Идея баланса

[vcirkov]

А как насчет весов?
Мне и весы важны, либры, Scales.
http://en.wikipedia.org/wiki/Libra_(astrology)
Кое-какие новые мысли в этом направлении возникли:

Да, баланс может быть сохранен путем расстройки ЧС от инт. полюса, а также и в том случае, когда нужно сбалансировать уже готовый интервал. В этом случае есть аналогия с перемещением оси, как в приведенном Вами примере.

[Математик]

Даже самый элементарный звукоряд сбалансирован. Речь идет о тетраде:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/4.html

Да, в октаве сбалансированы кварта и квинта, которые получаются от простых дробей. Это нулевой баланс, то есть без биений. Перемещая точку внутри октавы до известного порога, где акустически или функционально интервалы сохраняют значения, получаем динамическую модель этой же структуры. Эту модель можно считать исходной, то есть самой простой. Вопрос в том, как это выразить в числах или мат. знаках?

Вообще-то шаблонным созвучием для операций, вернее, нахождения возможных вариантов баланса, я мыслил б. трезвучие. Но в принципе, конечно, нужно иметь в виду любые созвучия. Попробую перечислить возможные версии балансировки трех звуков из тетрады, с которых мы начали. Итак, состав: октава деленная на два отрезка, квинта - внизу, кварта вверху.
1. Движение средним звуком, два крайних (октава) на месте. При этом интервалы квинты и кварты автоматически балансируются с прямой зависимостью. Кварта, например, увеличивается ровно настолько, насколько уменьшается квинта. Здесь Вы уж подскажите как правильно все это сформулировать. Далее находим и определяем порог для приемлемого акустического звучания (в центах).
2. Средний звук на месте, крайние звуки сжимаются и расширяются (операции с октавой).
3. Относительно нижнего и верхнего звука нужно слушать, чтобы найти приемлемые версии.
Принципиально, - где -то так и происходит подстройка в естестве, которое мы и должны смоделировать.

Может все же следует исходить не от полного звукоряда, а от фрагментов созвучий. Я как бы попытался что-то сформулировать относительно тетрады, - это не годится?
Я представляю это так, что в идеале нужно сделать подобие Вашего калькулятора, то есть небольшую программу, в которой бы вручную определялся звук (один из четырех) и относительно него автоматически выстраивались высоты остальных звуков. Если это не программа, то алгоритм возможных действий.

Обычно хористы строят звуки как угодно: от баса, от ощущений тенденций, которые касаются высоты тональности и гармонических ступеней, но никогда от общего звука. В этом смысле общий звук можно сравнить с визуализацией образа перехода, а операции перечисленных подстроек - с научным подходом. Так же уместно сравнение с кошкой, которая не видит науки в правильном переходе, совершая его с позиции технологического удобства. Здесь аналогия такая, что при переходе, из возможных - выбирается звук, который ближе. Допустим, нужно спеть тон вниз. Верхний звук берется ниже, а нижний - выше. За счет общего звука обеспечивается акустический баланс. Конкретно: допустим, нужно перейти от ми к ре относительно соль (общий звук). Для ЧС, который мы используем как шаблон, поправки от ТС будут такие: Секста (соль-ми) - 884 ц., квинта (соль-ре) - 702 ц. Теперь приближаем звуки друг к другу (максимально возможно - без потери благозвучия по 10 ц.) значения высот: 874 - 712 =162 ц. - величина тона (тонемы). В данном случае мы пренебрегаем правилами фиксированных звукорядов, в которых одинаковые интервалы идентичны друг другу.
Хорошо бы этот пример положить на формулу.

Вот структура, на которой все это можно, как мне представляется, наглядно показать. Так называемая “связка”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/1/21.html

Она, конечно, выглядит как “хитрая” модель проективной плоскости, но ее преимущество в том, что все построения и объяснения могут быть проведены очень наглядно. Нужно только провести ее качественную “оцифровку”, чтобы получит математические формулы, оперирующие с числами.

[Математик]

Меня более интересует не готовая система возможных векторов в схеме строя. То есть ЧС (ЧИП) я вижу не как конкретный строй, а как абстрактную акустическую базу, некий фрагмент, в котором заключен алгоритм пространственных ощущений. Мне кажется, что объемное представление звуков имеет аналоговое соответствие в восприятии. Что мы имеем:
1. условные тоники (вертикали), которыми обозначаются базовые переходы, например, при отклонениях.
2. Построенные на них фрагменты квинтовой спирали, которые обеспечивают возможность извлечения пустых аккордов без наполнения терциями.
3. Терции, которые строятся векторами от тоник аккордов и образуют свою собственную систему, подобную спирали.
На М. терцию в квинтовой спирали можно не обращать внимания, рассматривая ее как остаток от сложения или вычитания. Но как относиться к септиме? Привлечь четвертый вектор, чтобы определить центр ее акустической зоны или прибавить м. терцию к квинте? В чем принципиальная разница подходов?

Векторы, если найти способ хорошо их иллюстрировать, могут дополнить язык гарм. знаков. Это очень важно для пространственного восприятия музыки. Не строя, а именно гарм. переходов. Мой же интерес еще и в том, что через геометрию можно наглядно рассказать об инт. балансе.

Ну, конечно же, уважаемый vcirkov, мы попытаемся здесь выразить все эти Ваши интуиции!

[Математик]

Вот структура, на которой все это можно, как мне представляется, наглядно показать. Так называемая “связка”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/1/21.html

Она, конечно, выглядит как “хитрая” модель проективной плоскости, но ее преимущество в том, что все построения и объяснения могут быть проведены очень наглядно. Нужно только провести ее качественную “оцифровку”, чтобы получит математические формулы, оперирующие с числами.

Нам понадобятся некоторые базовые сведения о так называемых “правых декартовых системах координат” на евклидовой плоскости и в евклидовом пространстве. Эти сведения я для справки привел здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/6/1/1.html

Все, что нам нужно, можно будет проиллюстрировать на простых картинках.

[vcirkov]

Нам понадобятся некоторые базовые сведения о так называемых “правых декартовых системах координат” на евклидовой плоскости и в евклидовом пространстве. Эти сведения я для справки привел здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/6/1/1.html

Все, что нам нужно, можно будет проиллюстрировать на простых картинках.

Я уже пробовал представить аккорды в трехмерном пространстве геометрии, но там у меня нет кубов, поскольку трезвучие в геометрии - треугольник, объем которого хуже читается. #25
Сначала нужно определиться с чистыми аккордами без связок, чтобы иметь базу для моделей аккордов. Потом общий звук будем мыслить как точку пересечения, то есть связку, вокруг которой будет возникать поле дополнительных проекций. Давайте исходить от того, что вертикальная ось - некая тоника "до", горизонтальная ось, образующая крест - квинтовая спираль, представленная как минимум двумя точками "соль-ре". Далее следует определиться относительно трехмерности. Она гипотетически может возникать как новый вектор из точки пересечения креста "ми", а заполнение пространства модели аккорда может осуществляться за счет удвоения звуков. проблема в том, что для конкретного перехода нужно представлять для аккорда в который общий звук будет связкой. Для начала - Т и D, общий звук "соль".

[Математик]

Я уже пробовал представить аккорды в трехмерном пространстве геометрии, но там у меня нет кубов, поскольку трезвучие в геометрии - треугольник, объем которого хуже читается. #25
Сначала нужно определиться с чистыми аккордами без связок, чтобы иметь базу для моделей аккордов. Потом общий звук будем мыслить как точку пересечения, то есть связку, вокруг которой будет возникать поле дополнительных проекций. Давайте исходить от того, что вертикальная ось - некая тоника "до", горизонтальная ось, образующая крест - квинтовая спираль, представленная как минимум двумя точками "соль-ре". Далее следует определиться относительно трехмерности. Она гипотетически может возникать как новый вектор из точки пересечения креста "ми", а заполнение пространства модели аккорда может осуществляться за счет удвоения звуков. проблема в том, что для конкретного перехода нужно представлять для аккорда в который общий звук будет связкой. Для начала - Т и D, общий звук "соль".

Возможностей и интерпретаций здесь на самом деле имеется масса, и, конечно же, имеет право на жизнь то, что Вы предлагаете.
Просто я здесь видел еще одну возможность. Я писал о ней в самом начале этой темы:

Геометрическое пространство тоже, в принципе, дружит с балансом. Благодаря усилиям Мебиуса:
Действительно, ведь изображенные на рис. 25 “весики”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/2/1.html

очень естественно ассоциируютсяс идеей некоторого баланса.
Возможно, Мебиус сделал по отношению к геометрии то же самое, что Вы сейчас пытаетесь сделать по отношению к музыкознанию: ввел в геометрию идею “баланса”.

Сначала нужно определиться с чистыми аккордами без связок, чтобы иметь базу для моделей аккордов.

У меня была мысль привлечь к моделированию чистых аккордов “геометризированные” весы Мебиуса, которые можно рассматривать как “элементарные балансы” внутри “геометрической ткани”. Ведь, в принципе на этом основано использование в геометрии так называемых “барицентрических координат”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/10/1/00.html

Роль “Барицентрического исчисления” Мебиуса в развитии проективной геометрии см. в историческом обзоре Клейна:
http://www.px-pict.com/10/3/4/5/1/1/5.html

Вот хорошо сказано:
“В 1970 г. известный канадский историк науки Стилман Дрейк писал: "Я убежден, что истоки экспериментального аспекта современной науки следует искать в музыке XVI в.". Дрейк обратил внимание на то, что объединение музыки с арифметикой, геометрией и астрономией в рамках средневекового квадривиума не могло не повлечь сильного взаимодействия этих элементов в период их трансформации и, в конечном итоге, разделения в эпоху Ренессанса. Этот факт долгое время не учитывался ни историей науки, ни историей музыки, — они существовали как независимые и самостоятельные дисциплины, игнорировавшие имеющиеся параллели и аналогии в развитии естественнонаучных и музыкальных теорий.”
Баюк Д. Математическая теория темперации. Князь Владимир Федорович Одоевский и его «энгармонический клавесин» // Историко-математические исследования, 1999, № 39:
http://www.etheroneph.com/retrozvuk/...doevskogo.html

Т. е. можно предположить, что “геометрический элементарный баланс” Мебиуса аналогичен “музыкальному элементарному балансу”.

[vcirkov]

Возможно, не лишне будет напомнить, что в горизонтальной балансировке подобные друг другу интервалы могут довольно ощутимо отличаться по размерам. Например, переход "до-ре" от "ре-ми", которые будут балансироваться относительно "соль". Здесь мы рассматриваем их отдельно, чтобы показать максимальную разницу.
Переход "до-ре" увеличим. У нас задействовано два интервала от "соль" - кварта и квинта. В ЧС этот интервал будет равен 204 ц.. Увеличиваем до 11 ц.(пороговая величина) квинту "соль-ре" и уменьшаем на столько же кварту. Получаем большой тон 226 ц.
Переход "ре-ми" относительно "соль" в ЧС - 184 ц.. Уменьшаем (по 11 ц.) и получаем - 162 ц.(тонема), что на 64 ц. меньше, чем в первом случае. Если изменять минимально не по 11 ц., а по 4 ц., получим разницу 50 ц., что равно четверть тону.

[vcirkov]

У меня была мысль привлечь к моделированию чистых аккордов “геометризированные” весы Мебиуса, которые можно рассматривать как “элементарные балансы” внутри “геометрической ткани”. Ведь, в принципе на этом основано использование в геометрии так называемых “барицентрических координат”:

Т. е. можно предположить, что “геометрический элементарный баланс” Мебиуса аналогичен “музыкальному элементарному балансу”.

Не знаю, насколько корректна аналогия веса и акустических величин. Акустический баланс, насколько я понял из своих опытов, работает во все стороны. Его зависимость от функц."веса" звука я и не пытался исследовать.

[Математик]

Не знаю, насколько корректна аналогия веса и акустических величин. Акустический баланс, насколько я понял из своих опытов, работает во все стороны. Его зависимость от функц."веса" звука я и не пытался исследовать.

Нужно иметь в виду, что “массы” в подходе Мебиуса были заменены числами, а факт равновесия “весов” выражался при помощи простого соотношения между числами (так называемым “правилом рычага”).
http://www.px-pict.com/10/3/4/10/1/1.html

Сами по себе эти числа и числовые равенства с “содержательной” точки зрения могут интерпретироваться по-разному.

[Математик]

Сами по себе эти числа и числовые равенства с “содержательной” точки зрения могут интерпретироваться по-разному.

Например, задача о размножении кроликов может быть определенным образом математизирована:
http://www.px-pict.com/7/4/9/1/00.html

(характерная фраза: “Перейдем теперь от кроликов к числам …”)

Но числовая последовательность Фибоначчи естественным образом возникает и в других “предметных областях”. При желании, однако, соответствующие задачи из этих предметных областей могут быть проинтерпретированы и через кроликов, если назначить последних “стандартными представителями” чисел Фибоначчи.