Музыкальные системы

[Математик]

Желательно было бы строго различать числа и отношения, которым соответствуют звуки и интервалы.

Мне ясно вполне, что и арифметика и музыка растут на почве объединяющего их множества, известного в арифметике как натуральный ряд чисел, а в музыке как натуральный ряд обертонов.

А мне все яснее становится, что арифметика и теория музыки растут на почве объединяющего их множества, известного в арифметике как числовые отношения, а в музыке как соответствующий универсум интервалов. Действительно, уважаемый commator, ведь с самого начала упор именно на числовые отношения делался:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0.html
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0/2.html

[commator]

с самого начала упор именно на числовые отношения делался:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0.html
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0/2.html

Чушь. Сначала было множество натуральных чисел:

один, два, три, ..., и так далее, ...

[Математик]

Чушь. Сначала было множество натуральных чисел:

один, два, три, ..., и так далее, ...

Я о “дочисловой математике”:“Только потому, что число ярче всего бросается в глаза как всегда - уже - известное, будучи самым знакомым из всего математического, математикой стали называть числовое. Но никоим образом существо математики не определяется числом”.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/9/2/9.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/9/2/6.html

[commator]

Я о “дочисловой математике”

Нет, Вы о числовой математике:

арифметика и теория музыки растут на почве объединяющего их множества

Эта почва есть

множество натуральных чисел:

один, два, три, ..., и так далее, ...

[Математик]

А мне все яснее становится, что арифметика и теория музыки растут на почве объединяющего их множества, известного в арифметике как числовые отношения, а в музыке как соответствующий универсум интервалов. Действительно, уважаемый commator, ведь с самого начала упор именно на числовые отношения делался:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0.html
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0/2.html

Чушь. Сначала было множество натуральных чисел:

один, два, три, ..., и так далее, ...

Я позволил себе несколько более подробно пояснить свою мысль о том, в каком смысле “с самого начала” упор именно на числовые отношения делался:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/3/1/1/1.html

[Математик]

Я позволил себе несколько более подробно пояснить свою мысль о том, в каком смысле “с самого начала” упор именно на числовые отношения делался:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/3/1/1/1.html

Или вот здесь, у Б. Л. ван дер Вардена:
“Традиция, восходящая по крайней мере к 4-му веку до н. э., приписывает открытие числовых отношений для октавы, квинты и кварты самому Пифагору, и в этом случае нет оснований сомневаться в справедливости этого приписывания. Действительно, все теоретические положения, связанные теснейшим образом с этими числами, наверняка являются древнепифагорейскими”.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/4.html

Т. е., по Б. Л. ван дер Вардену, суть открытия Пифагора заключалась в открытии им конкретных числовых отношений, а не каких-либо конкретных натуральных чисел.

[commator]

Я позволил себе несколько более подробно пояснить свою мысль о том, в каком смысле “с самого начала” упор именно на числовые отношения делался:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/3/1/1/1.html

Позволю себе быть уверенным, что без опоры на числа, упор на числовые отношения не возможен.

Не могли же когда-то искать и находить отношения чисел без умения пользоваться этими самыми числами:

один, два, три, ..., и так далее, ...

[Математик]

Позволю себе быть уверенным, что без опоры на числа, упор на числовые отношения не возможен.
Не могли же когда-то искать и находить отношения чисел без умения пользоваться этими самыми числами:

Очень даже могли. Поскольку отношения бинарные – более общие и фундаментальные (во всех смыслах), чем отношения числовые бинарные:
http://www.px-pict.com/9/4/2/3/1/01.html
http://www.px-pict.com/9/4/2/3/1.html

Достаточно начать с аксиоматики отношений общих бинарных, а затем добавить несколько новых аксиом. В результате получится “реляционная система”, неотличимая от системы “числовых отношений”, хотя никаких апеляций к числам при этом построении делаться не будет.

[Математик]

Очень даже могли. Поскольку отношения бинарные – более общие и фундаментальные (во всех смыслах), чем отношения числовые бинарные:

Вот эта операция:
“Отношение (A, C) называется составленным из отношений (A, B) и (B, C), что мы будем далее записывать в виде:”
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html#2

(определенная над элементами любых множеств, не обязательно числовых)
и является ключевым моментом в определении операции “умножения” или “композиции” произвольных бинарных отношений в современном смысле этого слова.

[Андрей0852]

Музыкальная система - это группа из 88 звуков, из которых выделяются ладовые системы (тональные и модальные).