Дуализмы

[commator]

Высказывания Ю. Н. Холопова тоже часто не принимаются во внимание:
<...>
“Важнейшая теория выводит мажор и минор из природных явлений. Ее пытался создать Рамо, ее изо всех отстаивал, иногда даже "рассудку вопреки, наперекор стихиям", Хуго Риман ...

http://www.px-pict.com/preprints/kholopov/1.html

Если сравнить писания Римана и Холопова, то "рассудку вопреки, наперекор стихиям", как раз не у Римана понаписано. Не даром про радужный спектр натурального звукоряда из холоповского учебника гармонии предпочитают даже холоповиане помалкивать, а про обертоново-унтертоновый дуализм Римана-Эттингена известно всему миру и субгармонические свойства звучащих тел по сей день остаются важным предметом исследований, вопреки досужей болтовне об отсутствии унтертонов.

[Математик]

Часто открытие неожиданной “двойственности” в системе помогает увидеть ее в новом свете. Можно привести пример с проективной геометрией:
http://px-pict.com/10/3/4/6/11.html
http://px-pict.com/10/3/4/5/1/6c.html

[Математик]

Следующая картинка из книги Клейна (черт. 113) поясняет общий ход мысли:
“Гиперболическое мероопределение на прямой линии мы можем сделать наглядным, подобно тому как мы это сделали для эллиптического...

А ведь гиперболическое в определенном смысле тоже дуально эллиптическому. Характерный признак, указываемый Бурбаки:
“… самым ярким примером этого является, вероятно, двойственность в проективной геометрии, где частая в то время практика печатания теорем, "двойственных" одна другой, друг против друга в две колонки сыграла, безусловно, большую роль в осознании понятия изоморфии.”
http://www.px-pict.com/9/6/6/1/1.html

здесь, вне всякого сомнения, также наличествует:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/4/1/2/2.html

[Математик]

В каком-то смысле дуализм, присутствующий в системе, свидетельствует о ее “справедливом устройстве”. Когда, по крайней мере, реализуется принцип “и ни вашим, и ни нашим” (так называемая “справедливость в первом приближении”):
http://club443.ru/arc/index.php?showtopic=162728&st=0

На проективной плоскости это касается точек и прямых:

Часто открытие неожиданной “двойственности” в системе помогает увидеть ее в новом свете. Можно привести пример с проективной геометрией:
http://px-pict.com/10/3/4/6/11.html
http://px-pict.com/10/3/4/5/1/6c.html

По этой причине проективную плоскость можно назвать “системой высокой справедливости”. Точки и прямые наделены в ней абсолютно равными правами (и обязанностями).

[vcirkov]

В каком-то смысле дуализм, присутствующий в системе, свидетельствует о ее “справедливом устройстве”.

Система инт. баланса устроена, видимо, по другому. С одной стороны это борьба за выживание, которая уравновешивается сводом правил, устанавливающих для каждой типичной ситуации возможные алгоритмы действий. Так, например, должен "работать" хоровой строй. С другой стороны - баланс - способ наведения интон. "резкости". То есть такой сдвиг высот, который обеспечивает слаженность звучания в эффекте, подобном стерео, когда резкость выставляется с позиции двух органов. Зрение здесь работает не так, как слух. Расстояние между глазами выставлено как бы изначально, слух же требует того, чтобы выставлялись звуки в строе. В этом смысле ЧС - строй для одного уха.

[Математик]

Более современные мысли о геометрии и геометризации можно найти у Кострикина – Манина:
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/5/2.html

Каждая уважающая себя система со временем обзаводится своим дуализмом. Векторные (или “линейные”, как их еще называют) пространства не исключение.
“Теория двойственности получила свое название благодаря тому, что она выявляет ряд свойств "двусторонней симметрии" линейных пространств, довольно трудных для наглядного воображения, но совершенно фундаментальных. Достаточно сказать, что дуализм "волна — частица" в квантовой механике адекватно выражается именно на языке линейной двойственности бесконечномерных линейных пространств (точнее соединения линейной и групповой двойственности в технике анализа Фурье)”.
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/5/1/7.html

Этот дуализм существенно используется в контексте “связки”:

Вот структура, на которой все это можно, как мне представляется, наглядно показать. Так называемая “связка”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/1/21.html

Она, конечно, выглядит как “хитрая” модель проективной плоскости, но ее преимущество в том, что все построения и объяснения могут быть проведены очень наглядно. Нужно только провести ее качественную “оцифровку”, чтобы получит математические формулы, оперирующие с числами.

Ковекторы (как и векторы) желательно научиться видеть:
Как нарисовать векторы и ковекторы?, чтобы было понятно
http://club443.ru/arc/index.php?showtopic=127705

[Математик]

Оголевец исследовал дуализм, реализующийся в в любом ряде из одиннадцати последовательных квинт квинтовой спирали:

... “старое правило Римана” дает алгоритм, позволяющий однозначно определить тонику и доминанту в любом ряде из одиннадцати квинт квинтовой спирали (если звуки этого ряда упорядочить по высоте):

В квинтовой спирали что-то изменяется, а что-то остается постоянным.
В частности, всякий ряд из одиннадцати квинт (если звуки этого ряда упорядочить по высоте) обладает одним и тем же “рисунком” распределения (пифагорейских) диатонических и хроматических полутонов. Я изобразил это графически для одного из возможных рядов из 11 последовательных квинт в квинтовой спирали.
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/2/2/1/1.html

Т. е. порядок чередования красных и синих дуг “графа” будет всегда одним и тем же, вне зависимости от того, какой ряд из 11 последовательных квинт квинтовой спирали я положу в основу построения такого графа.

Красная дуга соответствует ходу на пифагорейский диатонический полутон (леймму, примерно 90 центов); синяя дуга соответствует ходу на пифагорейский хроматический полутон (апотому, примерно 114 центов).

Если присмотреться к этому “рисунку”, то можно заметить, что во множестве из 12-звуков (они помещены в прямоугольную рамочку):
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/2/2/1/1.html

существует только два звука, в которые не входят и из которых не выходят синие стрелки. Низший по высоте из этих звуков Оголевец называет “тоникой”, а саму систему из указанных 12-звуков – “тональной системой с данной тоникой”.

Таким образом, понятие “тоники” может быть формально определено (равно как и понятие “тональной системы”).

“Старое правило Римана”, которое по мнению самого Римана следует из строго тональной логики, следующим образом согласовано со структурой “тональной системы Оголевца”:

Если из некоторого звука “тональной системы Оголевца” существует ход на пифагорейский хроматический полутон, то следующим ходом в том же направлении может быть (и всегда будет!) только ход на пифагорейский диатонический полутон.
Это есть просто формальное свойство “тональной системы”, рассматриваемой как “граф” указанного вида; оно может быть оформлено в виде математической теоремы.

Одна из картинок, иллюстрирующая этот дуализм:
“Из таблицы и рисунка, приведенных выше, ясно, что закономерность во взаимных ближайших связях звуков друг с другом имеет здесь строго последовательный характер. Выпишем все эти звуки по квартам и обозначим их направленность к соединению с ближайшим диатоническим полутоном тональной системы”.
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/3/3.html

[Математик]

А что такое “арифметика” наша, уважаемый commator?
Почему она есть “теория чисел”, а не “теория отношений”? Я уже задавал этот вопрос раньше:
http://dxdy.ru/post237997.html#p237997

Как мы помним, древнегреческая теория музыки связывалась с теорией “отношений”:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2/1.html

Каждая уважающая себя система со временем обзаводится своим дуализмом.

Теорию рациональных отношений мы можем с самого начала положить в основание арифметики. Ничего при этом мы не потеряем, зато приобретем (при надлежащем осознании этой системы) замечательный принцип двойственности, существующий в ней:
http://dxdy.ru/topic16277.html

[Математик]

В своих теориях Риман везде стремится выделить присущий музыкальным явлениям дуализм.

Возможно, Риман интуитивно чувствовал дуализм математической системы, которую он пытался использовать для описания упомянутого музыкального дуализма.
А именно, дуализм (или “двойственность”) внутри системы положительных рациональных чисел...
Частным случаем проявления этого дуализма является дуализм Дерева, который нами тоже уже обсуждался:

Дуализм – понятие математическое, а не физико-акустическое.
Дуализм в системе положительных рациональных чисел существует.
Соответствующая математическая теория “дуальности” является корректной. Я углубленно исследовал этот вопрос здесь:
http://dxdy.ru/topic16277.html

С позиций теории музыки математическая система положительных рациональных чисел интересна потому, что:

Теория, известная ныне как “теория положительных рациональных чисел” первоначально задумывалась как средство представления знаний о музыкальных интервалах:
“... практическое приложение теории отношений имело место в построени теори музыки”.
http://www.px-pict.com/7/4/2/2/1.html

“На этом и было основано применение теории отношений к теории музыки: всякому музыкальному интервалу, т. е. паре звуков, ставили в соответствие отношение высот этих звуков, т. е. пару (A, B) целых чисел, измеряющих эти высоты звуков”.
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html

С другой стороны, по поводу физико-акустической интерпретации этой корректной математической теории двойственности Риманом существуют, как известно, очень большие вопросы.

[commator]

Дуализм – понятие математическое, а не ...

Погорячились Вы. Дуализм — не только математическое понятие:

http://tolkslovar.ru/d7147.html