Идея баланса

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Обратим внимание еще на одно обстоятельство, которое понадобится нам в дальнейшем. Тетрада может естественным образом рассматриваться как некая "основа", на которой осуществляется построение диатоники "чистого строя":

---

То есть Вы хотите мыслить весь звукоряд целиком. Я пока не понимаю откуда берется чистая терция. В тетраде ведь ее нет.
Вообще-то шаблонным созвучием для операций, вернее, нахождения возможных вариантов баланса, я мыслил б. трезвучие. Но в принципе, конечно, нужно иметь в виду любые созвучия. Попробую перечислить возможные версии балансировки трех звуков из тетрады, с которых мы начали. Итак, состав: октава деленная на два отрезка, квинта - внизу, кварта вверху.
1. Движение средним звуком, два крайних (октава) на месте. При этом интервалы квинты и кварты автоматически балансируются с прямой зависимостью. Кварта, например, увеличивается ровно настолько, насколько уменьшается квинта. Здесь Вы уж подскажите как правильно все это сформулировать. Далее находим и определяем порог для приемлемого акустического звучания (в центах).
2. Средний звук на месте, крайние звуки сжимаются и расширяются (операции с октавой).
3. Относительно нижнего и верхнего звука нужно слушать, чтобы найти приемлемые версии.
Принципиально, - где -то так и происходит подстройка в естестве, которое мы и должны смоделировать.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Обратим внимание еще на одно обстоятельство, которое понадобится нам в дальнейшем. Тетрада может естественным образом рассматриваться как некая "основа", на которой осуществляется построение диатоники "чистого строя":

---

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

То есть Вы хотите мыслить весь звукоряд целиком. Я пока не понимаю откуда берется чистая терция. В тетраде ведь ее нет.

---

Все правильно, нет ее в тетраде. Тем не менее, тетрада используется там как фундамент всего построения. Если можно так выразиться, она легла в качестве “подстилки” под диатонику “чистого строя”.
Что свидетельствует о ее многофункциональности.
Другие примеры ее нехилой функциональности я уже приводил ранее:

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Любимая Пифагорейская штучка (т. е. тетрада) стоит и по вертикали (а не только по горизонтали). С этим согласились и Вы:

С этим согласен и классик Риман:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/15/1/1/2.html
-----------------------------------------------

Каким образом тетрада порождает Пифагоров строй по горизонтали, я демонстрировал здесь:
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/3.html
(там тетрада выступает под брэндом “звукоряда Орфея”)

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Все правильно, нет ее в тетраде. Тем не менее, тетрада используется там как фундамент всего построения. Если можно так выразиться, она легла в качестве “подстилки” под диатонику “чистого строя”.
Что свидетельствует о ее многофункциональности.
Другие примеры ее нехилой функциональности я уже приводил ранее:

---

Ну, а дальше-то что? Нашли мы подстилку для ЧC, а как ее использовать для инт. баланса? Может все же следует исходить не от полного звукоряда, а от фрагментов созвучий. Я как бы попытался что-то сформулировать относительно тетрады, - это не годится?
Я представляю это так, что в идеале нужно сделать подобие Вашего калькулятора, то есть небольшую программу, в которой бы вручную определялся звук (один из четырех) и относительно него автоматически выстраивались высоты остальных звуков. Если это не программа, то алгоритм возможных действий.

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Может все же следует исходить не от полного звукоряда, а от фрагментов созвучий. Я как бы попытался что-то сформулировать относительно тетрады, - это не годится?
Я представляю это так, что в идеале нужно сделать подобие Вашего калькулятора, то есть небольшую программу, в которой бы вручную определялся звук (один из четырех) и относительно него автоматически выстраивались высоты остальных звуков. Если это не программа, то алгоритм возможных действий.

---

Я как раз об этом сейчас думаю.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Я как раз об этом сейчас думаю.

---

Тогда уточню: программа, в которой бы вручную определялся звук (один из четырех, который служит осью для перехода). А потом, двигая какой-либо другой звук, остальные бы выстраивались относительно первого фиксированного звука автоматически.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Я как раз об этом сейчас думаю.

---

Еще один уточняющий вопрос (в развитие всего этого). На Ваш взгляд, можно ли говорить о “мышлении посредством музыкальных операций” по аналогии с тем, как Арнхейм, например, говорит о визуальном мышлении как мышлении посредством “визуальных операций”:
http://www.px-pict.com/4/6/3/2.html

Цитата:

---

Сообщение от Математик

На Ваш взгляд, можно ли говорить о “мышлении посредством музыкальных операций” по аналогии с тем, как Арнхейм, например, говорит о визуальном мышлении как мышлении посредством “визуальных операций”:
http://www.px-pict.com/4/6/3/2.html

---

Не знаю, что это нам даст, но попробую сравнить. Обычно хористы строят звуки как угодно: от баса, от ощущений тенденций, которые касаются высоты тональности и гармонических ступеней, но никогда от общего звука. В этом смысле общий звук можно сравнить с визуализацией образа перехода, а операции перечисленных подстроек - с научным подходом. Так же уместно сравнение с кошкой, которая не видит науки в правильном переходе, совершая его с позиции технологического удобства. Здесь аналогия такая, что при переходе, из возможных - выбирается звук, который ближе. Допустим, нужно спеть тон вниз. Верхний звук берется ниже, а нижний - выше. За счет общего звука обеспечивается акустический баланс. Конкретно: допустим, нужно перейти от ми к ре относительно соль (общий звук). Для ЧС, который мы используем как шаблон, поправки от ТС будут такие: Секста (соль-ми) - 884 ц., квинта (соль-ре) - 702 ц. Теперь приближаем звуки друг к другу (максимально возможно - без потери благозвучия по 10 ц.) значения высот: 874 - 712 =162 ц. - величина тона (тонемы). В данном случае мы пренебрегаем правилами фиксированных звукорядов, в которых одинаковые интервалы идентичны друг другу.
Хорошо бы этот пример положить на формулу.

Где-то Вы писали (не помню уже где), что символ баланса – весы или пропорция.
Пока что понял следующее. Прежде чем делать это:

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Тогда уточню: программа, в которой бы вручную определялся звук (один из четырех, который служит осью для перехода). А потом, двигая какой-либо другой звук, остальные бы выстраивались относительно первого фиксированного звука автоматически.

---

необходимо должным образом формализовать сам “нулевой баланс ”:

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Да, в октаве сбалансированы кварта и квинта, которые получаются от простых дробей. Это нулевой баланс, то есть без биений.

---

т. е. тетраду как таковую
Пропорция в тетраде есть. Ее иногда называли “золотой”:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6/1.html

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Тетраду можно описывать на очень разных языках. Например, так, как приведено у Б. Л. ван дер Вардена:
"(227) Гамма небесна: она имеет божественную, величавую, чудесную природу. (228 ) Она складывается из четырех членов и дает две средние: арифметическую и гармоническую…
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6.html
А можно и в другой терминологии, например с использованием понятий теории группоидов Брандта, как я предложил здесь:

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Где-то Вы писали (не помню уже где), что символ баланса – весы или пропорция.
Пока что понял следующее. Прежде чем делать это:
необходимо должным образом формализовать сам “нулевой баланс ”

---

Так ЧС и есть нулевой, классическим вариантом ЧС и нужно ограничиться. Тут в соседней теме изобрели синтезатор с ЧС по этому принципу с двумя "ре". Думаю сложная вариантная автоматизация не нужна, поскольку вариантов подстройки более чем один. Нужна только автоматизация ЧС вокруг определяемого в партитуре полюса с возможностью подстройки остальных звуков вручную.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Где-то Вы писали (не помню уже где), что символ баланса – весы или пропорция.

---

А как насчет весов?
Мне и весы важны, либры, Scales.
http://en.wikipedia.org/wiki/Libra_(astrology)

Кое-какие новые мысли в этом направлении возникли:

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Геометрическое пространство тоже, в принципе, дружит с балансом. Благодаря усилиям Мебиуса:
http://www.px-pict.com/10/3/4/2.html
(текст внизу указанной страницы)

Действительно, ведь изображенные на рис. 25 “весики”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/2/1.html

очень естественно ассоциируютсяс идеей некоторого баланса.

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

А как насчет весов?
Мне и весы важны, либры, Scales.
http://en.wikipedia.org/wiki/Libra_(astrology)
Кое-какие новые мысли в этом направлении возникли:

---

Да, баланс может быть сохранен путем расстройки ЧС от инт. полюса, а также и в том случае, когда нужно сбалансировать уже готовый интервал. В этом случае есть аналогия с перемещением оси, как в приведенном Вами примере.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Даже самый элементарный звукоряд сбалансирован. Речь идет о тетраде:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/4.html

---

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Да, в октаве сбалансированы кварта и квинта, которые получаются от простых дробей. Это нулевой баланс, то есть без биений. Перемещая точку внутри октавы до известного порога, где акустически или функционально интервалы сохраняют значения, получаем динамическую модель этой же структуры. Эту модель можно считать исходной, то есть самой простой. Вопрос в том, как это выразить в числах или мат. знаках?

---

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Вообще-то шаблонным созвучием для операций, вернее, нахождения возможных вариантов баланса, я мыслил б. трезвучие. Но в принципе, конечно, нужно иметь в виду любые созвучия. Попробую перечислить возможные версии балансировки трех звуков из тетрады, с которых мы начали. Итак, состав: октава деленная на два отрезка, квинта - внизу, кварта вверху.
1. Движение средним звуком, два крайних (октава) на месте. При этом интервалы квинты и кварты автоматически балансируются с прямой зависимостью. Кварта, например, увеличивается ровно настолько, насколько уменьшается квинта. Здесь Вы уж подскажите как правильно все это сформулировать. Далее находим и определяем порог для приемлемого акустического звучания (в центах).
2. Средний звук на месте, крайние звуки сжимаются и расширяются (операции с октавой).
3. Относительно нижнего и верхнего звука нужно слушать, чтобы найти приемлемые версии.
Принципиально, - где -то так и происходит подстройка в естестве, которое мы и должны смоделировать.

---

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Может все же следует исходить не от полного звукоряда, а от фрагментов созвучий. Я как бы попытался что-то сформулировать относительно тетрады, - это не годится?
Я представляю это так, что в идеале нужно сделать подобие Вашего калькулятора, то есть небольшую программу, в которой бы вручную определялся звук (один из четырех) и относительно него автоматически выстраивались высоты остальных звуков. Если это не программа, то алгоритм возможных действий.

---

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Обычно хористы строят звуки как угодно: от баса, от ощущений тенденций, которые касаются высоты тональности и гармонических ступеней, но никогда от общего звука. В этом смысле общий звук можно сравнить с визуализацией образа перехода, а операции перечисленных подстроек - с научным подходом. Так же уместно сравнение с кошкой, которая не видит науки в правильном переходе, совершая его с позиции технологического удобства. Здесь аналогия такая, что при переходе, из возможных - выбирается звук, который ближе. Допустим, нужно спеть тон вниз. Верхний звук берется ниже, а нижний - выше. За счет общего звука обеспечивается акустический баланс. Конкретно: допустим, нужно перейти от ми к ре относительно соль (общий звук). Для ЧС, который мы используем как шаблон, поправки от ТС будут такие: Секста (соль-ми) - 884 ц., квинта (соль-ре) - 702 ц. Теперь приближаем звуки друг к другу (максимально возможно - без потери благозвучия по 10 ц.) значения высот: 874 - 712 =162 ц. - величина тона (тонемы). В данном случае мы пренебрегаем правилами фиксированных звукорядов, в которых одинаковые интервалы идентичны друг другу.
Хорошо бы этот пример положить на формулу.

---

Вот структура, на которой все это можно, как мне представляется, наглядно показать. Так называемая “связка”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/1/21.html

Она, конечно, выглядит как “хитрая” модель проективной плоскости, но ее преимущество в том, что все построения и объяснения могут быть проведены очень наглядно. Нужно только провести ее качественную “оцифровку”, чтобы получит математические формулы, оперирующие с числами.

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Меня более интересует не готовая система возможных векторов в схеме строя. То есть ЧС (ЧИП) я вижу не как конкретный строй, а как абстрактную акустическую базу, некий фрагмент, в котором заключен алгоритм пространственных ощущений. Мне кажется, что объемное представление звуков имеет аналоговое соответствие в восприятии. Что мы имеем:
1. условные тоники (вертикали), которыми обозначаются базовые переходы, например, при отклонениях.
2. Построенные на них фрагменты квинтовой спирали, которые обеспечивают возможность извлечения пустых аккордов без наполнения терциями.
3. Терции, которые строятся векторами от тоник аккордов и образуют свою собственную систему, подобную спирали.
На М. терцию в квинтовой спирали можно не обращать внимания, рассматривая ее как остаток от сложения или вычитания. Но как относиться к септиме? Привлечь четвертый вектор, чтобы определить центр ее акустической зоны или прибавить м. терцию к квинте? В чем принципиальная разница подходов?

---

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Векторы, если найти способ хорошо их иллюстрировать, могут дополнить язык гарм. знаков. Это очень важно для пространственного восприятия музыки. Не строя, а именно гарм. переходов. Мой же интерес еще и в том, что через геометрию можно наглядно рассказать об инт. балансе.

---

Ну, конечно же, уважаемый vcirkov, мы попытаемся здесь выразить все эти Ваши интуиции!

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Вот структура, на которой все это можно, как мне представляется, наглядно показать. Так называемая “связка”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/1/21.html

Она, конечно, выглядит как “хитрая” модель проективной плоскости, но ее преимущество в том, что все построения и объяснения могут быть проведены очень наглядно. Нужно только провести ее качественную “оцифровку”, чтобы получит математические формулы, оперирующие с числами.

---

Нам понадобятся некоторые базовые сведения о так называемых “правых декартовых системах координат” на евклидовой плоскости и в евклидовом пространстве. Эти сведения я для справки привел здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/6/1/1.html

Все, что нам нужно, можно будет проиллюстрировать на простых картинках.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Нам понадобятся некоторые базовые сведения о так называемых “правых декартовых системах координат” на евклидовой плоскости и в евклидовом пространстве. Эти сведения я для справки привел здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/6/1/1.html

Все, что нам нужно, можно будет проиллюстрировать на простых картинках.

---

Я уже пробовал представить аккорды в трехмерном пространстве геометрии, но там у меня нет кубов, поскольку трезвучие в геометрии - треугольник, объем которого хуже читается. #25
Сначала нужно определиться с чистыми аккордами без связок, чтобы иметь базу для моделей аккордов. Потом общий звук будем мыслить как точку пересечения, то есть связку, вокруг которой будет возникать поле дополнительных проекций. Давайте исходить от того, что вертикальная ось - некая тоника "до", горизонтальная ось, образующая крест - квинтовая спираль, представленная как минимум двумя точками "соль-ре". Далее следует определиться относительно трехмерности. Она гипотетически может возникать как новый вектор из точки пересечения креста "ми", а заполнение пространства модели аккорда может осуществляться за счет удвоения звуков. проблема в том, что для конкретного перехода нужно представлять для аккорда в который общий звук будет связкой. Для начала - Т и D, общий звук "соль".

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Я уже пробовал представить аккорды в трехмерном пространстве геометрии, но там у меня нет кубов, поскольку трезвучие в геометрии - треугольник, объем которого хуже читается. #25
Сначала нужно определиться с чистыми аккордами без связок, чтобы иметь базу для моделей аккордов. Потом общий звук будем мыслить как точку пересечения, то есть связку, вокруг которой будет возникать поле дополнительных проекций. Давайте исходить от того, что вертикальная ось - некая тоника "до", горизонтальная ось, образующая крест - квинтовая спираль, представленная как минимум двумя точками "соль-ре". Далее следует определиться относительно трехмерности. Она гипотетически может возникать как новый вектор из точки пересечения креста "ми", а заполнение пространства модели аккорда может осуществляться за счет удвоения звуков. проблема в том, что для конкретного перехода нужно представлять для аккорда в который общий звук будет связкой. Для начала - Т и D, общий звук "соль".

---

Возможностей и интерпретаций здесь на самом деле имеется масса, и, конечно же, имеет право на жизнь то, что Вы предлагаете.
Просто я здесь видел еще одну возможность. Я писал о ней в самом начале этой темы:

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Геометрическое пространство тоже, в принципе, дружит с балансом. Благодаря усилиям Мебиуса:
Действительно, ведь изображенные на рис. 25 “весики”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/2/1.html

очень естественно ассоциируютсяс идеей некоторого баланса.
Возможно, Мебиус сделал по отношению к геометрии то же самое, что Вы сейчас пытаетесь сделать по отношению к музыкознанию: ввел в геометрию идею “баланса”.

---

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Сначала нужно определиться с чистыми аккордами без связок, чтобы иметь базу для моделей аккордов.

---

У меня была мысль привлечь к моделированию чистых аккордов “геометризированные” весы Мебиуса, которые можно рассматривать как “элементарные балансы” внутри “геометрической ткани”. Ведь, в принципе на этом основано использование в геометрии так называемых “барицентрических координат”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/10/1/00.html

Роль “Барицентрического исчисления” Мебиуса в развитии проективной геометрии см. в историческом обзоре Клейна:
http://www.px-pict.com/10/3/4/5/1/1/5.html

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Вот хорошо сказано:
“В 1970 г. известный канадский историк науки Стилман Дрейк писал: "Я убежден, что истоки экспериментального аспекта современной науки следует искать в музыке XVI в.". Дрейк обратил внимание на то, что объединение музыки с арифметикой, геометрией и астрономией в рамках средневекового квадривиума не могло не повлечь сильного взаимодействия этих элементов в период их трансформации и, в конечном итоге, разделения в эпоху Ренессанса. Этот факт долгое время не учитывался ни историей науки, ни историей музыки, — они существовали как независимые и самостоятельные дисциплины, игнорировавшие имеющиеся параллели и аналогии в развитии естественнонаучных и музыкальных теорий.”
Баюк Д. Математическая теория темперации. Князь Владимир Федорович Одоевский и его «энгармонический клавесин» // Историко-математические исследования, 1999, № 39:
http://www.etheroneph.com/retrozvuk/...doevskogo.html

---

Т. е. можно предположить, что “геометрический элементарный баланс” Мебиуса аналогичен “музыкальному элементарному балансу”.

Возможно, не лишне будет напомнить, что в горизонтальной балансировке подобные друг другу интервалы могут довольно ощутимо отличаться по размерам. Например, переход "до-ре" от "ре-ми", которые будут балансироваться относительно "соль". Здесь мы рассматриваем их отдельно, чтобы показать максимальную разницу.
Переход "до-ре" увеличим. У нас задействовано два интервала от "соль" - кварта и квинта. В ЧС этот интервал будет равен 204 ц.. Увеличиваем до 11 ц.(пороговая величина) квинту "соль-ре" и уменьшаем на столько же кварту. Получаем большой тон 226 ц.
Переход "ре-ми" относительно "соль" в ЧС - 184 ц.. Уменьшаем (по 11 ц.) и получаем - 162 ц.(тонема), что на 64 ц. меньше, чем в первом случае. Если изменять минимально не по 11 ц., а по 4 ц., получим разницу 50 ц., что равно четверть тону.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

У меня была мысль привлечь к моделированию чистых аккордов “геометризированные” весы Мебиуса, которые можно рассматривать как “элементарные балансы” внутри “геометрической ткани”. Ведь, в принципе на этом основано использование в геометрии так называемых “барицентрических координат”:

Т. е. можно предположить, что “геометрический элементарный баланс” Мебиуса аналогичен “музыкальному элементарному балансу”.

---

Не знаю, насколько корректна аналогия веса и акустических величин. Акустический баланс, насколько я понял из своих опытов, работает во все стороны. Его зависимость от функц."веса" звука я и не пытался исследовать.

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Не знаю, насколько корректна аналогия веса и акустических величин. Акустический баланс, насколько я понял из своих опытов, работает во все стороны. Его зависимость от функц."веса" звука я и не пытался исследовать.

---

Нужно иметь в виду, что “массы” в подходе Мебиуса были заменены числами, а факт равновесия “весов” выражался при помощи простого соотношения между числами (так называемым “правилом рычага”).
http://www.px-pict.com/10/3/4/10/1/1.html

Сами по себе эти числа и числовые равенства с “содержательной” точки зрения могут интерпретироваться по-разному.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Сами по себе эти числа и числовые равенства с “содержательной” точки зрения могут интерпретироваться по-разному.

---

Например, задача о размножении кроликов может быть определенным образом математизирована:
http://www.px-pict.com/7/4/9/1/00.html

(характерная фраза: “Перейдем теперь от кроликов к числам …”)

Но числовая последовательность Фибоначчи естественным образом возникает и в других “предметных областях”. При желании, однако, соответствующие задачи из этих предметных областей могут быть проинтерпретированы и через кроликов, если назначить последних “стандартными представителями” чисел Фибоначчи.

Нужно сдвинулось это дело с мертвой точки. Давайте начнем с самого простого поворота, который будем иметь как базовый. Предлагаю на основе изложенных Вами примеров, создать какое-то подобие математико-геометрической модели данного рисунка: "до - ре" (тон) балансируется относительно "соль". Варианты тоже сокращаем до одного: два интервала - квинта и кварта - балансируются от акустической (нулевой) точки в разные стороны. Квинта уменьшается, а кварта увеличивается, тон - уменьшается (все - как в РДО).
В горизонтальной плоскости пороговые ограничения почти не действуют, поскольку нет созвучий, звук "соль" только подразумевается исполнителем, поскольку он строит от него баланс. Можно доводить тон до полутона, уменьшая его с двух сторон, при этом функционально оставаясь в ощущении тона. Этот прием - базовый для освоения фольклора.

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Нужно сдвинулось это дело с мертвой точки.

---

Сдвинем, сдвинем с мертвой точки. Просто у меня в голове “сидит” одно, а у Вас – другое. Нужно это как-то сближать. Другого пути не вижу.
Я все же в своих рассмотрениях ориентировался вот на это:

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Вообще-то шаблонным созвучием для операций, вернее, нахождения возможных вариантов баланса, я мыслил б. трезвучие.

---

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Сначала нужно определиться с чистыми аккордами без связок, чтобы иметь базу для моделей аккордов.

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Я все же в своих рассмотрениях ориентировался вот на это:

---

То есть на вертикаль, которая определяется переходом и возможным сдвигом двух и еще двух звуков вокруг общего третьего. То, что я предлагаю сделать в первую очередь - составная часть этих же переходов аккордов. Ведь в переходе задействованы два аспекта, вертикальный и горизонтальный. Сделать модель для двух звуков относительно третьего, представляется мне более простой задачей. Так что никаких противоречий здесь нет.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Стандартное применение операции гармонического среднего к тому, что у Одоевского названо “триестествогласием” можно найти, например, у Мордухай – Болтовского:
“В пифагорейском мировоззрении, видевшем сущность вещей в числах, последней пропорции придавалось особенно много значения. Ее находили в музыке: A, H, B являлись длинами струн, отвечающих тонам do, mi, sol, образующим гармонический аккорд …”
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6/2.html

У Одоевского о “триестествогласии”
“Эти четыре звука, т. е. звук целой струны, ее терции, ее квинты и ее октавы образуют то, что в музыке называется совершенным трезвучием (равно, консонансным аккордом, reiner Dreiklang, accord parfait; для выражения этого сопряжения звуков можно заимствовать из нашей древней музыкальной терминологии весьма точное и выразительное слово: триестествогласие).”

“Это сопряжение звуков (аккорд) -- не произвольное; оно дается самою природою звучащих тел, которым соответствует строение нашего уха и нашего горла, и потому такое сопряжение играет весьма важную роль в музыке; -- оно называется трезвучием потому, что, собственно, состоит только из трех звуков: звука целой струны, которая называется тоникой; терции от тоники, и квинты от тоники; за тем остальной четвертый звук есть лишь повторение тоники, но октавой выше.”
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/14b/1/1/1.html

---

селяви такова, что “не произвольное сопряжение звуков ”, о котором пишет Одоевский, математически описывается так называемой “ операцией гармонического среднего”. Мои предложения по использованию “геометрического баланса”:

Цитата:

---

Сообщение от Математик

У меня была мысль привлечь к моделированию чистых аккордов “геометризированные” весы Мебиуса, которые можно рассматривать как “элементарные балансы” внутри “геометрической ткани”. Ведь, в принципе на этом основано использование в геометрии так называемых “барицентрических координат”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/10/1/00.html

Роль “Барицентрического исчисления” Мебиуса в развитии проективной геометрии см. в историческом обзоре Клейна:
http://www.px-pict.com/10/3/4/5/1/1/5.html

Т. е. можно предположить, что “геометрический элементарный баланс” Мебиуса аналогичен “музыкальному элементарному балансу”.

---

преследовали цель сделать попытку объяснить (на “языке балансов”), почему селяви именно такова.

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

То есть на вертикаль, которая определяется переходом и возможным сдвигом двух и еще двух звуков вокруг общего третьего. То, что я предлагаю сделать в первую очередь - составная часть этих же переходов аккордов.

---

Я все же исходил из того, что написал в начале темы:

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Наряду с интонационным балансом Вы где-то говорили и о “сбалансированности звеньев звукоряда”.

---

То есть я планировал на первом этапе рассмотреть б. трезвучие чистого строя как саму по себе уже сбалансированную в определенном смысле систему, без всяких последующих возможных сдвигов и переходов.

Это уже будем рассматривать на втором этапе.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Я все же исходил из того, что написал в начале темы: Наряду с интонационным балансом Вы где-то говорили и о “сбалансированности звеньев звукоряда”.

---

Так я поэтому и заговорил о дихорде (горизонталь), сопряженным с общим звуком (вертикаль), как части звукоряда, о котором Вы спрашивали.

Цитата:

---

То есть я планировал на первом этапе рассмотреть б. трезвучие чистого строя как саму по себе уже сбалансированную в определенном смысле систему, без всяких последующих возможных сдвигов и переходов.

---

Сбалансированность трезвучия ЧС нулевая, это исходный фрагмент баланса, который берется за основу, как всякие прочие акустические чистые интервалы-консонансы.

Не могли бы Вы объяснить, как связан куб с трезвучием, об этом написано здесь:
ttp://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6/2.html

Цитата:

---

Сообщение от Математик

селяви такова, что “не произвольное сопряжение звуков ”, о котором пишет Одоевский, математически описывается так называемой “ операцией гармонического среднего”. Мои предложения по использованию “геометрического баланса” преследовали цель сделать попытку объяснить (на “языке балансов”), почему селяви именно такова.

---

А здесь уже, в свою очередь, я вдохновлялся тем обстоятельством, что операция гармонического среднего и так называемое "отношение гармонической сопряженности", очень важное для проективной геометрии (ее основной инвариант), являются близнецами-братьями:

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Операция гармонического среднего и 4-арное отношение гармонической сопряженности – близнецы – братья. Это общеизвестно. См., например, у Адамара (“Упражнения”):
http://www.px-pict.com/10/3/3/4/9.html

Указанное в приведенных “Упражнениях” равенство как раз и есть определение операции гармонического среднего.

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

А здесь уже, в свою очередь, я вдохновлялся тем обстоятельством, что операция гармонического среднего и так называемое "отношение гармонической сопряженности", очень важное для проективной геометрии (ее основной инвариант), являются близнецами-братьями:

---

Но ведь "весы Мебиуса" ("барицентрические координаты") блестяще проявили себя именно в проективной геометрии:
http://www.px-pict.com/10/3/4/10/1/00.html
http://www.px-pict.com/10/3/4/5/1/1/5.html

Поэтому я и "запал" на очень удобную, как мне кажется, модель проективной плоскости:

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Вот структура, на которой все это можно, как мне представляется, наглядно показать. Так называемая “связка”:
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/1/21.html

Она, конечно, выглядит как “хитрая” модель проективной плоскости, но ее преимущество в том, что все построения и объяснения могут быть проведены очень наглядно. Нужно только провести ее качественную “оцифровку”, чтобы получит математические формулы, оперирующие с числами.

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

А здесь уже, в свою очередь, я вдохновлялся тем обстоятельством, что операция гармонического среднего и так называемое "отношение гармонической сопряженности", очень важное для проективной геометрии (ее основной инвариант), являются близнецами-братьями:

---

http://www.px-pict.com/10/3/3/4/9.html
То, что описано здесь и есть чистая модель дихорда, то есть - самое простое изложение основ баланса. Прямая - это октава, которая делится 3/2, потом к этому прибавляется обратная проекция деления от верхнего звука. Вот и дихорд посередине. Или по-другому: заменяем в трезвучии C-dur квинту "соль" на "ре" - родственный звук, и получаем трихорд, то есть горизонтальное выражение вертикали трезвучия.

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

http://www.px-pict.com/10/3/3/4/9.html
То, что описано здесь и есть чистая модель дихорда, то есть - самое простое изложение основ баланса.

---

Рад, что Вы увидели для себя что-то интересное в отношении гармонической сопряженности. Поскольку визуально она наиболее интенсивно проявляет себя именно в проективной геометрии (будем для определенности говорить о системе, официально именуемой “проективной плоскостью над полем вещественных чисел”), то гляньте, пожалуйста, на еще одну серию картинок, характерную для этой системы:
http://www.px-pict.com/10/3/6/1/2.html

Из оригинальной книги О. А. Вольберга:
http://www.px-pict.com/10/3/4/9.html

Может быть, что-нибудь из этого тронет Вашу душу.
Проективная плоскость может быть получена из обычной евклидовой плоскости путем ее пополнения “бесконечно – удаленными элементами”. Идеология этого процесса популярно объясняется здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/4/6/1.html

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Не могли бы Вы объяснить, как связан куб с трезвучием, об этом написано здесь:
ttp://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6/2.html

---

Прежде всего заметим, что там изображен не куб, а фигура, именуемая “прямоугольным параллелепипедом”. (Единичный) куб получился бы, если бы мы провели соответствующие плоскости через единичные отметки на осях координат (я отметил их красным цветом):
http://www.px-pict.com/10/3/6/1/1/1.html

Цитата:

---

Сообщение от Математик

... гляньте, пожалуйста, на еще одну серию картинок, характерную для этой системы:
http://www.px-pict.com/10/3/6/1/2.html

---

Кроме гармонической перспективы, о чем писал ранее, ничего не вижу. Пешеход - тоника аккорда (вертикальная ось его питч-класса), его направление - показ следующего перехода. Линия, уходящая за горизонт - круг квинт (прошлое-будущее). И последняя ось - терция (содержание). Перемещая пешехода по направлению, которое он указывает, переходим в другой аккорд.

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Кроме гармонической перспективы, о чем писал ранее, ничего не вижу.

---

Вот и я помню, что писали. Но уже забыл подробности. Может быть, напомните коротко (не обязательно в контексте приведенных мною картинок).

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Вот и я помню, что писали. Но уже забыл подробности. Может быть, напомните коротко (не обязательно в контексте приведенных мною картинок).

---

Мне показалось, что я уже напомнил. Первично, - основные функции я предлагал мыслить как время: Т - настоящее, D - прошлое, S - будущее. Потом стало понятно, что это выражено в ЧИПах. И вот, наконец, все объединилось в системе координат, где вертикаль - Т, горизонтальная (уходящая вдаль из прошлого в будущее). К этому прибавляется третье измерение (вторая горизонтальная линия), которое мы обсуждали в теме про ЧИП5. Вот я пришел к тому, что самым удобным было бы этим пользоваться как схемой для баланса. Но она сложна, то есть может выражать всю цепь перехода из одного созвучия в другое. То есть - она хороша для представления объема, но идею баланса в ней можно выразить, вычленив из нее нужную часть для показа одного места, потом другого, третьего и так далее.

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Кроме гармонической перспективы, о чем писал ранее, ничего не вижу. Пешеход - тоника аккорда (вертикальная ось его питч-класса), его направление - показ следующего перехода. Линия, уходящая за горизонт - круг квинт (прошлое-будущее). И последняя ось - терция (содержание). Перемещая пешехода по направлению, которое он указывает, переходим в другой аккорд.

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Вот и я помню, что писали. Но уже забыл подробности. Может быть, напомните коротко (не обязательно в контексте приведенных мною картинок).

---

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Мне показалось, что я уже напомнил. Первично, - основные функции я предлагал мыслить как время: Т - настоящее, D - прошлое, S - будущее. Потом стало понятно, что это выражено в ЧИПах. И вот, наконец, все объединилось в системе координат, где вертикаль - Т, горизонтальная (уходящая вдаль из прошлого в будущее). К этому прибавляется третье измерение (вторая горизонтальная линия), которое мы обсуждали в теме про ЧИП5. Вот я пришел к тому, что самым удобным было бы этим пользоваться как схемой для баланса. Но она сложна, то есть может выражать всю цепь перехода из одного созвучия в другое. То есть - она хороша для представления объема, но идею баланса в ней можно выразить, вычленив из нее нужную часть для показа одного места, потом другого, третьего и так далее.

---

А мне, вот, почему-то вспомнились те Ваши мысли, о которых Вы говорили в самом начале нашего знакомства.
Они мне тогда показались интересными.

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Мне эти две спирали диезов и бемолей напоминают смещения зеркал на трильяже. Мы можем видеть только одну часть. Вот такая модуляция. Иначе, если мы слушаем диатонику в разных версиях строя, мы не можем определить точку энгармонизма на слух, поскольку его там нет. Возникает вопрос: чем в этом смысле плох строй 12РДО. Пока он не модулирует или в нем не возникает потребности энгармонических замен, он ничем не отличается от прочих версий. Но когда модуляция произошла, мы не можем этого заметить на слух, поскольку нельзя сравнить звуки, одни уже отзвучали, а эти звучат теперь, как изображения в упомянутом трильяже.

---

Цитата:

---

Сообщение от commator

Он плох тем, что:
1. не даёт возможности определить на слух энгармонические ошибки нотной записи;
2. не способен полноценно поддерживать в игре и нотации энгармоническую выразительность интонирования;
3. не позволяет искать экспериментальные подтверждения многим теоретическим предположениям.
4. не слишком заметно, но неуклонно портит слух и нервную систему;
5. обедняет и порочит тональную музыку.

---

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Если мы говорим об энгармонике, это вопрос функции. Если об интонировании, - вопрос строя. Функция приемлет любой строй, который не противоречит ей. Функциональная выразительность вид абсурда, который был доведен романтиками до жанра психологического реализма. Но к искусству это имеет косвенное отношение. Выразительность фиксированного строя, вероятно, может определяться только его перспективой (+ или -), где 12РДО - нулевая точка. Но это опять же вопрос предпочтения или эстетики строя.
Ну, а это Ваше субъективное. Слух, как и зрение, портят положительные настройки и прямая перспектива. Это мнение не мое (по части зрения).

---

Цитата:

---

Сообщение от commator

Чьё же это мнение и где о нём информация? Как Вы ставите в соответствие перспективу и настройки?

Я приходил к такой аналогии, когда заметил, что цепь частот элементов натуральной скалы (ЭНС) можно уподобить цепи столбов на одинаковых расстояниях. Для зрения эти расстояния уменьшаются до неразличимости у горизонта. Для слуха также расстояния между ЭНС уменьшаются до неразличимости где-то в конце третьего - начале четвёртого десятка ЭНС.

Но почему прямая перспектива портит зрение? Это что же нельзя любоваться уходящими вдаль железнодорожными путями? А слушать тон определённой высоты и богатого тембра вредно?

---

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Где-то читал о психологии восприятия перспективы в живописи, не помню. Линии в живописи расходятся вдаль при прямой перспективе. Так же диезы и бемоли расходятся разным спиралям. Когда меняем их местами, создается звуковой аналог обратной перспективы, где, примитивно выражаясь, диезы ниже бемолей.
Портится не само зрение, а игнорируется его функция вбирать в себя зримое пространство. Глядя на картины, мы невольно подобным же образом начинаем воспринимать действительность, отделяя ее от себя. А про тембр я ничего не говорил.

---

Как бы Вы их сейчас прокомментировали?

Цитата:

---

Сообщение от Математик

А мне, вот, почему-то вспомнились те Ваши мысли, о которых Вы говорили в самом начале нашего знакомства.

... Как бы Вы их сейчас прокомментировали?

---

Здесь обсуждался вопрос энг. баланса в системах РДО. Этот вопрос мне уже не интересен, так как РДО я не могу воспринимать как варианты завершенных систем строя, не говоря о том, что эти системы сами по себе схематически ограничены. Идея же связывать РДО с функциями звуков для меня с самого начала была абсурдной. Нужно понимать, что когда Гарбузов говорил о зоне, он имел в виду функциональные особенности интервалов, которые не связывал со строем. Иначе, если в зоне выбирается нужный по высоте звук, мы должны связать его с другими подобными звуками теперь - в системе строя. В этом месте разговоры о зоне заканчиваются, так как фиксированный строй не приемлет зон. Когда мы ищем инт. баланс, мы не скованы никакими системами готовых звукорядов. Возникает ощущение, что зоны работают. Интервалы, если их увеличивать или уменьшать с обеих сторон, способны на порядок превышать значения гарбузовских таблиц. Здесь все зависит от мастерства исполнителя и способности слушателя. Но работают не зоны, они только задействуются.
Что касается перспективы, мы теперь можем наглядно представить ее. Круг квинт ТС - условная планета, на поверхности которой мы ее представляем. Иначе, та линия, которая уходит за горизонт, как бы возвращается, описывая окружность планеты. Подставим ПС, - плоскость шара разрушается, возникают этажи спиралей, где линия диезов будет незаметно уходить в небо, а линия бемолей закручиваться вниз. Сравнение с прямой обратной перспективой по отношению к ЧИП3 (кругу квинт) не корректно. ЧИП5 дает возможность корректного сопоставления, так как ось терций в системе координат располагается справа налево. Итак, если говорим о РДО 31 и 53, положение терций следует по-видимому считать основным для определения качества перспективы. На старых картинках используются оба вида перспективы. В одном месте показывается горизонт (прямая П), а в другом боковые стороны предмета вдруг оказываются видны одновременно (обратная П.).

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Что касается перспективы, мы теперь можем наглядно представить ее...

---

Чем больше мыслей и интуиций, тем лучше.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Рад, что Вы увидели для себя что-то интересное в отношении гармонической сопряженности. Поскольку визуально она наиболее интенсивно проявляет себя именно в проективной геометрии...

---

Для меня перспектива ценна тем, что позволяет понять роль и значение отношения гармонической сопряженности в “визуальном мире”. Так было и исторически:
“Художники эпохи Возрождения не могли даже и догадываться о том, сколь общи и значительны идеи и закономерности, заложенные в учении о перспективе. Понять значительность этих идей, подвергнуть эти закономерности более глубокому анализу должен был человек, который сумел бы сочетать в себе инженерные знания с талантом математика и способностью к смелым обобщениям, способностью отказаться от традиционных представлений, способностью выступить с идеями, противоречащими традициям”:
http://www.px-pict.com/10/3/3/3/1.html

И в конце концов подружить между собой полюс геометрический:
http://www.px-pict.com/10/3/3/3/2.html

и полюс музыкальный (о котором говорите Вы).

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Чем больше мыслей и интуиций, тем лучше.

---

Проблема состоит в том, что представить аккорды основных функций в геометрическом объеме и так представляется непростой задачей, так как все смешивается на картинке. Но Вы хотите использовать эту картинку для моделирования инт. баланса. Нужно делать это раздельно, вычленяя нужные звуки из общей картинки. Так же и геом. и мат. модели для этого могут быть разными. Вот придумал аналог раздвоения звуков (диезов и бемолей). Образ забора, то есть ленты, расположенной вертикально. Верхняя линия - диезы, нижняя - бемоли. В перспективе линии сходятся в точку, которую можно представлять энгармонизмом. Иначе, ТС работает с такими точками, где разные значения условно совмещаются. Условность этого совмещения, как мы знаем, очевидна не для всех.

Цитата:

---

Для меня перспектива ценна тем, что позволяет понять роль и значение отношения гармонической сопряженности в “визуальном мире”.
И в конце концов подружить между собой полюс геометрический:
http://www.px-pict.com/10/3/3/3/2.html
и полюс музыкальный (о котором говорите Вы).

---

Возникли новые мысли по поводу осей координат. Что если представить их гибкими наподобие кубика Рубика. Идея в том, что терция (вводный звук), расположенная на одной оси может визуально приближаться к звуку устойчивому, расположенному на другой оси. Но для этого нужно, чтобы эти оси могли двигаться друг к другу. Вряд ли что-то подобное есть в геометрии, но все же...

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

Идея в том, что терция (вводный звук), расположенная на одной оси может визуально приближаться к звуку устойчивому, расположенному на другой оси. Но для этого нужно, чтобы эти оси могли двигаться друг к другу. Вряд ли что-то подобное есть в геометрии, но все же...

---

Возможно здесь есть что-то от эзотерической (сакральной) геометрии? Две линии случайно пересекаются в пространстве, возникает плоскость. Здесь нет ничего сакрального. Но пересечение трех линий в одной точке случайностью трудно назвать. Это место некой сущности, которая может сама манипулировать осями координат. Собственно, это манипулирование есть часть жизни этой сущности. Баланс же состоит в том, что сдвиг одной оси приводит к нарушению баланса, который восстанавливается при помощи другой оси. Иначе, если мы не соблюдаем это правило, центр пересечения трех осей нарушается и жизнь сущности прекращается. Мы же коллекционируем мумии этих сущностей в шаблонах гарм. аккордов и выдаем их за живые.

Вы обещали рассказать про куб.

Цитата:

---

Сообщение от vcirkov

http://www.px-pict.com/10/3/3/4/9.html
То, что описано здесь и есть чистая модель дихорда, то есть - самое простое изложение основ баланса. Прямая - это октава, которая делится 3/2, потом к этому прибавляется обратная проекция деления от верхнего звука. Вот и дихорд посередине. Или по-другому: заменяем в трезвучии C-dur квинту "соль" на "ре" - родственный звук, и получаем трихорд, то есть горизонтальное выражение вертикали трезвучия.

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Рад, что Вы увидели для себя что-то интересное в отношении гармонической сопряженности. Поскольку визуально она наиболее интенсивно проявляет себя именно в проективной геометрии ...

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Для меня перспектива ценна тем, что позволяет понять роль и значение отношения гармонической сопряженности в “визуальном мире”. Так было и исторически:
“Художники эпохи Возрождения не могли даже и догадываться о том, сколь общи и значительны идеи и закономерности, заложенные в учении о перспективе. Понять значительность этих идей, подвергнуть эти закономерности более глубокому анализу должен был человек, который сумел бы сочетать в себе инженерные знания с талантом математика и способностью к смелым обобщениям, способностью отказаться от традиционных представлений, способностью выступить с идеями, противоречащими традициям”:
http://www.px-pict.com/10/3/3/3/1.html

И в конце концов подружить между собой полюс геометрический:
http://www.px-pict.com/10/3/3/3/2.html

и полюс музыкальный (о котором говорите Вы).

---

Любопытно, что по исследованиям Пиаже выходит, что ребенок открывает структуры проективной геометрии раньше, чем Евклидовой:
http://www.px-pict.com/4/11/2/1.html

А как дети образуют музыкальные понятия?
Кажется, Пиаже не успел написать об этом.

Думаю, что не все работы Пиаже переведены еще на русский.
Но у него есть замечательные последователи среди наших соотечественников.
В работе Л.С. Выготского "Мышление и речь" продолжена логика исследований Жана Пиаже.
Не могу с уверенностью сказать, что там есть о формировании именно музыкальных понятий, но сам процесс формирования понятий рассмотрен в книге в подробностях, в том числе - отличия в процессе формирования житейских понятий от процесса формирования научных понятий.