Физические вопросы для скрипичных мастеров

[Роман Н]

Роман Н, нет. С энергиями проще.
Давайте представим волос просто толпой мелких, гибких чешуек.
Когда струна попадает между чешуйками и колышется относительно волоса с малой амплитудой, в этой точке к струне прикладывается только дополнительная упругая сила. Прижали смычок посильнее - воткнули струну поглубже - коэффициент упругости выше - вырвать струну внешней силой из цепких лап волоса стало труднее. И наоборот.
Но если односторонняя скорость движения точки струны относительно волоса настолько прилична, что точку можно рассматривать, как сминающую на своём пути все эти чешуйки, то в точке можно ввести эффект сопротивляющейся силы, зависящей от скорости. Но необязательно.
Так вот. Как бы не колебалась струна, в конце концов она всё равно выйдет на установившийся режим, где : сколько калорий взяла от чешуек, столько им и вернёт. Между H и b липкой и скользкой F3, разумеется, есть и связь. Если провалился b - струна доберёт отдачу, увеличив амплитуду. А в разнос пойдёт лишь, если мы сжульничаем с b=0.
В зависимости от дробления системы в той или иной мере будут постоянно наблюдаться мелкие волны, бегущие от точки к подставке, порожку, назад. Суммируясь с основным режимом, они будут постоянно формировать нужные микроусловия "прилип-отлип". Это будет на уровне заданной отзывчивости системы, в определение которой входит, кстати, и во-он то "АШ".

Как-то уж очень сложно: чешуйки, гибкие волоски, мелкие бегущие волны... "Не верю!"

Я бы предложил другой способ моделирования поведения струны под смычком, который основывается на решении системы из двух волновых уравнений. Если струну разделить на две части 0Х1 и Х1Х2 (где 0 это левая опора, Х2 - правая, а Х1 - точка соприкосновения с волосом), то для левой части струны краевыми условиями будут неподвижная левая опора и подвижная правая U(X1,t)=f(t). Для правой части струны правая опора (Х2) неподвижна, а движение левой описывается той же f(t). f(t) - периодическая функция, график которой представляет собой "пилу". Причем углы наклона зубца этой пилы определяются отношением длин левой и правой частей струны l0X1l/lX1X2l. Чем это отношение меньше, тем пила "злее".

[murom]

Как-то уж очень сложно: чешуйки, гибкие волоски, мелкие бегущие волны... "Не верю!"

Я бы предложил другой способ моделирования поведения струны под смычком, который основывается на решении системы из двух волновых уравнений. Если струну разделить на две части 0Х1 и Х1Х2 (где 0 это левая опора, Х2 - правая, а Х1 - точка соприкосновения с волосом), то для левой части струны краевыми условиями будут неподвижная левая опора и подвижная правая U(X1,t)=f(t). Для правой части струны правая опора (Х2) неподвижна, а движение левой описывается той же f(t). f(t) - периодическая функция, график которой представляет собой "пилу". Причем углы наклона зубца этой пилы определяются отношением длин левой и правой частей струны l0X1l/lX1X2l. Чем это отношение меньше, тем пила "злее".

А я не понял, как даже с идеей о подвижной опоре может быть ситуация, когда одна часть времени приходится таки на просто подвижную опору (смычок, как опора, движется в каком-то направлении), а другая часть времени - на ее полоное отсутствие (струна сорвалась со смычка и движется в противоположную без этой опоры). А может быть сделать так: во время отрыва струны от волоса струна длинная и колеблется по тем законам, по каким это дело происходит после пиццикато. А вот после зацепления и применить ваш метод разделения.

[Роман Н]

А я не понял, как даже с идеей о подвижной опоре может быть ситуация, когда одна часть времени приходится таки на просто подвижную опору (смычок, как опора, движется в каком-то направлении), а другая часть времени - на ее полоное отсутствие (струна сорвалась со смычка и движется в противоположную без этой опоры).

Как это "полное отсутствие"? А трение скольжения разве равно нулю?

А может быть сделать так: во время отрыва струны от волоса струна длинная и колеблется по тем законам, по каким это дело происходит после пиццикато. А вот после зацепления и применить ваш метод разделения.

Не, так не получится. В момент отрыва от пальца скорости всех точек струны равны нулю, а при arco все точки кроме трех имеют ненулевую скорость, причем в любой момент времени. Поэтому начальные "пиццикатные" условия сильно отличаются от начальных "смычковых", а это, как Вы наверняка знаете, приводит к разным последствиям.

[murom]

Как это "полное отсутствие"? А трение скольжения разве равно нулю? Не, так не получится. В момент отрыва от пальца скорости всех точек струны равны нулю, а при arco все точки кроме трех имеют ненулевую скорость, причем в любой момент времени. Поэтому начальные "пиццикатные" условия сильно отличаются от начальных "смычковых", а это, как Вы наверняка знаете, приводит к разным последствиям.

Но трение скольжения настолько малы, что ими можно пренебречь. Я не вижу в этой точке в это время никакой опоры, даже подвижной. Именно в это время и бегут два выступа в разные стороны от этого места на струне. А вот при опоре, даже подвижной, такого не может быть по определению.

[Walie]

Как-то уж очень сложно: чешуйки, гибкие волоски, мелкие бегущие волны... "Не верю!"

Как говорил Михал Сергеич : "И ета правильна". Гребешки с чешуйками можно спокойно оставить только в голове, у каждого свои. Лишь бы это не доводило модель до абсурда, и выливалось в нормальные формулы.

Я бы предложил другой способ моделирования поведения струны под смычком, который основывается на решении системы из двух волновых уравнений.
Если струну разделить на две части 0Х1 и Х1Х2 (где 0 это левая опора, Х2 - правая, а Х1 - точка соприкосновения с волосом), то для левой части струны краевыми условиями будут неподвижная левая опора и подвижная правая U(X1,t)=f(t). Для правой части струны правая опора (Х2) неподвижна, а движение левой описывается той же f(t). f(t) - периодическая функция, график которой представляет собой "пилу". Причем углы наклона зубца этой пилы определяются отношением длин левой и правой частей струны l0X1l/lX1X2l. Чем это отношение меньше, тем пила "злее".

Но ведь держать опору Х1 на обоих этапах никак невозможно - либо уж её нет в скользкой, либо на кой ляд тогда вообще смотреть, что там в "струне" [X1,X2], а также в самой точке Х1.
И вообще - это будет уже довольно проблематично по отношению к тому, что может происходить со струной.
Дело в том, что для липкого этапа - Вы правы, можно предположить, что клей в точке обладает очень высоким коэффициентом упругости, и клеевая сопля имеет настолько малый диапазон [-H,+H], не приводящий к разрыву, что точку Х1 можно считать опорой, которая движется по закону смычка и просто вышибается "изломом" достаточной кривизны. Далее струна сливается в единую, на опорах О, Х2, и её поведение описывается одним уравнением. Можно даже считать, что здесь струна отрывается от волоса полностью, а затухание размазать по всей длине в виде дополнительного члэна b*∂U(x,t)/∂t (иначе колебания пойдут вразнос).
И казалось бы, всё неплохо, но.
1) После первой же скользкой стадии будет практически невозможно изловить следующую липкую. Ибо она задаётся крайне жёстким условием V(X1,t) = V_смычка. Если дадим облегчение в виде :
V(X1,t) ≥ V_смычка-∆V и V(X1,t) ≤ V_смычка+∆V,
получим имитацию процесса, где точка приклеивается, а затем эта область мгновенно кристаллизуется до металлического состояния. Поведение струны начнёт здорово отличаться от скрипичного.
2) В липкой стадии нет никакой необходимости бить струну на условные две. Объём расчётов, по сравнению с одним, неоднородным, с сосредоточенной F(X1,t), только серьёзно увеличится.
3) Есть ещё несколько препон, которые нелегко разрешить как численно, так и на уровне представлений.

[Роман Н]

Но ведь держать опору Х1 на обоих этапах никак невозможно - либо уж её нет в скользкой, либо на кой ляд тогда вообще смотреть, что там в "струне" [X1,X2], а также в самой точке Х1.

Как на кой ляд смотреть? Мы там пытаемся независимые гармоники отыскать. Пока безуспешно. Посмотрите, с чего началось обсуждение.

А почему невозможно держать опору на протяжении всего периода, если известно, по какому закону она двигается? Или Вас смущает, что оторвавшись от липкого волоса, точка Х1 оказывается предоставленной самой себе и ей как бы не на что опереться?

1) После первой же скользкой стадии будет практически невозможно изловить следующую липкую. Ибо она задаётся крайне жёстким условием V(X1,t) = V_смычка. Если дадим облегчение в виде :
V(X1,t) ≥ V_смычка-∆V и V(X1,t) ≤ V_смычка+∆V,

Да не так уж и трудно. Мы ведь знаем, что скорость движения зубца вдоль струны постоянна и даже можем ее вычислить. А зная скорость и расстояние, посчитать время становится проще, чем "два байта переслать".

получим имитацию процесса, где точка приклеивается, а затем эта область мгновенно кристаллизуется до металлического состояния. Поведение струны начнёт здорово отличаться от скрипичного.

Кстати, о реальной скрипичной струне, приклеивании смычка, и мгновенной кристаллизации снят замечательный документальный фильм:

2) В липкой стадии нет никакой необходимости бить струну на условные две. Объём расчётов, по сравнению с одним, неоднородным, с сосредоточенной F(X1,t), только серьёзно увеличится.

Возможно. Я не настолько хорошо знаком с методами решения неоднородных диффуров в частных производных, чтобы утверждать обратное. Но мне все таки не понятно, как туда впихнуть сосредоточенную F(X1,t).

[Walie]

Как на кой ляд смотреть? Мы там пытаемся независимые гармоники отыскать. Пока безуспешно. Посмотрите, с чего началось обсуждение.

Развеселили .

А почему невозможно держать опору на протяжении всего периода, если известно, по какому закону она двигается?

Потому что из-за реального отлипания от волоса закон-таки неизвестен. Я как-нибудь найду два-три часика в охотку и попробую показать Вам старт колебаний под смычком, очень близкий к настоящему, но идеализированый, конечно. Может статься, что даже MatLab-у такая задача окажется вполне по зубам - надо глянуть.

Но мне все таки не понятно, как туда впихнуть сосредоточенную F(X1,t).

Да так же, как и всякое другое. Просто в этой точке силовой закон будет, типа :
dm*∂²U(X1,t)/∂t² - dm*с²*∂²U(X1,t)/∂x² + F(t) = 0, а в остальных - бэз F.
(dm - масса кусочка расчленённой струны, с - скорость света ночью... э-э... распространения волны в струне)
Сама же F для липкого режима может быть, как : F(t) = k*( U(X1,t) - U_s(t) ), где U_s(t) - координата точки волоса смычка, которая равнялась U(X1,t) в момент склеивания.
Для скользкого : F(t) = b*( ∂U(X1,t)/∂t - V_смычка(t) )
И вся печаль.

[yana1]

Спасибо Роман за замечательный ролик. В нем явно виден крутящий момент в сумме сложных колебаний. Струна от точки "прилипания" смычка до верхнего порожка являет собой как бы тело вращения в 3D. Интересно, что после "отлипа" в некоторый момент направление вращения меняется, компенсируя напряжения. Вспоминается детская игрушка - жужжащая пуговица, закрученная на суровой нитке... Наглядная иллюстрация разницы колебаний "пиццикатных" и "смычковых".

[Роман Н]

Потому что из-за реального отлипания от волоса закон-таки неизвестен.

А мужикам из поста 3274, которые ремонтируют пружинку, закон известен? Или они ее не по закону ремонтируют, а по понятиям?

Я как-нибудь найду два-три часика в охотку и попробую показать Вам старт колебаний под смычком, очень близкий к настоящему, но идеализированый, конечно. Может статься, что даже MatLab-у такая задача окажется вполне по зубам - надо глянуть

"Заметьте, не я это предложил!" Хотя желание такое было. И мои дилетантские комментарии на эту тему - не более, чем "разводка".

[Роман Н]

Спасибо Роман за замечательный ролик

Дык это не мне спасибо, а авторам кино.