Использование логарифмов в музыкознании

[Математик]

Если мы хотим измерять интервалы при помощи центов, то нужно добавить метрику к проективной шкале:

Если предположить, что отношение гармонической сопряженности имеет в качестве своего прародителя вечную и фундаментальную тетраду:
то можно утверждать, что монохорд состоялся и в геометрии в обличье фундаментальной для нее “проективной шкалы”:
http://www.px-pict.com/9/6/4/6/2.html

Наиболее подходящей будет та, которая приводит к “гиперболической геометрии Лобачевского” в классификации, приводимой И. М. Ягломом:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/4/1.html
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/4.html

[DJ Хруст]

Уважаемый Математик, то, что Вы пишете, связывая проективную геометрию, геометрию Лобачевского и музыку, в высшей степени интересно. Но боюсь, что с точки зрения объяснения звуковысотной шкалы геометрические построения избыточны — достаточно лишь логарифмов : )

Но зато такие построения будят фантазию тех, кто хоть чего-нибудь в них понял. На мой взгляд, для музыкантов они могут сыграть скорее художественную роль, чем научную : )

[Математик]

Но боюсь, что с точки зрения объяснения звуковысотной шкалы геометрические построения избыточны — достаточно лишь логарифмов : )

Во всяком случае, когда-то (когда вся эта звуковысотность только начиналась) они не были избыточны. Достаточно посмотреть на Figure 10.11 и 10.12 у Форстера, где описываются построения в "Sectio Canonis" (“Division of the Canon” по английски), приписываемого Евклиду:
http://www.chrysalis-foundation.org/Philolaus_and_Euclid.htm

В принципе, мы могли бы и популярную книжку Н. М. Бескина “Деление отрезка в данном отношении” рассматривать как некоторую версию древнего "Sectio Canonis":
http://www.px-pict.com/10/3/3/7/0.html

Нашим школьникам, обладающим хорошим математическим аппетитом, возможно, было бы интересно узнать о связях этой задачи с теорией музыки, из которой эта задача (опять-таки, возможно) и выросла.
----------------------------------------------------------------

В книжке Бескина мы находим популярное описание так называемого “сложного отношения”, фигурирующего в определении “гиперболической геометрии Лобачевского” (под названием “двойного отношения”):

Если мы хотим измерять интервалы при помощи центов, то нужно добавить метрику к проективной шкале:
Наиболее подходящей будет та, которая приводит к “гиперболической геометрии Лобачевского” в классификации, приводимой И. М. Ягломом:

http://www.px-pict.com/10/3/3/7/3/13.html

У Бескина мы находим также популярно изложенную информацию о том, каким образом это самое “сложное отношение” связано с гармонической четверкой точек:
http://www.px-pict.com/10/3/3/7/3/16.html

существование которой мы без труда диагностируем в тетраде:
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/3.html
------------------------------------------------------------------------------------------------

Н. М. Бескин: “Ни о каком разделе математики ни один человек не имеет сказать "я это полностью знаю". В самом элементарном вопросе скрываются неожиданные связи с другими вопросами, и этот процесс углубления не имеет конца. Можно снова и снова возвращаться к знакомому разделу и каждый раз (если хорошо подумать) узнавать что-нибудь новое”.

Что касается конкретно задачи о делении отрезка в данном отношении (которую можно интерпретировать и как деление струны в данном отношении), то можно без преувеличения сказать, что на ней основан большой кусок математики:
Математика уже давно “теория струн”. С 19 века. Во всяком случае та ее часть, которая именуется “наукой о числах и фигурах”. Для (элементарной) геометрии, например, фундаментальной конструкцией является конструкция “деление отрезка в данном отношении” (можно посмотреть в классическом учебнике Александрова:
Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968, cc. 23 — 25.
Но ведь это конструкция есть то же самое, что и монохорд древний. Описание монохорда у Римана:
На резонансном ящике, снабженном точным обозначением частей его меры по длине, натягивают струну через две неподвижные подставки, а между ними помещают третью подставку, подвижную, на которой струна также лежит плотно; это будет монохорд.
http://forum.exler.ru/arc/index.php?showtopic=162863
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/1.html

[Математик]

Если мы хотим измерять интервалы при помощи центов, то нужно добавить метрику к проективной шкале:
Наиболее подходящей будет та, которая приводит к “гиперболической геометрии Лобачевского” в классификации, приводимой И. М. Ягломом:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/4/1.html
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/4.html

Следующая картинка из книги Клейна (черт. 113) поясняет общий ход мысли:
“Гиперболическое мероопределение на прямой линии мы можем сделать наглядным, подобно тому как мы это сделали для эллиптического, следующим образом, пригодность которого легко установить аналитически. Мы проектируем точки гиперболы из центра М на прямую G и рассматриваем в качестве гиперболически измеренной длины отрезка PQ на прямой G евклидову площадь треугольника MP'Q'. При этом обе фундаментальные точки гиперболического мероопределения являются точками пересечения прямой G с асимптотами гиперболы.”
http://www.px-pict.com/10/3/4/5/6/3.html

[Математик]

Впрочем, иное течение мыслей относительно куба может быть плодотворным в плане приближения к идее геометрического полюса (который мы хотим подружить с полюсом музыкальным).
Примерно так оно и было исторически:
"Изучение конических сечений восходит к 430 г. до нашей эры, когда афиняне, страдая от чумы, обратились к делосскому оракулу, который потребовал, чтобы для избавления от постигшего их бедствия был увеличен вдвое объем кубического алтаря Аполлона (без изменения его формы)"
http://www.px-pict.com/10/3/4/7/6.html

"Дальнейшее развитие теории конических сечений связано с именами швейцарца Штейнера и немца Штаудта... Намеки на полярное соответствие, порождаемое коническим сечением, встречались уже в некоторых работах Аполлония, но отчетливое представление о нем было дано Ла-Гиром (1640 -- 1718 ) "

Нам бы только не промахнуться с выбором нужного конического сечения, уважаемый vcirkov.
Хотелось бы соскочить уже с евклидовой плоскости и заняться рассмотрением более подходящей нам плоскости имени Минковского. На ней коническим сечением, относительно которого мы будем рассматривать полярные соответствия, будет равносторонняя гипербола, являющаяся, кстати говоря, графиком обратной пропорциональной зависимости:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/4/1.html

Маленькое (и тривиальное) добавление. Оно, однако, будет важным для дальнейшего в “концептуальном” смысле.
Очевидно, что любая пара обратных отношений:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/4/11.html

может быть при желании проинтерпретирована как “весы Мебиуса”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/2/1.html

Да, мне кажется здесь Вы нащупали инструмент, который позволил бы рассматривать каждое соотношение звуков в аккорде отдельно. Может быть можно это уже приложить к конкретике? Например: построить математическую модель отношения звуков "до" и "ми" относительно полюса "соль".
Вопрос обратных отношений мне чрезвычайно интересен, но это касается не инт. баланса, а метро-ритма. Если хотите рассмотрим эту тему отдельно. Например, деление метра долей 3 на 2 и 2 на 3.

Если мы хотим измерять интервалы при помощи центов, то нужно добавить метрику к проективной шкале:

Наиболее подходящей будет та, которая приводит к “гиперболической геометрии Лобачевского” в классификации, приводимой И. М. Ягломом:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/4/1.html
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/4.html

[vcirkov]

Нам бы только не промахнуться с выбором нужного конического сечения, уважаемый vcirkov.
Хотелось бы соскочить уже с евклидовой плоскости и заняться рассмотрением более подходящей нам плоскости имени Минковского. На ней коническим сечением, относительно которого мы будем рассматривать полярные соответствия, будет равносторонняя гипербола, являющаяся, кстати говоря, графиком обратной пропорциональной зависимости:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/4/1.html

Мне с этим трудно разобраться. Пойду от своей логики. Допустим, мы построим треугольник в горизонтальной плоскости, где от одной вершины будет соответственно построена вниз вертикаль тоникальной составляющей трезвучия (октава), вторая вершина будет смотреть на нас (квинта трезвучия внизу), а третья в сторону (акустическая терция). Все вершины соединены с нижней точкой (удвоение тоники внизу). Если к этому приложить гиперболу, возникает вопрос: как показать величину отступа звука в центах. Я предполагал, что нужно двигать точки, показывая сдвиг от нулевого значения. Как будет работать здесь гипербола мне не понятно. Видимо, точки (вершины треугольников) будут оставаться на месте, а отклонения изображаться изгибами линий.

[Математик]

Что касается конкретно задачи о делении отрезка в данном отношении (которую можно интерпретировать и как деление струны в данном отношении), то можно без преувеличения сказать, что на ней основан большой кусок математики:
Математика уже давно “теория струн”. С 19 века. Во всяком случае та ее часть, которая именуется “наукой о числах и фигурах”. Для (элементарной) геометрии, например, фундаментальной конструкцией является конструкция “деление отрезка в данном отношении” (можно посмотреть в классическом учебнике Александрова:
Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968, cc. 23 — 25.
Но ведь это конструкция есть то же самое, что и монохорд древний. Описание монохорда у Римана:
На резонансном ящике, снабженном точным обозначением частей его меры по длине, натягивают струну через две неподвижные подставки, а между ними помещают третью подставку, подвижную, на которой струна также лежит плотно; это будет монохорд.
http://forum.exler.ru/arc/index.php?showtopic=162863
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/1.html

И ведь делают такие сравнения физики:
“Вы должны уже знать, что такое прямая линия, если хотите приступить к изучению геометрии. Представьте себе угол дома или натянутую струну, отвлекитесь от вопроса, из чего это сделано, и вы получите прямую линию”
Борн М.
Эйнштейновская теория относительности.
2-е издание, исправленное. Пер. с англ., М.: Мир, 1972, с. 18.
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/10/1/1/4.html

[Математик]

Мне с этим трудно разобраться.

На самом деле разобраться легко. Ведь Вы уже сделали первый шаг, признали важность обратной пропорциональности:

Маленькое (и тривиальное) добавление. Оно, однако, будет важным для дальнейшего в “концептуальном” смысле.
Очевидно, что любая пара обратных отношений:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/4/11.html

может быть при желании проинтерпретирована как “весы Мебиуса”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/2/1.html

Да, мне кажется здесь Вы нащупали инструмент, который позволил бы рассматривать каждое соотношение звуков в аккорде отдельно. Может быть можно это уже приложить к конкретике? Например: построить математическую модель отношения звуков "до" и "ми" относительно полюса "соль".
Вопрос обратных отношений мне чрезвычайно интересен, но это касается не инт. баланса, а метро-ритма. Если хотите рассмотрим эту тему отдельно. Например, деление метра долей 3 на 2 и 2 на 3.

Нам бы только не промахнуться с выбором нужного конического сечения, уважаемый vcirkov.
Хотелось бы соскочить уже с евклидовой плоскости и заняться рассмотрением более подходящей нам плоскости имени Минковского. На ней коническим сечением, относительно которого мы будем рассматривать полярные соответствия, будет равносторонняя гипербола, являющаяся, кстати говоря, графиком обратной пропорциональной зависимости:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/4/1.html

[Математик]

Если мы хотим измерять интервалы при помощи центов, то нужно добавить метрику к проективной шкале:
Наиболее подходящей будет та, которая приводит к “гиперболической геометрии Лобачевского” в классификации, приводимой И. М. Ягломом:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/4/1.html
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/4.html

В конце концов, я и сам на пятом курсе университета придумал один алгоритм для вычисления логарифмов:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/5.html

Его проще понять, если знать об упомянутом дуализме:

А ведь гиперболическое в определенном смысле тоже дуально эллиптическому. Характерный признак, указываемый Бурбаки:
“… самым ярким примером этого является, вероятно, двойственность в проективной геометрии, где частая в то время практика печатания теорем, "двойственных" одна другой, друг против друга в две колонки сыграла, безусловно, большую роль в осознании понятия изоморфии.”
http://www.px-pict.com/9/6/6/1/1.html

здесь, вне всякого сомнения, также наличествует:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/4/1/2/2.html

[vcirkov]

На самом деле разобраться легко. Ведь Вы уже сделали первый шаг, признали важность обратной пропорциональности:

Делаю второй шаг. Обратные отношения для высоты - это обратная перспектива строя. Если подробнее, -диатоническая цепь звукоряда сжимается на больших интервалах и расширяется на малых. Это грубо, на самом деле здесь задействованы и все прочие (чистые) интервалы. Например, если построить от соль малой октавы б. сексту и квинту, получится тон. Его можно сжать относительно полюса "соль" с обеих сторон почти до полутона, при этом интервал останется в своем исходном функц. значении. В этом суть моего открытия, если коротко. Здесь встречаются, видимо, налагаясь друг на друга, субъективное ощущение и формальная объективная данность. Уравнение получается странным: большой интервал при определенных условиях - равен малому. Думаю, Вам удастся это правильно интерпретировать математически.