53-ступенная равномерная темперация

[vcirkov]

Ну, положим, не Вам такие упрёки высказывать. Ваше искусство нагораживания -- недостижимый образец: ч.5_ЧC = 1200*ln(3/2)/ln2 = 701,9550008653874 ц.
ч.5_53РДО = 1200*31/53 = 701,8867924528302 ц.

ч.5_ЧC-ч.5_53РДО = 701,9550008653874-701,8867924528302 = 0,068208412557

Ваш примерно один цент на деле и до одной десятой не дотягивает.

Спасибо за уточнение. Теперь уж не буду путать. Но принципиально все, что я написал остается в силе. Логика моя в том, что, если мы к синему примешиваем желтый, мы не можем утверждать, что зеленый является базовым цветом, хотя в нем и содержатся два цвета. Я всего лишь хотел уточнить, что терции (септимы и т. д. ) надстраиваются к примам возможных аккордов. Они надстраиваются к ним, то есть в них самих: в терциях не могут содержаться квинты, а а септимах терции. Эти последние (терции и септимы) должны строится именно как септимы и терции, а не как остатки от них в других, например, уменьшенных аккордах.
И еще вопрос для Вас. Если Вы полагаете, что терция 53РДО может быть аппроксимацией ЧС, в этой же 53РДО, вероятно, можно найти и подходящий звук для аппроксимации септимы? Иначе, для ЧИП7.

[vcirkov]

Ну, положим, не Вам такие упрёки высказывать. Ваше искусство нагораживания -- недостижимый образец

Спасибо за комплимент.

Ваш примерно один цент на деле и до одной десятой не дотягивает.

Иначе говоря, комма ПС больше коммы 53РДО не более чем на один цент. Эту разницу можно определить только в цифрах, на слух не берусь. Так в чем же отличие ПС от 53РДО. Это не аппроксимация, а неотличимая на слух копия ПС. Возникает вопрос: как можно говорить, что 53РДО - аппроксимирует ЧС? С такой же обоснованностью можно утверждать, что и в самом ПС аппроксимируется ЧС. Хотя на деле, он не аппроксимируется ни в ПС, ни в 53РДО, так так терции этих систем очень далеки от консонансов.

[commator]

терции (септимы и т. д. ) надстраиваются к примам возможных аккордов. Они надстраиваются к ним, то есть в них самих: в терциях не могут содержаться квинты, а а септимах терции. Эти последние (терции и септимы) должны строится именно как септимы и терции, а не как остатки от них в других, например, уменьшенных аккордах.
И еще вопрос для Вас. Если Вы полагаете, что терция 53РДО может быть аппроксимацией ЧС, в этой же 53РДО, вероятно, можно найти и подходящий звук для аппроксимации септимы? Иначе, для ЧИП7.

В бесконечной математической системе ЧИ (чистой интонации) натуральная большую терцию 386 центов (⁵/₄) нельзя получить , путём одновременного выстраивания цепей октав 1200 центов (²/₁) и квинт 702 цента (³/₂) от некоторой высоты. Там нельзя и натуральную гармоническую септиму 968 (⁷/₄₎ получить, комбинируя цепи октав 1200 центов (²/₁), квинт 702 цента (³/₂) и терций 386 центов (⁵/₄).

В конечной физической системе 53РДО, где натуральной остаётся только октава 1200 центов (²/₁), получаются очень близкие к натуральным искусственные интервалы:

• большая терция 385 центов (17*1200/53),
• гармоническая септима 974 цента (43*1200/53).

в чем же отличие ПС от 53РДО. Это не аппроксимация, а неотличимая на слух копия ПС <...> можно утверждать, что и в самом ПС аппроксимируется ЧС. Хотя на деле, он не аппроксимируется ни в ПС, ни в 53РДО, так так терции этих систем очень далеки от консонансов.

Уточню: музыковеды о ПС обычно пишут как о хроматической 12-тоновой системе, построенной из цепей октав 1200 центов (²/₁) и квинт 702 цента (³/₂) от некоторой высоты. Упоминают о существовании диезной и бемольной разновидностей ПС. Очень редко пишут о совмещении диезных и бемольных разновидностей в энгармонической версии ПС, а о том, что ПС есть фрагмент бесконечной математической системы ЧИП3 (чистой интонации предела 3) пишут пока лишь на английском.

Система 53РДО конечная и потому допускает физическое воплощение в виде пригодных для музицирования клавишных инструментов.

Математическая система ЧИП3, понимаемая как бесконечный ПС, может аппроксимировать всякий интервал ЧИ каждого более высокого предела с любой желаемой точностью. Как сделать пригодный для игры инструмент с бесконечным количеством клавиш ещё не известно.

[vcirkov]

В бесконечной математической системе ЧИ (чистой интонации) натуральная большую терцию 386 центов (⁵/₄) нельзя получить , путём одновременного выстраивания цепей октав 1200 центов (²/₁) и квинт 702 цента (³/₂) от некоторой высоты. Там нельзя и натуральную гармоническую септиму 968 (⁷/₄₎ получить, комбинируя цепи октав 1200 центов (²/₁), квинт 702 цента (³/₂) и терций 386 центов (⁵/₄).

Что-то не припомню, что я предполагал возможность построения всех возможных ЧИПов при помощи только октав и квинт. Я же описал свое представление о том, что каждая следующая система ЧИП строится как надстройка от примы предполагаемого аккорда. Впрочем, никакая это не система ЧИП, а только единичные звуки. Вот попалась терция, секста или септима, строим ее чисто, и всего-то.

В конечной физической системе 53РДО, где натуральной остаётся только октава 1200 центов (²/₁), получаются очень близкие к натуральным искусственные интервалы:

• большая терция 385 центов (17*1200/53),
• гармоническая септима 974 цента (43*1200/53).

Вы говорите о возможностях 53РДО вообще, а я только о двух векторах ПС, которые аппроксимируются в 53РДО. Мы только их можем расположить на клавиатуре с двойными черными клавишами. Прочие звуки в системе случайны, они не из ПС. То есть на деле мы можем заменить аппроксимированную терцию ПС только на звук, который будет соответствовать другому звуку, который в свою очередь мог бы быть энгармоничен ему в ТС.

[commator]

Из обсуждения дерева Штерна-Броко:

<<... Благодаря превосходной близости любой 24-тоновой модели к соответствующим тонам октавы при делении ее на 53 равных части, методология "9 комм на целый тон; 53 коммы на октаву" единодушно принята в лексиконе, описывающем турецкой макам, и в процессе обучения турецкому макаму ...>>

Because of the excellent proximity of either 24-tone model to the related tones of 53-equal divisions of the octave, the “9 commas per whole tone; 53 commas per octave” methodology is unanimously accepted in Turkish makam music parlance and education

Yarman, Ozan (fall 2007). «A Comparative Evaluation of Pitch Notations in Turkish Makam Music: Abjad Scale & 24-Tone Pythagorean Tuning — 53 Equal Division of the Octave as a Common Grid». Journal of interdisciplinary music studies 1 (2): 43-61.

Есть и более решительное заявление:

<<... 2) интервалы используемые во всей музыке и во все времена <...> производит шкала пятидесяти трех звуков. ...>>

2) The intervals used in all music and at all times <...> by their different combinations, produce the scale of fifty-three sounds.

• Alan Danielou

На Сети наконец появились бесплатные PDF его всемирно известных трудов:

• <...>
• http://luizfernando.info/pbd/Music%2...20Danielou.pdf

И ещё Риман (1901), Темперация:

<<... Только 53-ступенная система удовлетворяет всем требованиям (впервые это доказано Николаем Меркатором ок. 1675; срв.Гольдер, [стр. 378]) ...>>

Фрагмент на английском из Гольдера приводит Риман Г (1898). Акустика с точки зрения музыкальной науки. — Перевод с немецкого Н. Кашкина. — Москва: Типо-лит. К. Александрова. — c. 67:

<<... Николай Меркатор, скромное лицо и ученый и разумный математик <...> вывел гениальное изобретение поиска и применения наименьшей общей меры всех гармонических интервалов, не строго идеальной, но очень близкой к ней. Предполагая комму 1/53-ей частью октавы <...> эту 1/53-ю он называет искусственная комма не точная, но отличающаяся от истинной природной коммы приблизительно на 1/20 часть коммы ...>>

Nicholas Mercator a modest person and a learned and judicious mathematician <…> has deduced an ingenious invention of finding and applying a least common measure to all harmonic intervals, not precisely perfect, but very near to it. Supposing a comma to de 1/53 part of diapason <…> wich 1/53 he calls an artificial comma not exact, but differing from the true natural comma about 1/20 part of a comma

Holder, W. (1731) A treatise of the natural grounds and principles of harmony.

[commator]

О пионере строительства музыкальных инструментов системы 53РДО из обсуждения методов ИИ в ТМ:

может быть интересна работа с фамилией Флетчер (не знаю, этот ли Fletcher, но тоже T. J. писал в 60-х об эвристическом подходе к матрицам):



Получил эту копию в ответ на вопросы о фисгармонии Бозанкета из лондонского научного музея 9 лет назад вместе с другими материалами, для меня важными.

Потом в Сети попался портрет, связывающий фамилии Бозанкет и Флетчер:



Выясняется, что эта самая Мери Бозанкет Флетчер, 1739 года рождения, упомянута в одном фамильном дереве с Бозанкетовыми братьями, адмиралом Деем и философом Бернардом. Физик, математик и музыкальный теоретик Роберт Холфорд туда не вписан пока, если оттуда не вычеркнут; последнее вполне вероятно: мне в Англии дали понять, что у семьи есть повод на него обижаться.

Выясняется также, что семьи Бозанкет и Флетчер дружили и в начале 20-го века.

Долго не отыскивался портрет самого Роберта Холфорда Макдоуoлла. Теперь, среди множества других интересных фотографий, он есть:

Стоит отметить, что фамилию Bosanquet было бы естественнее по-русски произносить и писать Босанке. Я так и делал какое-то время, начиная с 2004 и был не одинок:

Да, я тоже просто припух, обнаружив вчера эту статью. Почему-то раньше она мне не попадалась. Необычайно обстоятельная статья 1874 года - это нечто. Первая часть тоже есть, вчера просто технически не получилось все выложить. Сегодня доложу. Этот Босанке, видимо, был большим ученым в те времена. Вот список доступных работ этого деятеля.

Temperament; Or, the Division of the Octave [Part I]
R. H. M. Bosanquet
Proceedings of the Musical Association > 1st Sess. (1874), pp. 4-17
Temperament; Or, the Division of the Octave [Part II]
R. H. M. Bosanquet
Proceedings of the Musical Association > 1st Sess. (1874), pp. 112-158
On Some Points in the Harmony of Perfect Consonances
R. H. M. Bosanquet
Proceedings of the Musical Association > 3rd Sess. (1876), pp. 145-153
On a Mode of Producing Continuous Notes from Resonators. Some Experiments with a Revolving Stop-Cock
R. H. M. Bosanquet
Proceedings of the Musical Association > 6th Sess. (1879), pp. 15-30
On the Arrangement of the Stops, Pedals, and Swell in the Organ
R. H. M. Bosanquet
Proceedings of the Musical Association > 8th Sess. (1881), pp. 1-11
On the Beats of Mistuned Harmonic Consonances
R. H. M. Bosanquet
Proceedings of the Musical Association > 8th Sess. (1881), pp. 13-27
On Just Intonation in Music; with a Description of a New Instrument for the Easy Control of All Systems of Tuning other than the Ordinary Equal Temperament. [Abstract]
R. H. M. Bosanquet
Proceedings of the Royal Society of London > Vol. 21 (1872), pp. 131-132
The Theory of the Division of the Octave, and the Practical Treatment of the Musical Systems Thus Obtained. Revised Version of a Paper Entitled 'On Just Intonation in Music; with a Description of a New Instrument for the Easy Control of Systems of Tuning other than the Equal Temperament of 12 Divisions in the Octave
R. H. M. Bosanquet
Proceedings of the Royal Society of London > Vol. 23 (1874), pp. 390-408
On the Hindoo Division of the Octave, with Some Additions to the Theory of the Higher Orders. [Abstract]
R. H. M. Bosanquet
Proceedings of the Royal Society of London > Vol. 25 (1876), pp. 540-541
On the Hindoo Division of the Octave, with Some Additions to the Theory of Systems of the Higher Orders
R. H. M. Bosanquet
Proceedings of the Royal Society of London > Vol. 26 (1877), pp. 372-384

и особенно вот этот шедевр
Preliminary Paper on a Uniform Rotation Machine; and on the Theory of Electromagnetic Tuning Forks. [Abstract]
R. H. M. Bosanquet
Proceedings of the Royal Society of London > Vol. 34 (1882), pp. 445-447

Если что заинтересует, сочту за честь отгрузить. Да и еще надо покопаться.

этот Босанке рассказывал

Затем нашлись о нём упоминания в известной советской музыковедческой литературе, где по-русски эта фамилия была побуквенно превращена в Бозанкет:

Гармониум с 53 звуками в октаве был построен Бозанкетом

Поскольку до меня о Босанке по-русски всё написано, как о Бозанкете, счёл для себя оптимальным решением присоединиться к этой традиции и снова был не одинок:

Эта сонантометрия - довольно странный и примитивный перепев идей, идущих, скажем, от Бозанкета и Айца

Интересно, что будучи в Англии, в гостях у семьи Флюк, от них я услышал по-английски о Босанке. Сказал, что по-русски говорят о Бозанкете и наблюдал некоторое удивление в ответ. Тактичная Пэм предложила далее по-дружески говорить о мистере Би.

Через некоторое время англичане предложили послушать компакт диск с Бажаном. Я напряжённо спросил кто это? Показали обложку с надписью Bajan и мне с облегчением оставалось ответить, что у нас это называется баян.

[commator]

Что-то не припомню, что я предполагал возможность построения всех возможных ЧИПов при помощи только октав и квинт

Вы, возможно, и не предполагали, а я твёрдо знаю, что возможности точного построения нет, но есть возможность бесконечного приближения (аппроксимации) c той или иной точностью. Например:

в системе ЧИП5

• 386 центов ↔ цепь 1-й б17_ЧИП5 вверх + цепь 2-х ч8_ЧИП2 вниз ↔ (⁵/₁)⁺¹·(²/₁)^-2 = 5¹/2² = ⁵/₄ = 1,25

в системе ЧИП3

• 408 центов ↔ цепь 4-х ч5_ЧИП3 вверх + цепь 6-ти ч8_ЧИП2 вниз ↔ (³/₂)⁺⁴·(²/₁)^-6 = 3⁴/2⁶ = ⁸¹/₆₄ = 1,265625
• 384 цента ↔ цепь 8-ми ч5_ЧИП3 вниз + цепь 5-ти ч8_ЧИП2 вверх ↔ (³/₂)^-8·(²/₁)⁺⁵ = 2¹³/3⁸ = ⁸¹⁹²/₆₅₆₁ = 1,248590
• 388 центов ↔ цепь 45-ти ч5_ЧИП3 вверх + цепь 26-ти ч8_ЧИП2 вниз ↔ (³/₂)⁺⁴⁵·(²/₁)^-26 = 3⁴⁵/2⁷¹ = ^{2954312706550833698643}/_{2361183241434822606848} = 1,251200
• _...
  

никакая это не система ЧИП, а только единичные звуки. Вот попалась терция, секста или септима, строим ее чисто, и всего-то

Когда так бессистемно строят интервалы по одному, хоть бы и чисто, возникает ползучая модуляция. Чтобы этого не было, необходимо добывать и употреблять знания о системе ЧИ каждой пьесы.

[vcirkov]

Вы, возможно, и не предполагали, а я твёрдо знаю, что возможности точного построения нет, но есть возможность бесконечного приближения (аппроксимации) c той или иной точностью.

При чем здесь аппроксимации? Понятное дело, что лучше РДО пока ничего не придумали для фиксированных звукорядов, будь это обычная клавиатура, или какая-нибудь усложненная. Но и аппроксимация должна быть рассмотрена не только с позиции приближения к той или иной модели строя. Ведь какая-нибудь аппроксимация может превосходить свой идеал, в том случае, если звуки в аппроксимированной модели, допустим, лучше сбалансированы по биениям ( в среднем). Потом, если Вы преподносите 53РДО как аппроксимацию ПС, - это одно, а если ЧС, - совсем другое. Это нужно хотя бы оговаривать.

Когда так бессистемно строят интервалы по одному, хоть бы и чисто, возникает ползучая модуляция. Чтобы этого не было, необходимо добывать и употреблять знания о системе ЧИ каждой пьесы.

Что значит бессистемно? Может я плохо въехал в вопрос, объясните. Вот есть цепь квинт в РДО, а для ЧИП5 разве предполагается цепь терций? Тональная система должна оставаться в пределах ЧИП3, остальные звуки подстраиваются в эту базу. Об этом я и писал, когда называл прочие ЧИПы надстройкой.

[commator]

Может я плохо въехал в вопрос, объясните. Вот есть цепь квинт в РДО, а для ЧИП5 разве предполагается цепь терций?

Не предполагается цепь терций в ЧИП5. Она там есть. Там сосуществуют цепи квинт, больших и малых терций, и больших и малых секунд тоже.

Въезжайте в вопрос как следует. Вот материал для начала:

Оголевец с горечью писал:
“... на этот путь взгляд бросить необходимо, чтобы стало ясно, из какого тупика предстоит выбраться теории”.

Несколько ранее он написал следующие строки:
“Происхождение мажора стали (и бесплодно) отыскивать в данностях природы. Минор пытались (и абсолютно с негодным историческим результатом) выводить из мажора, как вторичное явление.
Представляет ли какой-нибудь интерес перечислять все работы этого рода, кроме интереса чисто исторического, подчас анекдотического характера? Очевидно, это не представляет большего интереса, чем перечисление и описание работ и претензий на патенты изобретателей, стремившихся к открытию законов "вечного движения"”.
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/12/1.html

Перечисление удобных для теории Римана и неудобных для теории Оголевца работ продолжает представлять не какой-нибудь, а значительный по своей актуальности интерес:

В книге Геннадия Когута "Микротоновая музыка" на сc. 42-3:

<<...
принять за основу единственную расширенную структуру, количественно включающую наиболее часто употребляемые интервалы в мелодическом движении, — такой подход реализован в исследованиях, проведённых П. Барановским и Е. Юцевичем [7] <...> Исследование П. Барановского и Е. Юцевича — одно из немногих, в котором упоминается общая подразумеваемая координирующая структура — обертоново-унтертоновый звукоряд.
...>>

На с. 255:


<<...
7. Барановский П., Юцевич Е. Звуковысотный анализ свободного мелодического строя. — К., 1956.
...>>

На Сети исследование П. Барановского и Е. Юцевича не нашёл, но нашёл кое-что другое и любопытное:
http://archive.nbuv.gov.ua/portal/So...007_66/030.pdf

Существует неориманианская теория и её бублик построен:



Мой бублик ещё не готов для всеобщего обозрения, но от неориманианского он отличается.

Решётку Эйлера



скосили втихомолку и повернули на 90°. Получилась колонна Соонвальда.



Не обошлось без Холопова и решётка Эйлера перестала быть колонной Соонвальда, дабы стать шаром Холопова:



Потянуло внести свою топологическую лепту и проделать в шаре дырку. Если впервые до этого додумался я, получился бублик Комматора. По свободе нарисую его чертёж с энгармоническими кротовинами.

Неориманиане не догадались, что бублик слоёный и с дыркой поменьше. Однако, приятно сознавать, что и они, пытаясь представить тональность топологически, пришли не к шарам и колоннам, а к бублику...

[vcirkov]

Не предполагается цепь терций в ЧИП5. Она там есть. Там сосуществуют цепи квинт, больших и малых терций, и больших и малых секунд тоже.

Въезжайте в вопрос как следует. Вот материал для начала:

Что-то не получается. Цепь квинт - квинтовый круг, цепь терций - терциевый круг. Мы, говоря о ЧИПах, подразумеваем чистые интервалы озвученных обертонов первого порядка, а не тональную систему. Я не слышал о системе, в которой интервал в 386 центов служил бы базой для круга терций. Терция для ЧИП - это новое измерение при котором получается трехмерный объем. Но каждый возможный звук терции надстраивается к ЧИП3. Цепи терций (386 ц.) я не вижу в бубликах в неориманианской теории. Вижу терции тональной системы. Стало быть опять в сотый раз отождествление строя и гармонии.