал, где она лежит.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

уточните, пожалуйста, что Вы подразумеваете под “логарифмическим образом дроби”?

---

Нашлась на Сети подходящая картинка для удовлетворения Вашего любопытства:
http://algebra3000.narod.ru/fon/log1.jpg
Следует лишь понимать a как дробь ^a/₁. Тогда 1 и -1 на оси y есть образы дробей с оси x, а именно ^a/₁ и ¹/_а , соответственно.

Отображения с оси x на ось y увязаны с логарифмической кривой и в этом случае можно говорить о логарифмических образах дробей.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Все же Вы не пересмотрели еще свой тезис о дружественности Дерева к музыке?​

Цитата:

---

Сообщение от commator

Вот о дружественности ДШБ к Музыке мне открылось понимание в полной мере. Нет сомнений, что вся естественная музыкальная гармония, как вертикальная, так и горизонтальная в нём упакована. Любая приятная музыка всегда обязана оказаться некоторым поддеревом ДШБ.

---

---

Ну, если хотите, из ДШБ можно и неприятную музыку извлечь, как можно лишить жизни водой, без которой жизни нет.

Ещё не пересматривал дружественность ДШБ к Музыке. Пока увлечён её рассматриванием.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

А помните, уважаемый commator, у нас с Вами была беседа о логарифмах и Дереве:
Правда, тогда Вы о "сонантометрическом диске" ничего не говорили.

---

Цитата:

---

Сообщение от commator

Это было около двух лет назад, а сонантометрическому диску нет ещё и года.

---

Ну, а те логарифмы, которые были два года назад?
Они все еще есть, или после открытия (переоткрытия) "сонантометрического диска" их уже нет?

Цитата:

---

Сообщение от commator

Ещё не пересматривал дружественность ДШБ к Музыке. Пока увлечён её рассматриванием.

---

Хочу еще раз напомнить Вам, что если мы желаем говорить о Дереве в контексте теории музыки, то должны интерпретировать метки его узлов как отношения, а не как дроби. Именно отношения, а не дроби находили применение в теории музыки в то время, когда и Дерево, по-видимому, было уже известно.
"... Разгадка этой математической несуразности заключается в том, что практическое приложение теории отношений имело место в построении теории музыки".
http://www.px-pict.com/7/4/2/2/1.html

Цитата:

---

Сообщение от commator

Я не пользуюсь для выращивания ДШБ тремя ранее построенными величинами для нахождения четвёртой гармонической.

Просто суммирую раздельно числители и знаменатели двух ранее построенных величин для нахождения третьей.

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Вы можете объяснить, почему так делаете?

---

Цитата:

---

Сообщение от commator

Потому что так делать посоветовали другие:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Дерево_Штерна_—_Броко

Нахожу, что так выращивать ДШБ проще всего.

---

Хочу обратить Ваше внимание, что диаграмма в книге
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О.
Конкретная математика. Основание информатики.
М.: Мир, 1998, сc. 139 — 141.
http://www.px-pict.com/10/4/4/13.html

на которую обычно ссылаются, не является деревом из-за пририсованных там вершин с метками 0 / 1 и 1 / 0 .
Эти вершины, однако, являются существенными, если растить Дерево с помощью операции медианты.

Подлинно древесными операциями будут унарные операции (т. е. операции от одного аргумента) L, R и V, H , некоторое исследование которых я предпринял в свое время здесь:
http://www.px-pict.com/copies/arbuz/tree/1.html
http://www.px-pict.com/copies/arbuz/tree/2.html
http://www.px-pict.com/copies/arbuz/tree/3.html

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Хочу еще раз напомнить Вам, что если мы желаем говорить о Дереве в контексте теории музыки, то должны интерпретировать метки его узлов как отношения, а не как дроби. Именно отношения, а не дроби находили применение в теории музыки в то время, когда и Дерево, по-видимому, было уже известно.
"... Разгадка этой математической несуразности заключается в том, что практическое приложение теории отношений имело место в построении теории музыки".
http://www.px-pict.com/7/4/2/2/1.html

---

Маленькая добавка к сведениям о дробях и отношениях в античной арифметической и музыкальной теории:
“Итак, поскольку дроби были изгнаны из чистой теории чисел, то естественно встал вопрос, нельзя ли создать для понятия дроби математический эквивалент и таким образом чисто теоретически обосновать вычисления с дробями. Конечно, таким эквивалентом является числовое отношение.”
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0/2.html

Из замечательной книги Б. Л. ван дер Вардена “Пробуждающаяся наука”, оглавление которой я выложил здесь:
http://www.px-pict.com/7/3/1/14.html
----------------------------------------------------------------

В античности строго различались “теоретическая” и “практическая” математики:
“Пифагорейцы первыми возвысили математику до ранее неведомого ей ранга: числа и числовые отношения они стали рассматривать как ключ к пониманию вселенной и ее структуры. Они впервые пришли к убеждению, что "книга природы написана на языке математики", как спустя почти два тысячелетия выразил эту мысль Галилей.”
http://www.px-pict.com/7/3/1/2.html

Именно конструкции “теоретической математики” были во многом мотивированы задачами теории музыки:
“С большой степенью вероятности можно утверждать, что интерес к математике наличествовал в пифагорейской школе с самого ее основания и что положение "все есть число" принадлежит самому Пифагору. Как и в других теориях ранних греческих мыслителей, это положение явилось обобщением очень небольшого числа наблюдений. Не только древние свидетельства, но и ранняя математическая терминология указывают на связь этих наблюдений с музыкой.”
http://www.px-pict.com/7/3/1/1/1/3.html

См. также в арифметических исследованиях Архита и Никомаха:
“В принадлежащей Архиту теории музыки главную роль играют два следующих теоретико-числовых предложения...”
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0.html
------------------------------------------------------------------

Так что нет ничего удивительного в том, что музыкально-теоретические конструкции в конце концов вновь явственно проявились на Дереве.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Ну, а те логарифмы, которые были два года назад?
Они все еще есть, или после открытия (переоткрытия) "сонантометрического диска" их уже нет?

---

Без участия логарифмов диск выглядит так:
http://xenharmonic.wikispaces.com/sp...45216/logo.png
Это логотип XENHARMONIC WIKI

После добавления логарифмов получается не открытие, а лишь заявка на изобретение, мною названное:

Цитата:

---

Сообщение от commator

сонантометрический диск <...>:

https://lh6.googleusercontent.com/-5...-dur_G-dur.jpg

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Хочу еще раз напомнить Вам, что если мы желаем говорить о Дереве в контексте теории музыки, то должны интерпретировать метки его узлов как отношения, а не как дроби. Именно отношения, а не дроби находили применение в теории музыки в то время, когда и Дерево, по-видимому, было уже известно.
"... Разгадка этой математической несуразности заключается в том, что практическое приложение теории отношений имело место в построении теории музыки".
http://www.px-pict.com/7/4/2/2/1.html

---

В контексте теории музыки я метки узлов дерева интерпретирую как сонанты. Вместо 15/8 употребляю :MD3t, а вместо 5/7 пишу :Mq. Мне именно так удобнее всего выяснять (из своих сонантометрических представлений) какие в подвергаемой анализу партитуре получаются дроби.

Если я попрошу свою девятилетнюю внучку, уже умеющую ноты читать и писать, изобразить дробь, она меня поймёт и напишет два целых числа, разделяя горизонтальной или косой палочкой. О том, что дробь есть частный случай отношения, ей толковать ещё рано, думаю.

Не помню, толковали мне такое, или нет, пока я учился. Позже сам об этом узнал, а за пару последних лет уверился, что в контексте теории музыки дробь, обозначающую относительную частоту звучащего тела, лучше всего интерпретировать как соотношение номера обертона (числитель) и номера унтертона (знаменатель) и первым обертоном первого унтертона (¹/₁) считать основной тон ноты До₀ (до большой октавы).

Такая музыкально-теоретическая интерпретация всякого тона явно указывет его дуальный адрес, а имено определённый числителем номер обертона в натуральной скале (НС), порождённой унтертоном с номером в унтеральной скале (УС), определённым знаменателем.

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...ty_5-limit.png

Выясняя без диска нотацию соотношения ^m/_n можно сначала в НС от До₀ [¹/₁] найти высоту обертона m и в УС от найденной ноты [^m/₁] выделить унтертон n, что окажется искомой нотой [^m/_n]. Иначе в УС от До₀ [¹/₁] можно найти унтертон n и в НС от найденной ноты [¹/n] выделить обертон m, что также окажется искомой нотой [^m/_n]. Так я поступаю с малоисследованными сонантами. Нотацию лучше известных определяю быстрее. Например понимая, что нота [⁵/₃=1.(6)] есть :Md (медиант субдоминанта), определяю в уме что это дидимова, большая терция от ноты из класса Фа между первым и вторым обертонами НС от До₀ [¹/₁] (¹/₁<1.(6)<²/₁), чем является пониженная на дидимову комму пифагорейская нота Ля₀-бекар. Для себя нотирую <Ля₀-бекар:Md, а для облегчения понимания другими желающими -- <Ля₀-бекар:Md [⁵/₃].

С диском интерпретировать и нотировать получается ещё быстрее, а способ один и тот же для лучше/хуже изученных сонантов.

Цитата:

---

Сообщение от commator

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Ну, а те логарифмы, которые были два года назад?
Они все еще есть, или после открытия (переоткрытия) "сонантометрического диска" их уже нет?

---

Без участия логарифмов диск выглядит так:
http://xenharmonic.wikispaces.com/sp...45216/logo.png
Это логотип XENHARMONIC WIKI

После добавления логарифмов получается не открытие, а лишь заявка на изобретение, мною названное:

Цитата:

---

Сообщение от commator

сонантометрический диск <...>:

https://lh6.googleusercontent.com/-5...-dur_G-dur.jpg

---

---

Уважаемый bntr показал свою версию диска, что впечатляет:

http://bntr.planet.ee/lj/temperament_circle.png

Мне нравится, что к центовому лимбу изнутри примыкает пространство, где штрихами чётко выявляется затронутый в обсуждении индийской монографии о шрути факт:

Цитата:

---

Сообщение от commator

Цитата:

---

Сообщение от commator

Картинка со стр. 25
http://www.forumklassika.ru/attachme...chmentid=39300

Цитата:

---

Сообщение от commator

Картинку расчитали и построили исходя из психоакустических соображений.

---

---

По поводу этой картинки очень любопытное наблюдение зафиксировано на стр. 24:

<<... Один интересный пункт на заметку из рисунка есть то, что, в общем, не только делаются соотношения, представляющее двенадцать нот [что] имеют МА больше, чем их окружающие, но они также показываются с некоторым свободным пространством с обеих сторон. Они, видятся, чтобы стоять четко отдельно ...>>

Этот факт порождает мысль, что MA можно попытаться поставить в зависимость от ширины свободного пространства вокруг ноты. В первом приближении представляется, что чем шире пространство, тем выше уровень приемлемости.

Может быть эта теория, или ДШБ, или их сочетание способны дать возможность автоматически выстраивать в заданной окрестности вокруг произвольной точки на числовой оси все рациональные числа с заданным верхним пределом значений числителя/знаменателя?

---

Учитывая в центах ширину свободного пространства в окрестности обособленных высотных штрихов, соответствующие им сонанты можно выстроить в следующем порядке обособленности:

1. Оригинант суборигинанта ↔ :Фф [¹/₁] ~ 46 ц.
2. Тонант суборигинанта ↔ :Tф [²/₁] ~ 24 ц.
3. Доминант субтонанта ↔ :Dt [³/₂] ~ 15 ц.
4. Дватонант субдоминанта ↔ :2Td [⁴/₃] ~ 12 ц.
5. Медиант двасубтонанта ↔ :M2t [⁵/₄] ~ 10 ц.
6. Медиант субдоминанта ↔ :Md [⁵/₃] ~ 9 ц.
7. Доминантонант субмедианта ↔ :DTm [⁶/₅] ~ 8 ц.
8. Квартант субмедианта ↔ :Qm [⁷/₅] ~ 7 ц.
9. Квартант субдоминантонанта ↔ :Qdt [⁷/₆] ~ 7 ц.
10. Квартант двасубтонанта ↔ :Q2t [⁷/₄] ~ 6 ц.
11. Тритонант субмедианта ↔ :3Tm [⁸/₅] ~ 6 ц.
12. Тритонант субквартанта ↔ :3Tq [⁸/₇] ~ 6 ц.
13. Двадоминант субмедианта ↔ :2Dm [⁹/₅] ~ 5 ц.
14. Медиантонант субквартанта ↔ :MTq [¹⁰/₇] ~ 5 ц.
15. Двадоминант субтритонанта ↔ :2D3t [⁹/₈] ~ 5 ц.
16. Двадоминант субквартанта ↔ :2Dq [⁹/₇] ~ 5 ц.
17. Медиантонант двасубдоминанта ↔ :MT2d [¹⁰/₉] ~ 5 ц.
18. Ундецимант медиантонанта ↔ :Nmt [¹¹/₁₀] ~ 4 ц.
19. Ундецимант трисубтонанта ↔ :N3t [¹¹/₈] ~ 4 ц.
20. Ундецимант субквартанта ↔ :Nq [¹¹/₇] ~ 4 ц.
21. Ундецимант субдоминантонанта ↔ :Ndt [¹¹/₆] ~ 4 ц.
22. Доминандватонант субундециманта ↔ :D2Tn [¹²/₁₁] ~ 4 ц.
23. ...

Вчера впервые увидел фрагмент ДШБ на интресном чертеже уважаемого bntr, где 1, 2, 3, ... в нижней строке следует понимать как ¹/₁, ²/₁, ³/₁, ... и нет соотношений меньше ¹/₁:

http://bntr.planet.ee/lj/rationals.gif

В моём похожем чертеже (сделан до знакомства с работой ув. bntr) есть и соотношения меньше ¹/₁:

https://lh6.googleusercontent.com/-2...i5register.jpg

К ранее изготовленному диску диапазона ¹/₁..²/_1, ув. bntr добавил ещё два -- для диапазонов ²/₁..⁴/₁ и ¹/₂..¹/₁.
Теперь их можно сравнивать между собой

http://bntr.planet.ee/lj/temperament_circle_2-4.png

http://bntr.planet.ee/lj/temperament_circle.png

http://bntr.planet.ee/lj/temperament_circle_.5-1.png

и с диаграммами шероховатости интервалов Гельмгольца со страниц 193 и 333 всемирно известного эллисова перевода на английский его знаменитой книги (где-то на этом Форуме ув. zesapel давал связь на ON THE SENSATIONS OF TONE):

Вложение 75053 Вложение 75054 Вложение 75055

Сегодня мне показали как настоящие живые деревья могут влиять на человечество через музыкальную логику

http://www.youtube.com/watch?feature...AXjKmIU#at=179

От восхищения нет слов...

Цитата:

---

Сообщение от commator

Если я попрошу свою девятилетнюю внучку, уже умеющую ноты читать и писать, изобразить дробь, она меня поймёт и напишет два целых числа, разделяя горизонтальной или косой палочкой. О том, что дробь есть частный случай отношения, ей толковать ещё рано, думаю.

Не помню, толковали мне такое, или нет, пока я учился. Позже сам об этом узнал, а за пару последних лет уверился, что в контексте теории музыки дробь, обозначающую относительную частоту звучащего тела, лучше всего интерпретировать как соотношение номера обертона (числитель) и номера унтертона (знаменатель) и первым обертоном первого унтертона (¹/₁) считать основной тон ноты До₀ (до большой октавы).

---

Быть может, идея школьной тетрадки в клеточку будет еще проще даже и для девятилетней внучки.
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2/3.html

Цитата:

---

Сообщение от commator

Ещё не пересматривал дружественность ДШБ к Музыке. Пока увлечён её рассматриванием.

---

Давайте по пунктам. Вы согласны с моим утверждением о том, что:

Цитата:

---

Сообщение от Математик

... что диаграмма в книге
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О.
Конкретная математика. Основание информатики.
М.: Мир, 1998, сc. 139 — 141.
http://www.px-pict.com/10/4/4/13.html

на которую обычно ссылаются, не является деревом из-за пририсованных там вершин с метками 0 / 1 и 1 / 0 .

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Быть может, идея школьной тетрадки в клеточку будет еще проще даже и для девятилетней внучки.
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2/3.html

---

Да писал же я Вам где-то раньше на этом Форуме, что поиск наилучших приближений через вытягивание носов не годится для

Цитата:

---

Сообщение от commator

решения практических задач детемперации/перенастройки музыкальных произведений, зафиксированных в системах 24/12РДО.

---

Подходят не арифметические, а логические наилучшие приближения, которые арифметически могут быть хоть наихудшими. Годится полосовое выращивание ДШБ, например по всей ширине зоны Гарбузова для пифагорейской большой терции

Цитата:

---

Сообщение от commator

петь настоящую мерзкую пифагорейскую терцию 408 центов (81/64) так же нелегко, как и темперированную 400 центов (2^4/12). Даже в очень узкой зоне вокруг неё есть интервалы (не обязательно терции, могут быть и кварты альтерированные) которые и покрасивее будут и петься должны физиологичнее.

498.0449991346124ц.(4/3)
435.0840952616501ц.~(9/7)
417.5079641043681ц.~~(14/11)
412.7452814608334ц.~~~~(33/26)
409.2443014020803ц.~~~(19/15)
407.8200034615497ц.~~~~~~~(81/64)
407.3837595260005ц.~~~~~~(62/49)
406.5622961421101ц.~~~~~(43/34)
404.4419847330848
406.5622961421101ц.~~~~(24/19)
386.3137138648348ц.(5/4)

Свалятся, например, в пение более приятного по Гельмгольцу интервала 409 центов (19/15), так это скорее одна из версий ум. кварты, чем широкая б. терция. Да и темперированную терцию того и гляди споют, трудную, но всюду звучащую и оттого более привычную. А скажут без всякого лукавства, что пифагорейскую пели. И та и другая шире естественной 386 центов (5/4), но ведь широкая б. терция по расхожей недоосведомлённости не иначе как пифагорейская.

---

однако

Цитата:

---

Сообщение от commator

Мой скромный опыт этого рода потребовал не только выращивания ДШБ, но и преобразования его в

Цитата:

---

Сообщение от commator

сонантометрический диск <...>:

https://lh6.googleusercontent.com/-5...-dur_G-dur.jpg

---

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Вы согласны с моим утверждением о том, что:

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Хочу обратить Ваше внимание, что диаграмма в книге
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О.
Конкретная математика. Основание информатики.
М.: Мир, 1998, сc. 139 — 141.
http://www.px-pict.com/10/4/4/13.html

на которую обычно ссылаются, не является деревом из-за пририсованных там вершин с метками 0 / 1 и 1 / 0 .

---

---

Не согласен.

Где-то читал: {⁰/₁, ¹/₀} называется корневище, ¹/₁ есть ствол, а всё остальное именуется крона.

Дерево без корневища есть обрубок и в полном объёме не растёт.

По большому счету ПС и ТС - являются всего лишь способами настройки инструментов. Смешивать акустическое древо и логику способов настройки не совсем корректно. Впрочем, это только мнение дилетанта.

Цитата:

---

Сообщение от commator

Да писал же я Вам где-то раньше на этом Форуме, что поиск наилучших приближений через вытягивание носов не годится для

Подходят не арифметические, а логические наилучшие приближения, которые арифметически могут быть хоть наихудшими. Годится полосовое выращивание ДШБ, например по всей ширине зоны Гарбузова для пифагорейской большой терции однако

---

Вы не ответили, однако, на мой вопрос. Я спрашивал про “школьную тетрадку в клеточку”:

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Быть может, идея школьной тетрадки в клеточку будет еще проще даже и для девятилетней внучки.
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2/3.html

---

Не про “алгоритм вытягивания носов”. Тот факт, что на “школьной тетрадке в клеточку” может быть, в частности, показан и “алгоритм вытягивания носов” в данном случае к делу не относится.
К делу в данном случае относится тот факт, что на “школьной тетрадке в клеточку” могут быть показаны рациональные отношения, которые использовались при построении теории музыки:
“...практическое приложение теории отношений имело место в построении теории музыки”:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2/1.html

“На этом и было основано применение теории отношений к теории музыки: всякому музыкальному интервалу, т. е. паре звуков, ставили в соответствие отношение высот этих звуков, т. е. пару (A, B) целых чисел, измеряющих эти высоты звуков.”
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Маленькая добавка к сведениям о дробях и отношениях в античной арифметической и музыкальной теории:
“Итак, поскольку дроби были изгнаны из чистой теории чисел, то естественно встал вопрос, нельзя ли создать для понятия дроби математический эквивалент и таким образом чисто теоретически обосновать вычисления с дробями. Конечно, таким эквивалентом является числовое отношение.”

---

-------------------------------------------

Быть может, более понятно об этом изложено у Клейна:
“Таким образом, из точки О во всех возможных рациональных направлениях и только в этих направлениях мы видим точки нашей решетки; поле зрения всюду плотно заполнено "звездами", но не свободно от пробелов; оно не заполнено ими непрерывно и как бы напоминает "млечный путь".”
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/1/2.html

Таким образом, рациональное отношение наглядно – геометрически представляется “рациональным лучом” и таким образом могут быть представлены все рациональные отношения, служащие метками вершин Дерева.

Цитата:

---

Сообщение от commator

Нашлась на Сети подходящая картинка для удовлетворения Вашего любопытства:
http://algebra3000.narod.ru/fon/log1.jpg

---

Не удовлетворили Вы моего любопытства.
По той простой причине, что давным давно я удовлетворил его сам.
Во время написания своей статьи:

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Вот на этой аналогии между окружностью и гиперболой в определенном смысле основан предложенный мною алгоритм.

---

Когда я усиленно размышлял над тем, “что такое логарифм”. И “допер” (сам, сам!), что логарифм (равно как и обратная ему экспонента) – это изоморфизмы.
Только потом я прочитал об этом в книжках.

Запомните и Вы:
Логарифм – это изоморфизм.

Уважаемый commator, прошу ответить на сумбурный дилетантский вопрос:


Выявленные при детемперации музыкального произведения интервалы ЧИ - они подразумевались композитором или являются своего рода вариантом интерпретации этого произведения?


Понятно, что ЧИП5 композиторами подразумевается (для этого, в т.ч., знаки альтерации). А ЧИП7 ?
Может ли композитор подразумевать, например, 19/15 ("скорее одна из версий ум. кварты") - это же как минимум ЧИП19.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Вы не ответили, однако, на мой вопрос. Я спрашивал про “школьную тетрадку в клеточку”:
Не про “алгоритм вытягивания носов”.

---

“Геометрия чисел”, связанная со “школьной тетрадкой в клеточку” шире приложений к теории цепных дробей.
Некоторое представление о работах Минковского в этой области можно получить здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/4/11/2/6/3.html

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Любопытная информация о “физических” и “теоретико - числовых” интересах Германа Минковского:
«Для Минковского, как и для Гильберта, теория чисел была самым удивительным созданием человеческого разума и духа, равным образом наука и величайшее из искусств».
http://ega-math.narod.ru/Reid/p3.htm#14

Который был ближайшим другом математика – короля Давида Гильберта:
http://ega-math.narod.ru/Reid/index.htm

---

---------------------------------------------------------------------------

Ну, а вообще можно согласиться с высказыванием Арнольда:
“Эта геометрия стала популярной около ста лет назад благодаря великому математику Герману Минковскому, который назвал ее геометрией чисел. Предшественники Минковского пользовались этой теорией, не давая ей названия, и потому забыты.”
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2.html

Цитата:

---

Сообщение от commator

Да писал же я Вам где-то раньше на этом Форуме, что поиск наилучших приближений через вытягивание носов не годится для
Подходят не арифметические, а логические наилучшие приближения, которые арифметически могут быть хоть наихудшими. Годится полосовое выращивание ДШБ, например по всей ширине зоны Гарбузова для пифагорейской большой терции однако

---

Ранее Вы написали следующее:

Цитата:

---

Сообщение от commator

Мне ясно вполне, что и арифметика и музыка растут на почве объединяющего их множества, известного в арифметике как натуральный ряд чисел, а в музыке как натуральный ряд обертонов.
То, что в арифметике называют основной теоремой, не может отсутствовать в музыке. Поэтому основная теорема арифметики обязана и в музыке проявиться основной теоремой.

---

Сформулируйте, пожалуйста, более четко используемые Вами понятия “логически наилучшее приближение”и “арифметически наилучшее приближение”.

Цитата:

---

Сообщение от bntr

Понятно, что ЧИП5 композиторами подразумевается (для этого, в т.ч., знаки альтерации).

---

Даже это Ваше утверждение является дискуссионным:
“В данной работе будет ясно показана ошибочность предположения о том, что Чистая Интонация может (или должна) применяться к любой музыке, а не только лишь к той, которая была специально разработана композитором для этой цели.”
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/2/1/1/1.html

(из последующего изложения становится ясным, что под “звуковым универсумом Чистой Интонации” автор подразумевает именно систему ЧИП5)

Цитата:

---

Сообщение от bntr

Понятно, что ЧИП5 композиторами подразумевается (для этого, в т.ч., знаки альтерации).

---

Знаки альтерации могут быть и Пифагорейскими. С этим даже commator согласен.

Цитата:

---

Сообщение от commator

Опора на пифагорейский строй в трактовках нотной записи требует минимального набора условностей и потому оказывается легче воспринимаемой также и при исследовании проблем других разновидностей чистой интонации.

Другими словами для написания нот, точное исполнение по которым приведёт к чистому интонированию не только октавно-квинто-квартовых интервальных комбинаций, проще всего воспользоваться условностями пифагорейского строя и соответствующими знаками альтерации для пифагорейских нот. Хроматические знаки альтерации удобно оставлять также пифагорейского толка. К ним необходимо добавлять знаки микроальтерации, которые пифагорейскими чаще всего не будут.

Именно непифагорейские знаки микроальтерации превращают пифагорейскую основу нотной записи в звучащую сущность надпифагорейской чистой интонации.

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Знаки альтерации могут быть и Пифагорейскими. С этим даже commator согласен.

---

Почему даже? Это что - общеизвестная аксиома?
Чем же отличаются пифагорейские знаки альтерации от непифагорейских?