Идея баланса

[vcirkov]

Нужно сдвинулось это дело с мертвой точки. Давайте начнем с самого простого поворота, который будем иметь как базовый. Предлагаю на основе изложенных Вами примеров, создать какое-то подобие математико-геометрической модели данного рисунка: "до - ре" (тон) балансируется относительно "соль". Варианты тоже сокращаем до одного: два интервала - квинта и кварта - балансируются от акустической (нулевой) точки в разные стороны. Квинта уменьшается, а кварта увеличивается, тон - уменьшается (все - как в РДО).
В горизонтальной плоскости пороговые ограничения почти не действуют, поскольку нет созвучий, звук "соль" только подразумевается исполнителем, поскольку он строит от него баланс. Можно доводить тон до полутона, уменьшая его с двух сторон, при этом функционально оставаясь в ощущении тона. Этот прием - базовый для освоения фольклора.

[Математик]

Нужно сдвинулось это дело с мертвой точки.

Сдвинем, сдвинем с мертвой точки. Просто у меня в голове “сидит” одно, а у Вас – другое. Нужно это как-то сближать. Другого пути не вижу.
Я все же в своих рассмотрениях ориентировался вот на это:

Вообще-то шаблонным созвучием для операций, вернее, нахождения возможных вариантов баланса, я мыслил б. трезвучие.

Сначала нужно определиться с чистыми аккордами без связок, чтобы иметь базу для моделей аккордов.

[vcirkov]

Я все же в своих рассмотрениях ориентировался вот на это:

То есть на вертикаль, которая определяется переходом и возможным сдвигом двух и еще двух звуков вокруг общего третьего. То, что я предлагаю сделать в первую очередь - составная часть этих же переходов аккордов. Ведь в переходе задействованы два аспекта, вертикальный и горизонтальный. Сделать модель для двух звуков относительно третьего, представляется мне более простой задачей. Так что никаких противоречий здесь нет.

[Математик]

Стандартное применение операции гармонического среднего к тому, что у Одоевского названо “триестествогласием” можно найти, например, у Мордухай – Болтовского:
“В пифагорейском мировоззрении, видевшем сущность вещей в числах, последней пропорции придавалось особенно много значения. Ее находили в музыке: A, H, B являлись длинами струн, отвечающих тонам do, mi, sol, образующим гармонический аккорд …”
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6/2.html

У Одоевского о “триестествогласии”
“Эти четыре звука, т. е. звук целой струны, ее терции, ее квинты и ее октавы образуют то, что в музыке называется совершенным трезвучием (равно, консонансным аккордом, reiner Dreiklang, accord parfait; для выражения этого сопряжения звуков можно заимствовать из нашей древней музыкальной терминологии весьма точное и выразительное слово: триестествогласие).”

“Это сопряжение звуков (аккорд) -- не произвольное; оно дается самою природою звучащих тел, которым соответствует строение нашего уха и нашего горла, и потому такое сопряжение играет весьма важную роль в музыке; -- оно называется трезвучием потому, что, собственно, состоит только из трех звуков: звука целой струны, которая называется тоникой; терции от тоники, и квинты от тоники; за тем остальной четвертый звук есть лишь повторение тоники, но октавой выше.”
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/14b/1/1/1.html

селяви такова, что “не произвольное сопряжение звуков ”, о котором пишет Одоевский, математически описывается так называемой “ операцией гармонического среднего”. Мои предложения по использованию “геометрического баланса”:

У меня была мысль привлечь к моделированию чистых аккордов “геометризированные” весы Мебиуса, которые можно рассматривать как “элементарные балансы” внутри “геометрической ткани”. Ведь, в принципе на этом основано использование в геометрии так называемых “барицентрических координат”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/10/1/00.html

Роль “Барицентрического исчисления” Мебиуса в развитии проективной геометрии см. в историческом обзоре Клейна:
http://www.px-pict.com/10/3/4/5/1/1/5.html

Т. е. можно предположить, что “геометрический элементарный баланс” Мебиуса аналогичен “музыкальному элементарному балансу”.

преследовали цель сделать попытку объяснить (на “языке балансов”), почему селяви именно такова.

[Математик]

То есть на вертикаль, которая определяется переходом и возможным сдвигом двух и еще двух звуков вокруг общего третьего. То, что я предлагаю сделать в первую очередь - составная часть этих же переходов аккордов.

Я все же исходил из того, что написал в начале темы:

Наряду с интонационным балансом Вы где-то говорили и о “сбалансированности звеньев звукоряда”.

То есть я планировал на первом этапе рассмотреть б. трезвучие чистого строя как саму по себе уже сбалансированную в определенном смысле систему, без всяких последующих возможных сдвигов и переходов.

Это уже будем рассматривать на втором этапе.

[vcirkov]

Я все же исходил из того, что написал в начале темы: Наряду с интонационным балансом Вы где-то говорили и о “сбалансированности звеньев звукоряда”.

Так я поэтому и заговорил о дихорде (горизонталь), сопряженным с общим звуком (вертикаль), как части звукоряда, о котором Вы спрашивали.

То есть я планировал на первом этапе рассмотреть б. трезвучие чистого строя как саму по себе уже сбалансированную в определенном смысле систему, без всяких последующих возможных сдвигов и переходов.

Сбалансированность трезвучия ЧС нулевая, это исходный фрагмент баланса, который берется за основу, как всякие прочие акустические чистые интервалы-консонансы.

Не могли бы Вы объяснить, как связан куб с трезвучием, об этом написано здесь:
ttp://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6/2.html

[Математик]

селяви такова, что “не произвольное сопряжение звуков ”, о котором пишет Одоевский, математически описывается так называемой “ операцией гармонического среднего”. Мои предложения по использованию “геометрического баланса” преследовали цель сделать попытку объяснить (на “языке балансов”), почему селяви именно такова.

А здесь уже, в свою очередь, я вдохновлялся тем обстоятельством, что операция гармонического среднего и так называемое "отношение гармонической сопряженности", очень важное для проективной геометрии (ее основной инвариант), являются близнецами-братьями:

Операция гармонического среднего и 4-арное отношение гармонической сопряженности – близнецы – братья. Это общеизвестно. См., например, у Адамара (“Упражнения”):
http://www.px-pict.com/10/3/3/4/9.html

Указанное в приведенных “Упражнениях” равенство как раз и есть определение операции гармонического среднего.

[Математик]

А здесь уже, в свою очередь, я вдохновлялся тем обстоятельством, что операция гармонического среднего и так называемое "отношение гармонической сопряженности", очень важное для проективной геометрии (ее основной инвариант), являются близнецами-братьями:

Но ведь "весы Мебиуса" ("барицентрические координаты") блестяще проявили себя именно в проективной геометрии:
http://www.px-pict.com/10/3/4/10/1/00.html
http://www.px-pict.com/10/3/4/5/1/1/5.html

Поэтому я и "запал" на очень удобную, как мне кажется, модель проективной плоскости:

Вот структура, на которой все это можно, как мне представляется, наглядно показать. Так называемая “связка”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/1/21.html

Она, конечно, выглядит как “хитрая” модель проективной плоскости, но ее преимущество в том, что все построения и объяснения могут быть проведены очень наглядно. Нужно только провести ее качественную “оцифровку”, чтобы получит математические формулы, оперирующие с числами.

[vcirkov]

А здесь уже, в свою очередь, я вдохновлялся тем обстоятельством, что операция гармонического среднего и так называемое "отношение гармонической сопряженности", очень важное для проективной геометрии (ее основной инвариант), являются близнецами-братьями:

http://www.px-pict.com/10/3/3/4/9.html
То, что описано здесь и есть чистая модель дихорда, то есть - самое простое изложение основ баланса. Прямая - это октава, которая делится 3/2, потом к этому прибавляется обратная проекция деления от верхнего звука. Вот и дихорд посередине. Или по-другому: заменяем в трезвучии C-dur квинту "соль" на "ре" - родственный звук, и получаем трихорд, то есть горизонтальное выражение вертикали трезвучия.

[Математик]

http://www.px-pict.com/10/3/3/4/9.html
То, что описано здесь и есть чистая модель дихорда, то есть - самое простое изложение основ баланса.

Рад, что Вы увидели для себя что-то интересное в отношении гармонической сопряженности. Поскольку визуально она наиболее интенсивно проявляет себя именно в проективной геометрии (будем для определенности говорить о системе, официально именуемой “проективной плоскостью над полем вещественных чисел”), то гляньте, пожалуйста, на еще одну серию картинок, характерную для этой системы:
http://www.px-pict.com/10/3/6/1/2.html

Из оригинальной книги О. А. Вольберга:
http://www.px-pict.com/10/3/4/9.html

Может быть, что-нибудь из этого тронет Вашу душу.
Проективная плоскость может быть получена из обычной евклидовой плоскости путем ее пополнения “бесконечно – удаленными элементами”. Идеология этого процесса популярно объясняется здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/4/6/1.html

Не могли бы Вы объяснить, как связан куб с трезвучием, об этом написано здесь:
ttp://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6/2.html

Прежде всего заметим, что там изображен не куб, а фигура, именуемая “прямоугольным параллелепипедом”. (Единичный) куб получился бы, если бы мы провели соответствующие плоскости через единичные отметки на осях координат (я отметил их красным цветом):
http://www.px-pict.com/10/3/6/1/1/1.html