Дерево; его смысл и значение

[commator]

Мне трудно согласиться с Вашим последним утверждением.
Совершенно очевидно для меня, что не сложнее, а проще вычислять операции V и H над дробями (по сравнению с операцией медианты):
“Оно строится при помощи операций V и H, которые определяются на дробях следующим образом:

V(a/b) = a/(a + b); H(a/b) = (a + b)/b.

Как видим, формулы очень простые (вследствие чего и определяемое ими дерево мы называем простым). Давайте подумаем, что операции V и H делают с дробями. Операция V оставляет числитель дроби неизменным, а знаменатель увеличивает на величину числителя.
Операция H оставляет знаменатель дроби неизменным, а числитель увеличивает на величину знаменателя.
Так и хочется назвать эти операции “двойственными”! Как мы увидим впоследствии, они таковыми и являются.”
http://forum.arbuz.uz/index.php?showtopic=1795&st=10
(пост от 30 ноя 2006 на указанной странице)

мои нужды требуют вычисления полосы значений между двумя границами а Ваше изобретение и для этого неудобно использовать.

Возможно имеющее смысл мнение:

​В том, что касается именно теории музыки, то весьма важными, на мой взгляд, являются операции, которые я обозначаю символами V и H

для меня ещё не очевидно.

Пока смысл мне не откроется, буду считать медиантами, как уже научился:

{b/a, d/c} → (b+d)/(a+c).

Нахожу, что для указанной цели нет ничего проще такого расчёта.

само понятие двойственности, имеющее место быть в системе положительных рациональных отношений, для Вас по-прежнему интересно?
Не могли бы Вы прояснить свою позицию по этому вопросу: интересно ли оно Вам и почему?

Позиция убеждённого сторонника дуализма Римана-Эттингена: в тональной музыке всякий тон является обертоном унтертона. Номер обертона пишется в числителе, номер унтертона -- в знаменателе.

Считаю для музыкальной теории существенно важными обертонунтертоновые неопределённости 0/1 и 1/0, символизирующие инфразвуковую и ультразвуковую тишину соответственно. Они присутствуют всегда, но становятся отчётливыми в начале пьесы, в её конце и в паузах внутри. Дерево Вашей конструкции их не показывает, а если они могут быть добавлены, то Ваша конструкция по сути является интерпретацией традиционной медиантовой, которая из корневища {0/1, 1/0} вырастает в ствол 1/1 и крону через одну бинарную операцию.

[commator]

Как я понял, гельмгольцева шероховатость для 2/1, 3/1, 4/1,.. равна (нулю). Мне же хотелось думать что 16ая гармоника "гармоничнее" 15ой

Поэтому имею пристальное внимание к сравнению размеров щелей в окрестностях заметно обособленных штрихов на диске. На Вашем диске (ниже) ширина щели вокруг 15/8 чуть больше 3 ц. Вокруг 16/8=2/1 почти 24 ц. Прямая зависимость гармоничности от ширины щели и 16-й обертон гармоничнее 15-го в натуральной скале (НС) унтертона 16.

Если же рассмотреть другие НС этой унтеральной скалы (УС), то ширина щели, например, вокруг штриха 16/9 почти 3 ц. Вокруг 15/9=5/3 чуть больше 9 ц. Получается, что в НС унтертона 9 обертон 15 гармоничнее обертона 16.

Между прочим был приятно удивлён: Вы на своей версии диска щели акцентировали, да ещё именно там, где надо -- вблизи внутреннего центового лимба. Когда сделаю диск по Вашему образцу, наложу на это пространство прозрачные цветные зоны Гарбузова для ходовых у меня систем 53/31/12РДО.

Уважаемый bntr показал свою версию диска, что впечатляет:



Мне нравится, что к центовому лимбу изнутри примыкает пространство, где штрихами чётко выявляется затронутый в обсуждении индийской монографии о шрути факт:

Картинка со стр. 25

Картинку расчитали и построили исходя из психоакустических соображений.

По поводу этой картинки очень любопытное наблюдение зафиксировано на стр. 24:

<<... Один интересный пункт на заметку из рисунка есть то, что, в общем, не только делаются соотношения, представляющее двенадцать нот [что] имеют МА больше, чем их окружающие, но они также показываются с некоторым свободным пространством с обеих сторон. Они, видятся, чтобы стоять четко отдельно ...>>

Этот факт порождает мысль, что MA можно попытаться поставить в зависимость от ширины свободного пространства вокруг ноты. В первом приближении представляется, что чем шире пространство, тем выше уровень приемлемости.

Может быть эта теория, или ДШБ, или их сочетание способны дать возможность автоматически выстраивать в заданной окрестности вокруг произвольной точки на числовой оси все рациональные числа с заданным верхним пределом значений числителя/знаменателя?

Учитывая в центах ширину свободного пространства в окрестности обособленных высотных штрихов, соответствующие им сонанты можно выстроить в следующем порядке обособленности:

1. Оригинант суборигинанта ↔ :Фф [¹/₁] ~ 46 ц.
2. Тонант суборигинанта ↔ :Tф [²/₁] ~ 24 ц.
3. Доминант субтонанта ↔ :Dt [³/₂] ~ 15 ц.
4. Дватонант субдоминанта ↔ :2Td [⁴/₃] ~ 12 ц.
5. Медиант двасубтонанта ↔ :M2t [⁵/₄] ~ 10 ц.
6. Медиант субдоминанта ↔ :Md [⁵/₃] ~ 9 ц.
7. Доминантонант субмедианта ↔ :DTm [⁶/₅] ~ 8 ц.
8. Квартант субмедианта ↔ :Qm [⁷/₅] ~ 7 ц.
9. Квартант субдоминантонанта ↔ :Qdt [⁷/₆] ~ 7 ц.
10. Квартант двасубтонанта ↔ :Q2t [⁷/₄] ~ 6 ц.
11. Тритонант субмедианта ↔ :3Tm [⁸/₅] ~ 6 ц.
12. Тритонант субквартанта ↔ :3Tq [⁸/₇] ~ 6 ц.
13. Двадоминант субмедианта ↔ :2Dm [⁹/₅] ~ 5 ц.
14. Медиантонант субквартанта ↔ :MTq [¹⁰/₇] ~ 5 ц.
15. Двадоминант субтритонанта ↔ :2D3t [⁹/₈] ~ 5 ц.
16. Двадоминант субквартанта ↔ :2Dq [⁹/₇] ~ 5 ц.
17. Медиантонант двасубдоминанта ↔ :MT2d [¹⁰/₉] ~ 5 ц.
18. Ундецимант медиантонанта ↔ :Nmt [¹¹/₁₀] ~ 4 ц.
19. Ундецимант трисубтонанта ↔ :N3t [¹¹/₈] ~ 4 ц.
20. Ундецимант субквартанта ↔ :Nq [¹¹/₇] ~ 4 ц.
21. Ундецимант субдоминантонанта ↔ :Ndt [¹¹/₆] ~ 4 ц.
22. Доминандватонант субундециманта ↔ :D2Tn [¹²/₁₁] ~ 4 ц.
23. ...

[commator]

Из темы о шрути:

• Alan Danielou

На Сети наконец появились бесплатные PDF его всемирно известных трудов:

• http://ibiblio.org/guruguha/MusicRes...1954-0002a.pdf
• http://luizfernando.info/pbd/Music%2...20Danielou.pdf

[bntr]

Как получается, что 16ая гармоника музыкального звука "гармоничнее" 15ой (а 15ая - 14ой, из-за соответствия ЧИП2, ЧИП5 и ЧИП7)?

На Вашем диске (ниже) ширина щели вокруг 15/8 чуть больше 3 ц. Вокруг 16/8=2/1 почти 24 ц. Прямая зависимость гармоничности от ширины щели и 16-й обертон гармоничнее 15-го в натуральной скале (НС) унтертона 16.

Формулы Эйлера и Барлоу также показывают что 15/1 гармоничнее 14/1, чего не могут показать ни диск (в сравнении 15/8 и 14/8), ни дерево.

[commator]

Формулы Эйлера и Барлоу также показывают что 15/1 гармоничнее 14/1, чего не могут показать ни диск (в сравнении 15/8 и 14/8), ни дерево.

Надо посмотреть дерево между 8/1 и 16/1, а лучше заказать машине диск такой построить. Может быть и покажет, в чём я не уверен. Как не уверен и в том, что именно формулы Эйлера-Барлоу бесспорно передают действительную гармоничность.

Диск в сущности есть вид сверху на ДШБ, свёрнутое в трёхмерную винтовую спираль. От этого с ним удобнее работать, как целиком, так и по центам. Необходимо помнить, однако, что дерево на диске видимо лишь в одном октавном диапазоне из множества всех вычисляемых, а в каждом из них картинки получаются разные, хотя и похожие.

Октавный винтовой подъём дерева происходит над штрихом с положением 0↔12 часов, совпадающий с таковым на циферблате часов.

[bntr]

Надо посмотреть дерево между 8/1 и 16/1, или диск такой построить. Может быть и покажет.

Не могут показать, т.к. ни диск, ни дерево не отражают разложения на простые множители (не отражают разделения ЧИ по пределам).

[commator]

Не могут показать, т.к. ни диск, ни дерево не отражают разложения на простые множители (не отражают разделения ЧИ по пределам).

От пределов зависит не столько гармоничность, сколько богатство освоенных интонаций. Набор последних для академической музыки западного толка существенно обеднён примерно тремя-четырьмя сотнями лет необходимости сомнительно аппроксимировать ЧИ не выше предела 5 из-за т. н. хороших темпераций, выродившихся в нынешнюю систему 12РДО, которую турки, например, сочли для себя плохой и пробуют приспособиться к 53РДО, находя её существенно лучшей.



<<... Благодаря превосходной близости любой 24-тоновой модели к соответствующим тонам октавы при делении ее на 53 равных части, методология "9 комм на целый тон; 53 коммы на октаву" единодушно принята в лексиконе, описывающем турецкой макам, и в процессе обучения турецкому макаму ...>>

Because of the excellent proximity of either 24-tone model to the related tones of 53-equal divisions of the octave, the “9 commas per whole tone; 53 commas per octave” methodology is unanimously accepted in Turkish makam music parlance and education

Yarman, Ozan (fall 2007). «A Comparative Evaluation of Pitch Notations in Turkish Makam Music: Abjad Scale & 24-Tone Pythagorean Tuning — 53 Equal Division of the Octave as a Common Grid». Journal of interdisciplinary music studies 1 (2): 43-61.

Есть и более решительное заявление:

<<... 2) интервалы используемые во всей музыке и во все времена <...> производит шкала пятидесяти трех звуков. ...>>

2) The intervals used in all music and at all times <...> by their different combinations, produce the scale of fifty-three sounds.

• Alan Danielou

На Сети наконец появились бесплатные PDF его всемирно известных трудов:

• <...>
• http://luizfernando.info/pbd/Music%2...20Danielou.pdf

И ещё Риман (1901), Темперация:

<<... Только 53-ступенная система удовлетворяет всем требованиям (впервые это доказано Николаем Меркатором ок. 1675; срв.Гольдер, [стр. 378]) ...>>

Фрагмент на английском из Гольдера приводит Риман Г (1898). Акустика с точки зрения музыкальной науки. — Перевод с немецкого Н. Кашкина. — Москва: Типо-лит. К. Александрова. — c. 67:

<<... Николай Меркатор, скромное лицо и ученый и разумный математик <...> вывел гениальное изобретение поиска и применения наименьшей общей меры всех гармонических интервалов, не строго идеальной, но очень близкой к ней. Предполагая комму 1/53-ей частью октавы <...> эту 1/53-ю он называет искусственная комма не точная, но отличающаяся от истинной природной коммы приблизительно на 1/20 часть коммы ...>>

Nicholas Mercator a modest person and a learned and judicious mathematician <…> has deduced an ingenious invention of finding and applying a least common measure to all harmonic intervals, not precisely perfect, but very near to it. Supposing a comma to de 1/53 part of diapason <…> wich 1/53 he calls an artificial comma not exact, but differing from the true natural comma about 1/20 part of a comma

Holder, W. (1731) A treatise of the natural grounds and principles of harmony.

[bntr]

От пределов зависит не столько гармоничность, сколько богатство освоенных интонаций.

При "решении практических задач детемперации/перенастройки музыкальных произведений" не чуствовали ли Вы потребности в иной структуре (кроме диска и дерева) - отражающей разложение на простые множители (разделение ЧИ по пределам)?

[commator]

При "решении практических задач детемперации/перенастройки музыкальных произведений" не чуствовали ли Вы потребности в иной структуре (кроме диска и дерева) - отражающей разложение на простые множители (разделение ЧИ по пределам)?

Пока мне на этом Форуме ув. Математик не указал на существование ДШБ, я натужно пытался самостоятельно найти способ устроить из кучи сонантов подобие таблицы Менделеева для облегчения ручной работы.

Сделал некоторое MS Access/Excell подспорье и по сей день им пользуюсь вместе с Sibelius. Иногда заглядываю в Scala и Studio 4.

Ради исключения ошибок ручной детемперации/перенастройки была и остаётся потребность в создании автомата, переносящего тональные пьесы из 24/12РДО в 53/31РДО.

Мечты о таком автомате перестали казаться слишком заоблачными после закручивания ДШБ в диск и счастливого рождения Вашей программной генерации этого процесса.

Не требует никакого анализа перенос поддающихся ЧИП5 пьес из 12РДО в 31РДО, где мерзкие пифагорейские б. терции просто невозможны. Такой автомат оказалось довольно легко придумать и сделать в виде плагина для Sibelius. Этот автомат обнаружил ценное свойство системы 31РДО: заметно для слуха фальшивить в энгармонически неверно нотированных местах и верно интонировать после ручного исправления там ошибок. Он был затем расширен до возможности переноса поддающихся любой ЧИПp пьес из 24РДО в 31РДО. Переносить такие пьесы из 12РДО в 31РДО он может только после ручного их переноса в 24РДО через сонантометрию, или другим способом, мне неизвестным.

Пробовал через пробы-ошибки перенос поддающихся ЧИП5 пьес из 12РДО в 22РДО вручную и автоматически в 19РДО. На мой слух местами заметно фальшивило и системы 22/19РДО были отброшены.

[bntr]

Он был затем расширен до возможности переноса поддающихся любой ЧИПp пьес из 24РДО в 31РДО.

Перенос ЧИПp 24РДО->31РДО не требует детемперации?